高三数学教案：平面向量

31/31高三数学教案：平面向量【】鉴于大家对查字典数学网十分关注,小编在此为大家搜集整理了此文高三数学教案：平面向量,供大家参考!本文题目：高三数学教案：平面向量第五章平面向量【知识网络】【学法点拨】向量是沟通代数与几何的重要工具,它在日常生活、生产实践以及其他相关学科中有着广泛的应用.学习和理解向量有关知识时,建议：1.注意比拟与分析.向量的有关概念与我们学习过的有关知识既有联系又有区别,如：平行、相等、乘积等等.留心比拟分析,可防止学习过的有关知识对现学知识的负面影响.2.能画图时尽可能多画草图.数离形时少直观,形离数时欠入微.向量具有数与形的双重特征,加减法以三角形法那么、平行四边形法那么为背景,平行、垂直都对应着一个方程,数形结合考察问题,常常事半功倍.3.学会联想与化归.向量知识是从日常生活、生产实践中抽象出来的,求解向量综合题,常需要适当联想,并将应用问题数学化,复杂问题熟悉化、简单化.第29课向量的根本运算【考点指津】1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量、相等向量等概念.2.掌握向量的加法与减法,会正确运用三角形法那么、平行四边形法那么.3掌握向量加法的交换律、结合律,并会用它们进行向量化简与计算.4.理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算.【知识在线】1.(2a+8b)-(4a-2b)=2.在△ABC中,BC=a,CA=b,那么AB=3.设a表示向东3km,b表示向北偏东30走3km,那么a+b表示的意义为4.画出不共线的任意三个向量,作图验证a-b-c=a-(b+c).5.向量a、b满足|a|=8,|b|=10,求|a+b|的最大值、最小值.【讲练平台】例1化简以下各式：①AB+BC+CA②AB-AC+BD-CD③OA-OD+AD④NQ+QP+MN-MP.结果为0的个数为()A.1B.2C.3D.4分析题设条件中多处涉及首尾相接的两个向量求和以及同起点的两个向量相减,对此,我们可以运用向量加减的定义进行合并,当最终形式出现两相反向量之和或相等向量之差时,结果为0.答D.点评此题稳固了向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等根底知识.求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理,必要时也可化减为加,减低出错律.注意：AB=-BA,+CB=AB.变题作图验证A1A2+A2A3+A3A4++An-1An=A1An(n2,nN).例2如图,在ABC中,D、E为边AB的两个三等分点,CA=3a,CB=2b,求CD,CE.分析此题中的向量都集中表达在三角形中.为此,可充分利用向量加减法的三角形法那么实施求解.如CA、CB可求AB,根据AD、AE、AB均为共线向量,故又可求得AD、DE、.由CA、AD又可求CD,由DE、CD又可求CE.解AB=AC+CB=-3a+2b,因D、E为AB的两个三等分点,故AD=AB=-a+b=DE,CD=CA+AD=3a-a+b=2a+b,CE=CD+DE=2a+b-a+b=a+b.点评三角形中两边对应向量,可求第三边所对应的向量.值得注意的是,向量的方向不能搞错.当向量运算转化成基底向量的代数式运算时,其运算过程可仿照多项式的加减运算进行.例3A、B、C、P为平面内四点,求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n,使PC=mPA+nPB,且m+n=1.分析A、B、C三点共线的一个充要条件是存在实数,使得AC=AB.很显然,题设条件中向量表达式并未涉及AC、AB,对此,我们不妨利用PC=PA+AC来转化,以便进一步分析求证.证明充分性,由PC=mPA+nPB,m+n=1,得PA+AC=mPA+n(PA+AB)=(m+n)PA+nAB=PA+nAB,AC=nAB.A、B、C三点共线.必要性:由A、B、C三点共线知,存在常数,使得AC=AB,即AP+PC=(AP+PB).PC=(-1)AP+PB=(1-)PA+PB,m=1-,n=,m+n=1,PC=mPA+nPB.点评逆向应用向量加法运算法那么,使得此题的这种证法比其他证法更简便,值得一提的是,一个向量拆成两个向量的和,一定要强化目标意识.变题在ABC所在平面上有一点P,满足PA+PB+PC=AB,试确定点P的位置.答：P在AC边上,且P为AC的一个三等分点(距A点较近)例4(1)假设点O是三角形ABC的重心,求证：OA+OB+OC(2)假设O为正方形ABCD的中心,求证：OA+OB+OC+OD(3)假设O为正五边形ABCDE的中心,求证：OA+OB+OC+OD+OE=0.