勾股定理经典题目及答案

勾股定理1勾股定理是把形的特征(三角形中有一个角是直角)，转化为数量关系(a2+b2=c2),不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系.在几何问题中为了使用勾股定理，常作高(或垂线段)等辅助线构造直角三角形.勾股定理的逆定理是把数的特征(a2b2=c2中的一个角是直角)，可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.△ABC中/C=Rt/二a2+b2=c2为了计算方便，要熟记几组勾股数:实际问題(直角三角形边长计埠)1互逆定理实陌间题(刊走直角三弟形)实际问題(直角三角形边长计埠)1互逆定理实陌间题(刊走直角三弟形)判胆疋理巾址正理6、810;5、12、13;8、15、17;9、40、41.角形的判定方法之一.一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的.利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：确定最大边；算出最大边的平方，另外两边的平方和；明是直角三角形；勾股数的推算公式①罗士琳法则(罗士琳是我国清代的数学家 1789――1853)任取两个正整数m和n(m>n),那么m2-n2,2mn,m2+n2是一组股数。②如果k是大于1的奇数，那么k, k2

k221

组勾股数。1③如果k是大于2的偶数，那么k,21,上〕+2是一组勾股1迄丿⑺数。a,b,c是勾股数，那么na,nb,nc（n是正整数）勾股数。典型例题分析例1在直线I上依次摆放着七个正方形（如图1所示），已知斜放置123a2+b2=1,c2+d2=3,S1=b2S2a2,S3二c2,S4=d2S1+S2+S3+S4二b2+a2+c2+d2=1+3=4例2已知线段a，求作线段.5a分析一：\5a=.5a2=,4a2a2a、b、c、d、5a是以2a和a为两条直角边的直角三角形的斜边。分析二：分析二：5a=9a-4a25a是以3a为斜边，以2a为直角边的直角三角形的另一条直角边。作图（略）3如图：(1)Rt△ABC个等边△的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。如图(2)Rt△ABCS1,S2,S3之间有何关系？⑶如果将图⑵中斜边上的半圆沿斜边翻折180°,成为图⑶，请验证：“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积”(此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙)(2)类似于(1):S1+S2=S3S1+S2+SXABC-S3二S阴影=SAABC例4.如图3,图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若所有的正方形的面积之和为507cm2试求最大的正方形的边长分析：此题显然与勾股定理的几何意义有关，即S1+S2二S3S5+S6二S4S3+S4=S?I所以S1+S2+S5+S6二S3+S4阴从而有3S阴=507，即S阴=169(cm2)•••最大的正方形的边长为13cm例5图(7)中，若大正方形EFGH勺边长为1,将这个正方形的四个角(3)设剪去的四个直角三角形的直角边长为a, ba>b,剪掉，得到四边形(3)设剪去的四个直角三角形的直角边长为a, ba>b,

ABCD仍为正则a+b=1

2SL二

(7)9 —3<,1 5 4xv—adb+—=1L2 9

b=-LEB_FC__

HA£EFGH

BF*CG~LE~AE~顺次连结A、B、C、D,所得正方形ABCD勺面积即为原正方形面5二、要学会用方程观点解题例6.已知：如图7,△ABC中,AB=3BC=4/二、要学会用方程观点解题例6.已知：如图7,△ABC中,AB=3BC=4/cS?若将△ABC折叠，使C点与A点重合，求折痕EF的长分析：当解这样的问题时，由轴对称的概念，自然想到连

AF。的长。

AE二2由已知，可得1，因此欲求EF,只要求AF设AF二x贝卩FC=xBF=4-x只要利用Rt△ABF中，AF2-BF2二AB2^个相等关系布列方程x2-(4-x)2=9，问题就可以解决例7.在Rt△ABC中，/C=90，若a,b,c为连续整数(a<b<c),求a+b+c分析：有的同学认为，在Rt△ABC中,Ta、b、c为连续整数，二a=3,b=4,c=5，即a、b、c不可能是别的数。这个同学的结论是正确的，但没有推理论证，正确的解法是设b=x(x为正整数，且x>2)，由已知，贝卩 a=x-1,c=x+1T

(x+1)2-(x-1)2=x2即4x=x2，又Tx>0,二只有x=4a+b+c=(x-1)+x+(x+1)=3x=12例8.例8.已知：如图8,AABC中,AB=13BC=21求厶ABC的面积。分析：为了求△ABC勺面积，只要求出BCADBD=xDC=21-xAB2-BD2AD2AC2-DC2^132-x2=202-(21-x)2x的值问题就能解决例9细心观察图，认真分析各式，然后解答问题:◎(何+1二2 ◎(何+1二2 12(72)2+1=32(傢+1=4= j2⑵推算出OA10的长；⑶求出的值。(1)

答(亦尸+1=11+1 Sn=—-

案0為厂怖 ⑶艺-I例10.如图已知厶ABC中,ADLBCAB+CD=AOBD,求证：AB=AC证明：设AB,ACBDCD分别为b,c,m,nc+n二b+m,c-b=m-nTADLBCAD2=c2-m2=b2-n2c2-b2=m2-n2,(c+b)(c-b)=(B+D)(m-n)(c+b)(c-b)b)(c+b)(c-b) —(m+n)(c-b)=0(c-b) {(c+b)—(m+n)}=0Tc+b>m+n,c-b=0即c=b•••AB=AC例11.已知：正方形ABCD勺边长为1,正方形EFGF内接于ABCDAE=a,AF=b,且SEFGIH23解：根据勾股定理a2+b2=EF2=SEFGH-;①3TAE=a,AF=b,且SEFGIH23解：根据勾股定理a2+b2=EF2=SEFGH-;①3—②得 (a-b)2=-3

b-12.已知△ABC中,ZA=RtZ,MBC的中点，E,FAB,AGMELMF求证：EF2=BE2+CF2例13.Rt△ABC中,ZABC=90,ZC_600例13.Rt△ABC中,ZABC=90,ZC_600,BC=2,D是AC的中点，从D作DEIAC与CB的延长线交于点E,以ABBE为邻边作矩形ABEF连结DF,贝SDF的长是 。答案与提示：.可证DF=DE=23（选讲）例14如图，圆柱的高为10cm,底面半径为2cm.，在下答案（2二）2102答案（2二）2102练习ABC中,AB>ACAC=4，BC=3,求AB长.分析：此题没有指明是直角三角形，因此只能用三角形三边的关系定理求解，从AC<AB<AC+BC知：4<AB<7,得AB为5或6.ABC中,ZACB=90,DE为斜边AB上的点，且/DCE=45。求证：DE2二AD2+BE2分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。ABC中，AB=13,BC=14,AC=15,BCD=A答案12 BDABCDAB=8BC=4ACDE处，则重叠部分△AFC的面积是设EF二x那么AF=CF=8-xAEA2+EFA2=