微积分课件-第一章

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《高等数学》A第八节函数的连续性与间断点

气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是连续地变化着，反映在函数关系上是函数的连续性。

当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，一般的，当自变量改变很微小时，因变量也很微小，这个特性称为连续性。

连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线。函数的连续性(continuity)连续的定义右连续xab右连续左连续连续

左连续1，如果函数y=f(x)在x0点连续,

则必须同时满足下列三个条件：(1)f(x)在x0的某个邻域内有定义极限值存在极限值与函数值相等评注:◆连续性举例例1.

讨论绝对值函数在x=0处的连续性.解

因为所以所以所以绝对值函数在

x=0处连续证例3证明由定义,例4.

设有函数,问为何值时,函数在点连续?解

因为要使函数在点连续,则应有所以函数的间断点若函数有下列三种情形之一：则称函数在点处不连续，点称为函数的间断点。

不连续点即为间断点(1)在没有定义。(2)在有定义，但极限不存在。(3)在有定义，且极限存在，但间断程度的直观图解(1)最糟的间断：间断程度的直观图解(2)不太糟的间断：间断程度的直观图解(3)离连续仅差一步的间断：间断程度的直观图解(4)连续：函数的间断点的分类

第一类间断点——左、右极限都存在的间断点。可去间断点——左、右极限相等的第一类间断点。跳跃间断点——左、右极限不相等的第一类间断点。

第二类间断点——非第一类的间断点。无穷间断点——使函数为无穷大的间断点。振荡间断点——极限不存在，也非无穷大的间断点。

可去间断点(1)——第一类点x=1

是函数f(x)的可去间断点

可通过改变函数f(x)在x=1

处的定义，令f(x)=1，则f(x)在x=1成为连续。xyo11/21在x=1连续函数

跳跃间断点——第一类yxo点x=0是函数f(x)的跳跃间断点。解

这是一个初等函数，其定义域为找出函数的间断点，并判别其类型。而

所以，x=1是函数的第一类的可去间断点；x=2是函数的第二类的无穷间断点。不存在而例题解由的定义可知，函数在内连续而所以，x=1是函数的第二类间断点(无穷间断点)

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