假设O为正n边形A1A2A3An的中心,OA1+OA2+OA3++OAn=0还成立吗?说明理由.分析此题四问构成一个题链,条件相似,结论相似,求证方法可望相似.正三角形、正方形性质特殊,我们十分熟悉,求证方法多,不容易发现那一种方更有利于推广,我们选定正五边形来研究.看着结论,联想一个相似的并且已经解决的问题,本课例1的变题A1A2+A2A3+A3A4++An-1An+AnA1=0,这里的向量首尾相接,我们能不能将OA、OB、OC、OD、OE也转化成首尾相接的形式呢?运用向量相等的定义试试看.解证(3)以A为起点作AB=OB,以B为起点作BC=OC,以C为起点作CD=OD,以D为起点作DE=OE.∵AOB=72,OAB=108.同理ABC=BCD=CDE=108,故DEA=108.|OA|=|AB|=∣BC|=|CD|=|DE|,故E与O重合,OABCD为正五边形.OA+OB+OC+OD+OE=OA+AB+BC+CD+DE=0.正三角形,正方形、正n边形可类似获证.点评此题不仅揭示了正多边形的一类共同性质,而且稳固了以退为进的数学思想.面对一般的问题,我们经常先考虑其特殊的情况;面对陌生的问题,经常去联想熟悉的模型.注意退是为了进,退到特殊简单情形后,要在求解中悟出一般的规律.如退到正方形情况,发现OA+OB与OC+OD正好互为相反向量,结论成立.这一方法却不具一般性.【知能集成】1.根底知识：向量加减的代数形式运算与几何形式运算.2.根本技能：向量运算中的合二为一与拆一为二.3.根本思想：向量表达式运算与几何式运算的相互结合思想,联想熟悉的类似的模型,化归转化思想.【训练反应】1.以下各式正确的选项是：()A.∣a-b∣∣a∣+∣b∣B.a+b∣∣a∣+∣b∣C.∣a+b∣∣a-b∣D.∣a-b∣=∣a∣-∣b∣2.下面式子中不能化简成AD的是()A.OC-OA+CDB.PB-DA-BPC.AB-DC+BCD.(AD-BM)+(BC-MC)3.正方形ABCD的边长为1,AB=a,BC=b,AC=c,那么a+b+c、a-b+c、-a-b+c的摸分别等于.4.设a、b为向量,假设3x+4y=a,2x-3y=b,那么x=.y=.5.e1、e2不共线,AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2,且A、B、D三点在同一条直线上,求实数k.6.在正六边形ABCDEF中,O为中心,假设OA=a,OE=b,用a、b表示向量OB,OC,OD,结果分别为()A.-b,-b-a,-aB.b,-a,b-aC.-b,a,a-bD.-b,-a,a+b7.试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.8.P为△ABO所在平面内的一点,满足OP=,那么P在()A.AOB的平分线所在直线上B.线段AB的中垂线上C.AB边所在的直线上D.AB边的中线上.9.设O是平面正多边形A1A2A3An的中心,P为任意点,求证：PA1+PA2+PA3++PAn=nPO.10.如图设O为△ABC内一点,PQ∥BC,且PQ∶BC=2∶3,OA=a,OB=b,OC=c,那么OP,OQ.11.P为△ABC所在平面内一点,PA+PB+PC=0,那么P为△ABC的()A.重心B.垂心C.内心D.外心12.在四边形ABCD中,E为AD的中点,F为BC的中点.求证：EF=(AB+DC).第30课向量的坐标运算【考点指津】1.理解平面向量的坐标表示法,知道平面向量和一对有序实数一一对应.2.掌握平面向量的和、差、实数与向量积的坐标运算,能利用向量的坐标运算解题.3.掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示,并利用它解决向量平行(共线)的有关问题,弄清向量平行和直线平行的区别.【知识在线】1.假设向量a的起点坐标为(-2,1),终点坐标为(2,-1),那么向量a的坐标为2.假设O为坐标原点,向量a=(-3,4),那么与a共线的单位向量为3.a=(-1,2),b=(1,-2),那么a+b与a-b的坐标分别为()A.(0,0),(-2,4)B.(0,0),(2,-4)C.(-2,4),(2,-4)D.(1,-1),(-3,3)4.假设向量a=(x-2,3),与向量b=(1,y+2)相等,那么()A.x=I,y=3,B.x=3,y=1C.x=1,y=-5D.x=5,y=-15.A(0,0),B(3,1),C(4,3),D(1,2),M、N分别为DC、AB的中点.(1)求证四边形ABCD为平行四边形;(2)试判断AM、CN是否共线?为什么?【讲练平台】例1a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?分析a、b的坐标,可求a-3b的坐标,ka+b的坐标也可用含k的表达式表示.运用两向量平行的充要条件x1y2-x2y1=0可求k值.解由a=(1,2),b=(-3,2),得a-3b=(10,-4),ka+b=(k-3,2k+2).因(ka+b)∥(a-3b),故10(2k+2)+4(k-3)=0.得k=-.点评坐标形式给出的两个向量,其横坐标之和即为和向量的横坐标;其纵坐标之和即为和向量的纵坐标.实数与向量的积其横、纵坐标分别等于实数与该向量的横、纵坐标的积.向量的平行用坐标形式表达即为一个方程.例2向量a=(,),b=(-1,2),c=(2,-4).求向量d,使2a,-b+c及4(c-a)与d四个向量适当平移后,能形成一个顺次首尾相接的封闭向量链.分析四个向量适当平移后,形成一个顺次首尾相接的封闭向量链,说明这四个向量之和为0.即四个向量的纵横坐标之和均为0.据此列出关于向量d(x,y)的方程组,不难求得x、y.简解设向量d的坐标为(x,y),由2a+(-b+c)+4(c-a)+d=0,可解得d=(-9,23).点评数学语言常有多种表达方式,学会转化与变通是求解的关键.此题以几何特征语言形式出现,最终落足点要变式成方程的语言来求解,这一思想方法在求解向量问题时经常用到.例3平面上三点P(2,1),Q(3,-1),R(-1,3).假设点S与这三点可以为一个平行四边形的四个顶点,求S的坐标.分析平行四边形对边对应向量相等或相反,由此可求得S点的坐标.但由于题设四点构成四边形的四个顶点,那一组边是对边不明显,需要分类讨论.简解设S的坐标为(x,y).(1)当PQ与RS是一组对边时,假设PQ=RS,那么(3,-1)-(2,1)=(x+1,y-3),即(1,-2)=(x+1,y-3),得S点坐标为(0,1).假设PQ=SR,那么S点坐标为(-2,5).(2)当PR与SQ是一组对边时,假设PR=SQ,那么S点的坐标为(6,-3).假设PR=QS,那么S点的坐标为(0,1).(3)当PS与RQ是一组对边时,假设PS=RQ,那么S点的坐标为(6,-3).假设PS=QR,那么S点的坐标为(-2,5).综上所述,S点坐标可以为(0,1),(6,-3),(-2,5).点评此题求解需运用分类讨论思想.上述解法思路自然、条理清晰,但很显然不是最简方案,如何数形结合,防止重复劳动,读者不妨思考.例4向量PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k),当k为何值时,A、B、C三点共线.分析三点共线问题前一课已涉及,A、B、C三点共线的充要条件是AB=BC,此题所不同的是向量用坐标形式给出,对此,我们可以将坐标代入运算.解AB=PB-PA=(4-k,-7),BC=PC-PB=(6,k-5).当A、B、C三点共线时,存在实数,使得AB=BC,将坐标代入,得4-k=6,且-7=(k-5),故(4-k)(k-5)=-42.解得k=11,或k=-2.点评向量的几何运算与向量的坐标运算,可以从不同角度去求解(证)同一个问题.只不过两套工具各有适用范围,即便两套工具都适用,也可能繁简不一,应用时要注意前瞻性选择.变题求证：互不重合的三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线的充要条件是(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1).证明必要性(略).充分性假设(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1),由A、B、C互不重合,得(x2-x1)、(y3-y1)、(x3-x1)、(y2-y1)中至少有一个不为零,不妨设x3-x10.令x2-x1=(x3-x1),假设=0,那么x2-x1=0,此时y2y1(否那么A、B重合).而等式不成立,故0.于是(x3-x1)(y2-y1)=(x3-x1)(y3-y1).因x3-x10,故(y2-y1)=(y3-y1).于是(x2-x1,y2-y1)=(x3-x1,y3-y1),即AB=AC,且AC0.又因AB与AC有相同起点,所以A、B、C三点共线.【知能集成】根底知识：坐标形式的向量的加减运算,实数与向量坐标的积.根本技能：向量平行的充要条件及向量相等的充要条件用坐标形式描述和应用.根本思想：将向量等式转化成方程的思想;对几何图形的分类讨论思想.【训练反应】1.假设a=(2,3),b=(4,y-1),且a∥b,那么y=()A.6B.5C.7D.82.点B的坐标为(m,n),AB的坐标为(i,j),那么点A的坐标为()A.(m-i,n-j)B.(i-m,j-n)C.(m+i,n+j)D.(m+n,i+j)3.假设A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)三点共线,那么x=.4.a=(5,4),b=(3,2),那么与2a-3b平行的单位向量为5.有以下说法①向量PA=(x,y),那么A点坐标为(x,y);②位置不同的向量,其坐标有可能相同;③i=(1,0),j=(0,1),a=(3,4),a=3i-4j;④设a=(m,n),b=(p,q),那么a=b的充要条件为m=p,且n=q.其中正确的说法是()A.①③B.①④C.②③D.②④6.以下各向量组中,不能作为表示平面内所有向量的基底的一组是()A.a=(-1,2),b=(0,5)B.a=(1,2),b=(2,1)C.a=(2,-1)b=(3,4)D.a=(-2,1),b=(4,-2)7.设a=(-1,2),b=(-1,1),c=(3,-2),用a、b作基底,可将向量c表示为c=pa+qb,那么()A.p=4,q=1B.p=1,q=-4C.p=0,q=4D.p=1,q=48.设i=(1,0),j=(0,1),在平行四边形ABCD中,AC=4i+2j,BD=2i+6j,那么AB的坐标为.9.3sin=sin(2+),k+,k,kz,a=(2,tan(+)),b=(1,tan),求证：a∥b.10.A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC与OB的交点P的坐标(x,y).11.点O(0,0),A(1,2),B(4,5),且OP=OA+tAB.(1)当t变化时,点P是否在一条定直线上运动?(2)当t取何值时,点P在y轴上?(3)OABP能否成为平行四边形?假设能求出相应的t值;假设不能,请说明理由.第31课平面向量的数量积【考点指津】1.掌握平面向量的数量积及其几何意义.2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.3.掌握向量垂直的条件.【知识在线】1.假设∣a∣=4,∣b∣=3,ab=-6,那么a与b的夹角等于()A.150B120C.60D.302.假设a=(-2,1),b=(1,3),那么2a2-ab=()A,15B.11.C.9D.63.向量i=(1,0),j=(0,1),那么与向量2i+j垂直的一个向量为()A.2i-jB.i-2jC.i+jD.i-j4.a=(1,2),b=(1,1),c=b-ka,且ca,那么C点坐标为5.∣a∣=3,∣b∣=4,且a与b夹角为60,∣ka-2b∣=13,求k的值【讲练平台】例1(1)在直角三角形ABC中,C=90,AB=5,AC=4,求ABBC(2)假设a=(3,-4),b=(2,1),试求(a-2b)(2a+3b)分析(1)中两向量AB、BC的模及夹角容易求得,故可用公式ab=|a||b|cos求解.(2)中向量a、b坐标,可求a2、b2、ab,也可求a-2b与2a+3b的坐标,进而用(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2求解.解(1)在△ABC中,C=90,AB=5,AC=4,故BC=3,且cosABC=,AB与BC的夹角-ABC,ABBC=-∣AB∣∣BC∣cosABC=-53=-9.(2)解法一a-2b=(3,-4)-2(2,1)=(-1,-6),2a-3b=2(3,-4)+3(2,1)=(12,-5),(a-2b)(2a+3b)=(-1)12+(-6)(-5)=18.解法二(a-2b)(2a+3b)=2a2-ab-6b2=2[32+(-4)2]-[32+(-4)1]-6(22+12)=18.点评向量的数量积有两种计算方法,一是依据模与夹角来计算,二是依据坐标来计算.具体应用时可根据条件的特征来选择.值得注意的是,向量的夹角与向量的方向相关,(1)中ABC并非AB与BC的夹角.从第(2)问的解法二可以看到,向量数量积的运算律,类似于多项式乘法法那么,但并不是所有乘法法那么都可以推广到向量数量积的运算.如：a(b+c)=ab+bc,而(ab)ca(bc).例2.O为三角形ABC所在平面内一点,且满足OA2+BC2=OB2+CA2,试用向量方法证明ABOC.分析要证ABOC,即证ABOC=0,题设中不涉及AB,我们用AB=AO+OB代换,于是只需证AOOC=BOOC.至此,我们可以尝试将等式转化成只含有OA、OB、OC的形式.证明由得OA2+BC2=OB2+CA2,即OA2+(BO+OC)2=OB2+(CO+OA)2,整理得AOOC=BOOC,即OC(BO+OA)=0,故OCAB=0.所以ABOC.点评用向量方法证明垂直问题,通常转化为证两个向量的数量积为0.此题式与求证式中向量的表达形式不统一,针对差异进行有目标的化归,是求解的关键所在.例3.设OA=a=(+1,-1),OB=b=(,3),试求AOB及AOB的面积.分析a、b可以求|a|、|b|及ab,进而求得AOB(即a与b的夹角),在求到三角形的两边及夹角后,可用公式：S=∣a∣∣b∣sin求面积.解设AOB=,AOB的面积为S,由得：∣OA∣=∣a∣==2,∣OB∣=∣b∣=2,cos===.=.又S=∣a∣∣b∣sin=2=2,即AOB=,AOB的面积为2.点评向量的数量积公式ab=∣a∣∣b∣cos不仅可以用来求数量积,也可以用来求模与夹角.要注意该公式与三角形的面积公式的区别.此外,此题的解题方法可适用于更一般的情况(见变题).变题设ABC的面积为S,AB=a,AC=b,求证S=例4.a与b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b的夹角.分析要求夹角,必需求出cos求cos需求出ab与∣a∣∣b∣的比值(不一定要求出∣a∣、∣b∣的具体值).由的两个向量的垂直关系,可以得到∣a∣∣b∣与ab的关系.解∵(a+3b)(7a-5b),(a-4b)(7a-2b),(a+3b)(7a-5b)=0,(a-4b)(7a-2b)=0.即7a2+16ab-15b2=0,7a2-30ab+8b2=0.两式相减,得b2=2ab.故a2=b2,即∣a∣=∣b∣.cos==.=60,a与b的夹角为60.点评从根本量思想考虑,似乎没有具体的a与b,无法求出a与b的夹角,其实不然,cos是一个ab与∣a∣∣b∣的比值,并不需要具体分别求出.类似于此题的条件说明,向量的数量积公式、向量的垂直关系都揭示了一种数量积与模的关系,就此意义而言,它们的本质是一致的相通的,可以相互转化和利用.在此题求解过程中注意,b2=2ab不能得出b=2a,同样a2=b2也不能得到a=b.【知能集成】根底知识：向量数量积的两种计算公式,向量垂直的充要条件.根本技能：求向量数量积、模及向量的夹角,向量垂直问题的论证与求解.根本思想：向量表达式的数量积与多项式乘法进行类比的思想,将线的垂直这一图形特征转化成方程解决的思想.求向量夹角时的设而不求的思想.【训练反应】1.=5,a与b的夹角的正切值为,ab=12,那么b的模为()A.4B.3C.D.2.=2,向量a在单位向量e方向上的投影为-,那么向量a与e向量的夹角为()A.30B.60C.120D.1503.a=(1,-2),b=(5,8),c=(2,3),那么a(bc)为()A.34B.(34,-68)C.-68D.(-34,68)4.边长为的正三角形ABC中,设AB=c,BC=a,CA=b,那么ab+bc+ca等于()A.-3B.0C.1D.35.a=(1,2),b=(x,1),当(a+2b)(2a-b)时,实数x的值为.6.m=(-5,3),n=(-1,2),当(m+n)(2n+m)时,实数的值为.7.|a|=|b|=1,a与b夹角为90,c=2a+3b,d=ka-4b,且cd,那么k=8.A、B、C、D是平面上给定的四个点,那么ABCD+ACDB+ADBC=.9.a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),那么a与b夹角的余弦值为.10.设两向量e1、e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2的夹角为60,假设向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.11.设向量a=(cos23,cos67),b=(cos68,cos32),u=a+tb(tR).(1)求a(2)求u的模的最小值.12.设a=(1+cos,sin),b=(1-cos,sin),c=(1,0),(0,),(),a与c的夹角为1,b与c的夹角为2,且1-2=,求sin的值.第32课线段的定比分点、平移【考点指津】1.掌握线段的定比分点和中点坐标公式,并且熟练运用.2.掌握平移公式,并能运用平移公式化简函数解析式.3.理解公式的推导过程,必要时能回到定义去,用向量运算的相关知识,解决定比分点问题和平移问题.【知识在线】1.假设P分AB所成的比为,那么A分BP的比为()A.B.-C.-D.2.设点P在线段AB的延长线上,P分AB所成的比为,那么()A.-1B.-10C.01D.13.按向量a将点(2,3)平移到(0,1),那么按向量a将点(7,1)平移到点()A.(9,-3)B.(9,3)C.(5,-1)D.(-5,-3)4.假设函数y=f(1-2x)的图象,按向量a平移后,得到函数y=f(-2x)的图象,那么向量a=.5.设三个向量OA=(-1,2),OB=(2,-4),OC的终点在同一条直线上(O为坐标原点).(1)假设点C内分AB所成的比为,求C点坐标;(2)假设点C外分AB所成的比为-,求C点坐标.【讲练平台】例1P(1,1),A(2,3),B(8,-3),且C、D顺次为AB的三等分点(C靠近A),求PC和PD的坐标.分析A、B两点坐标,可求AB的两个三等分点C、D的坐标,进而结合P点坐标,可求PC,PD.解解法一由题知,点C、D分AB所成的比分别为1=,2=2,设C(x,y),那么即C(4,1),同理可得D(6,-1).故PC=(4,1)-(1,1)=(3,0),PD=(6,-1)-(1,1)=(5,-2).解法二因A、B、C、D四点共线,由得,AD=23AB,故PC=PA+AC=(2-1,3-1)+(8-2,-3-3)=(3,0),PD=PA+AD=(2-1,3-1)+23(8-2,-3-3)=(5,-2).点评定比分点公式涉及起点坐标、终点坐标、分点坐标、定比七个量,它们之间固有的联系有两个方程,故其中五个量能求其余两个量,假设是只考察其中一个方程(如横坐标关系式),只须其中三个,可求第四个.对此,我们不仅要考察公式的原形,还需掌握公式的变形.此题的解法二,回归到最根底的向量加减来处理定比分点问题,运算量小,出错率低.例2将函数的图象按向量a平移后得到函数的图形,求a和实数k.分析平移前后的函数表达式,可以通过恒等变形,求得整体结构一致,再比拟变量x、y的变化,确定平移公式,得向量a,而k那么可通过比拟系数法求得.解令x=x-,y=y-.原函数解析式变形为y=-,a=(--),k=-.点评图形的平移变换,实质是图形上任意一点的变换,求解平移变换问题至关重要的是确定关于点的坐标的平移公式.面对较为复杂的函数表达式,为了画出其图形,并讨论其性质,常采纳平移变换化繁为简.变题通过平移变换,化简(ad-bco,co),并作出图形.提示：=,令并记=k0,那么原方程化简为.因此,原函数的图象按向量a=平移后得的图象,故其图象是以为中心的,以x=为渐近线的双曲线.例3.将函数的图象,按向量a平移后得到的函数图象关于原点对称.这样的向量是否唯一?假设唯一,求出向量a;假设不唯一,求a模的最小值.分析正弦函数是周期函数,其图象关于原点对称时,表达式不唯一.就此题而言,平移后的函数解析式可以是y=2sin2x,也可以是y=2sin(2x+),y=2sin(2x-)等等.因此,向量a不唯一.要求∣a∣的最小值,首先必需确定平移后函数表达式的一般式,并在此根底上建立关于∣a∣的目标函数.解向量a不唯一.平移后的图象对应解析式可以为y=2sin(2x+k),kZ考察原函数表达式,可令(kZ)即,a=(-,-1),(kZ),|a|(kZ).当k=2时,∣a∣取最小值,最小值为.点评常见向量平移变换应用于三角函数式化简,多数问题思路单一,结论唯一.此题突破常规,开放性的设计,要求解题者具有更深刻的思维能力.例4.设A(1,1),B(5,5),且P在直线AB上,假设AB=AP,AP=PB,P点是否可能落在线段AB的延长线上?假设能,求出P点坐标;假设不能;说明理由.分析由AB=AP知,要使P落在线段AB的延长线上,只需(0,1).为此,我们设法将两个向量等式转化成关于的方程,解出,检验(0,1)是否成立.解AB=(5,5)-(1,1)=(4,4),设P(x,y),那么AB=AP=2PB.(4,4)=2(5-x,5-y)=(x-1,y-1),且依据两个方程组的第一个方程,消去x,得52-(4+)=4,即2--1=0,数形结合知,在AB=AP时,要P落在线段AB的延长线上,那么需(0,1),所求两个的值均不符合题意,故P不可能落在AB延长线上.【知能集成】根底知识：向量的平移公式,定比分点定义、公式及中点坐标公式.根本技能：求平移公式,求点关于向量平移后的坐标,求函数图象关于向量平移后对应的函数解析式.运用定比分点公式,求端点、分点坐标及定比.根本思想：①回到定义去,回避定比分点公式的繁琐运算.②用根本量思想看定比分点公式.③运用整体分析、比拟观点,确定平移公式.【训练反应】1.点(4,3)关于点(5,-3)的对称点坐标是()A.(4,-3)B.(6,-9)C.(,0)D.(12,3)2.点A(0,m)按向量a平移后得到点B(m,0),那么向量a的坐标是()A.(m,m)B.(m,-m)C.(-m,m)D.(-m,-m)3.按向量a可把点(2,0)平移到点(-1,2),那么点(-1,2)按向量a平移后得到的点是()A.(2,0)B.(-3,2)C.(2,4)D.(-4,4)4.将函数的图象,按向量a平移后得到的图象对应函数y=f(x)是奇函数,那么a可以是()A.(-,-4)B.(-,4)C.(,4)D.(-,-4)5.点P(2,3),分P1P2所成的比为2,且点P2(1,2),那么点P1的坐标为()A.(4,5)B.(0,1)C.(3,4)D.(5,6)6.将函数y=x2+mx+n图象的顶点P按向量a平移到原点O,那么a=.7.函数的图象按向量a=(2,1)平移后得到函数的图象.8.A(2,2),B(-3,4),C(4,-1),那么ABC的重心坐标为.9.假设∣P1P2∣=5cm,点P在线段P1P2的反向延长线上,且∣P1P∣=1cm,那么P分P1P2所成的比为.10.O为原点,mR且m0,OA=(m,2m),OB=(2,2),求点B关于直线OA的对称点C的坐标.11.关于x的一次函数y=ax+b的图象C按向量p=(1,2)平移后,得到的图象仍然是C,问这样的一次函数是否唯一?假设唯一,求出该函数的解析式;假设不唯一,说明这类函数的表达式的共同特征.12.A、B、C三点在一条直线上,且OA-3OB+2OC=0,求点A分BC所成的比.第33课平面向量的应用【考点指津】1.在阅读、理解具有实际意义的文字材料的根底上,能准确、清晰、有条理地用向量的语言表述问题.2.能从实际问题中提炼、概括抽象出数学模型.3.能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法,求出数学模型的解.4.能结合实际意义,正确表述问题的解.5.能用向量知识简捷地处理其它数学分支相关问题.【知识在线】1.以下各个量：①物体的位移;②汽车的速度;③物体的质量;④某液体的温度.其中能称为向量的有.2.三个力F1=(1,3),F2(-2,1),F3=(x,y),某物体在这三个力的同时作用下保持平衡,那么力F3=.3.设某人向东走3km后,又改变方向向北偏东30走3km,该人行走的路程是,他的位移是.4.用向量方法证明勾股定理.5.一条东西方向的河流,水流速度为2km/h,方向正东.一船从南岸出发,向北岸横渡,船速为4km/h,试求船的实际航行速度,并画出图形(角度可用反三角函数表示).【讲练平台】例1某一天,一船从南岸出发,向北岸横渡.根据测量,这一天水流速度3km/h,方向正东,风向北偏西30,受风力影响,静水中船的飘行速度大小也为3km/h,假设要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以23km/h.的速度横渡,求船本身的速度大小及方向.分析撇开题设情境,提炼出四个速度,即水流速度v1,风的速度v2,船本身的速度v3,船的实际航行速度v,并且有v1+v2+v2=v,在这一等式中,v1、v2、v,v3可求.略解：设水的速度为v1,风的速度v2,v1+v2=a,易求得a的方向是北偏东30,a的大小为3km/h.设船的实际航行速度v,方向南向北,大小23km/h..船本身的速度v3,那么a+v3=v,即v3=v-a,数形结合知,v3方向是北偏西60,大小为3km/h..点评这是一个与知识在线第5题相似的问题,熟悉的情境以及简单情况下的解题经验为此题求解奠定了根底.四种速度融为一体,我们采纳分步合成,步步为营的策略.每一次合成只相当于求解了一个简单题.例2O为ABC所在平面内一点,满足|OA|2+|BC|2=|CA|2+|OB|2=|OC|2+|AB|2.试证明O是ABC的垂心.分析等式是关于线段长度平方和的等式,OA与BC、OB与CA、OC与AB都不是同一个直角三角形中的线段,用纯平面几何知识证明相当困难.但线段长度平方和即向量模的平方,要证O是ABC的垂心,只需证得OABC,OBCA,联想向量的数量积,只需证OABC=OBCA=0.|OA|2+|BC|2=|CA|2+|OB|2,得a2+(c-b)2=b2+(a-c)2,cb=ac,即(b-a)c=0.OCAB=0,故ABOC.同理CAOB,BCOA.故O是ABC的垂心.点评向量知识的应用领域很宽泛,中学数学所涉及的平几、立几、解几、函数、方程、数列、不等式等等,都可以与向量综合,求解这类问题的关键在于揭去伪装,合理转化.例3.如下图,对于同一高度(足够高)的两个定滑轮A、B,用一条足够长的绳子跨过它们,并在两端分别挂有质量为m1和m2的物体(m1m2),另在两滑轮中间的一段绳子的O点处悬挂质量为m的另一物体,m1∶m2=OB∶OA,且系统保持平衡(滑轮半径、绳子质量均忽略不计).求证：(1)AOB为定值;(2)2.分析依据题意,我们可以作出物体的受力图,引用平衡条件可列出方程组,在方程组的变形中,探索AOB的大小,在求出AOB后,再向第2问结论努力.解(1)设两绳子AO、BO对物体m的拉力分别为F1、F2,物体m向下的重力为F,由系统平衡条件知F1+F2+F=0.如图,设BAO=,ABO=,根据平行四边形法那么,得F2cos+F1cos()=0,F2sin+F1sin()+F=0.即m2cos-m1cos=0,①m2sin+m1sin=m.②在AOB中,由正弦定理,得OB∶OA=sin∶sin,将m1∶m2=sin∶sin代入①,得sincos=sincos,即sin2=sin2.∵m1m2,OAOB.,2+2=180.+=90,即AOB=90.(2)由+=90,得coscos=sinsin.将①②平方相加,得m2=m12+m22.由m2-2m1m2=m12+m22-2m1m2=(m1-m2)20,得m22m1m2.2.点评向量在物理中的应用最常见的是力学问题,物体处于平衡状态即所受各力的合力为0,亦即向量之和为零向量,运用三角形法那么、平行四边形法那么及解斜三角形的根底知识可望得到问题的解.此题所列方程组,是根据物体水平方向、竖直方向所受各力的合力分别为0得到.【知能集成】向量知识是一种根底性、工具性知识,在跨学科内分支、跨学科范畴、跨认知领域的广泛应用中,我们应逐步增强阅读理解能力,数学建模、解模能力,和分析问题解决问题能力.【训练反应】1.如果一架向东飞行200km,再向南飞行300km,记飞机飞行的路程为s,位移为a,那么()A.s|a|B.s|a|C.s=|a|D.s与|a|不能比大小2.当两人同提重|G|的书包时,用力都为|F|,夹角为,那么|F|、|G|、之间的关系为|F|=|G|2cos当=时,|F|取得最小值;当|F|=|G|时,=.3.一条河宽为d,水流速度为v2,一船从岸边A处出发,垂直河岸线航行到河的正对岸B处,船在静水中的速度为v1,那么船在航行过程中,船的实际航行速度大小为()A.|v1|B.|v1|2+|v2|2C.|v1|2-|v2|2D.|v1|-|v2|4.一艘船以4km/h的速度,沿着与水流方向成120的方向航行,河水流速为2km/h,该船假设航行6km,所须时间为()A.3hB.23hC.3hD.2h5.向量OA1=3i+2j,AnAn+1=2i+2j(nN+),那么OAn=.6.A(k,12),B(4,5),C(10,k),假设点C在线段AB上,那么k值等于()A.11B.-2C.-11或2D.485或2527.ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,那么以下推理不正确的选项是()A.假设ab=bc,那么ABC为等腰三角形B.假设a0,那么ABC为钝角三角形C.假设ab=0,那么ABC为直角三角形D.假设c(a+b+c)=0,那么ABC为正三角形8.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行.此时,风向是北偏东30,风速是20km/h.;水的流向是正东,流速为20km/h.,假设不考虑其它因素,救生艇在洪水中漂行的速度为.9.a=(sin,sin-cos),b=(cos,0),O为坐标原点,OP=a+b,那么|OP|=.10.一个30的斜面上放有一个质量为1kg的球,假设要保持球在斜面上静止不动,应沿斜面方向给球多大的力?假设表示球的重力的向量为p,球对斜面的压力为,那么球的重力沿斜面方向的分力f如何表示?保持球在斜面上静止不动的推力f又如何表示?11.点A(1,2)和B(4,-1),问能否在y轴上找一点C,使ACB=90,假设能,求出C点坐标;假设不能,说明理由.12.O为坐标原点,OA=(3,0),OB=(),两个质点甲、乙分别从A、B两点同时出发,速度均为4km/h,且甲沿AO方向运动,乙沿OB方向运动.(1)甲乙两个质点之间的初始距离是多少?(2)用包含t的式子f(t)表示t小时后,两个质点之间的距离;(3)什么时候两个质点之间相距最近.单元练习五(平面向量)(考试时间120分钟总分150分)一、选择题：本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.向量a=(1,-2),向量a与b共线,且|b|=4|a|.那么b=()A.(-4,8)B.(-4,8)或(4,-8)C.(4,-8)D.(8,4)或(4,8)2.a=(2,1),b=(x,1),且a+b与2a-b平行,那么x等于()A.10B.-10C.2D.-23.向量a和b满足|a|=1,|b|