2021年浙江省宁波市余姚姚中书院高三数学文上学期期末试题含解析

2021年浙江省宁波市余姚姚中书院高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则a，b，c的大小关系为（）A．

B．

C.

D．参考答案：A由题意，所以，，所以，故选A.

2.．设x、y满足

则 A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值 C．有最大值3，无最大值 D．既无最小值，也无最大值参考答案：B做出可行域如图（阴影部分）。由得，做直线，平移直线由图可知当直线经过点C（2，0）时，直线的截距最小，此时z最小为2，没有最大值，选B.3.设x，y满足约束条件，则的最大值是（

）A.1 B.4 C.6 D.7参考答案：D【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【详解】由条件画出可行域如图：表示直线在y轴上的截距，当：平移到过点A时，最大，又由，解得此时，.故选D.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4.已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（

）A、

B、

C、

D、

参考答案：B设抛物线方程为，则点焦点，点到该抛物线焦点的距离为，

，解得，所以.5.函数的图像向右平移个单位后所得的图像关于点中心对称．则不可能是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D6.已知且,函数在区间上既是奇函数又是增函数,则函数的图象是（

）

参考答案：A略7.函数的图象如图1所示，则的图象可能是（

）

参考答案：【知识点】导数.B11【答案解析】D解析：解：由题意可知，函数在上为增函数，在上为减函数，所以函数的导数在上的值大于0，在上的值小于0，根据答案可知D正确.【思路点拨】根据导数与函数的增减性可知，导数值的正负，再选出正确选项.8.设全集,集合,,则集合=（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B9.已知函数，使得恒成立，则=（

） A． B． C． D．参考答案：D10.设复数，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知O是坐标原点，点A，若点M为平面区域上的一个动点，则的最小值是

.参考答案：略12.（4分）（2015?上海模拟）函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是．参考答案：[﹣2，1]【考点】：三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：利用三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性即可得出．解：∵f（x）==，由得，∴，∴，函数f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在区间[0，]上的取值范围是[﹣2，1]．故答案为[﹣2，1]．【点评】：熟练掌握三角函数的倍角公式、两角和差的正余弦公式及三角函数的单调性是解题的关键．13.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为．参考答案：5π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的距离为1，底面中心到底面三角形的顶点的距离为：，∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=5π．故答案为：5π．14.已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，则m+c的值是

．参考答案：3【考点】相交弦所在直线的方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】两圆的公共弦的方程与两圆连心线垂直，求出公共弦的方程，然后求出m，利用中点在连心线上，求出c，即可求出结果．【解答】解：已知两圆相交于两点（1，3）和（m，1），且两圆的圆心都在直线上，所以公共弦方程为：y﹣3=﹣1（x﹣1），所以x+y﹣4=0，因为（m，1）在公共弦上，m=3；中点在连心线上，即（2，2）在连心线上，所以c=0，所以m+c=3；故答案为：3．15.设正三棱锥P-ABC的高为H，且此棱锥的内切球的半径，则＝_______．参考答案：【分析】取线段中点，设在底面的射影为，连接。设出底面边长和斜高，计算出正三棱锥的表面积和体积，利用等积法计算出此棱锥的内切球的半径，由此得到的值，故可求出和，以及的值。【详解】取线段的中点，设在底面的射影为，连接（图略），设则，设，则正三棱锥的表面积为，又正三棱锥的体积，则，又【点睛】本题主要通过正三棱锥的结构特征考查学生的直观想象能力，以及运算能力。16.若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:（1）非负性:，当且仅当时取等号；（2）对称性:；（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.今给出个二元函数:①；②；③；④.则能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是__________.参考答案：①略17.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（I）若函数在处的切线与直线垂直，求实数的值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.参考答案：函数定义域，求导得（I）由已知得，得；（II）记（1）当即时，，函数在上单调递增；（2）当即时，令，解得.又，故.当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减.综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在单调递增，函数在单调递减.19.(本小题满分12分)椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点斜率为的直线l交C于A、B两点.当m＝0时，(1)求C的方程；(2)证明：为定值.参考答案：20.已知函数f（x）=（ax+b）lnx﹣bx+3在（1，f（1））处的切线方程为y=2．（1）求a，b的值；（2）求函数f（x）的极值．（3）若g（x）=f（x）+kx在（1，3）是单调函数，求k的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用切线方程求出b=1，求出导函数，转化求解f′（1）=1+a﹣1=0，推出a=0．（2）求出f（x）=lnx﹣x+3的导函数f′（x）=﹣1，通过当0＜x＜1时，当x＞1时，导函数的符号，判断函数的单调性求出极值．（3）由g（x）=f（x）+kx，则g（x）=lnx+（k﹣1）x+3（x＞0）求出导函数，利用g（x）在x∈（1，3）上是单调函数求出函数的最值然后推出k的范围．【解答】解：（1）因为f（1）=（a+b）ln1﹣b+3=2，所以b=1；…又f′（x）=+alnx+a﹣b=+alnx+a﹣1，…而函数f（x）=（ax+b）lnx﹣bx+3在（1，f（1））处的切线方程为y=2，所以f′（1）=1+a﹣1=0，所以a=0；…（2）由（1）得f（x）=lnx﹣x+3，f′（x）=﹣1，…当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0；

…所以f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，…所以f（x）有极大值f（1）=2，无极小值．故f（x）的极大值为f（1）=2，无极小值；…（3）由g（x）=f（x）+kx，则g（x）=lnx+（k﹣1）x+3（x＞0），，又由g（x）在x∈（1，3）上是单调函数…若g（x）为增函数时，有g（x）≥0所以有，，所以…若g（x）为减函数时，有g（x）≤0所以有，，所以k≤0…故综上…21.已知，其中（）（1）当时，求的定义域。（2）若对，恒有，求的取值范围。参考答案：解：（1），的定义域为，的定义域为（2）当时，，所以。略22.在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且cos（B+C）=﹣sin2A．（1）求A；（2）设a=7，b=5，求△ABC的面积．参考答案：【考点】HP：正弦定理；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由已知式子可得sinA，由锐角三角形可得；（2）由正弦定理可得sinB，进而可得cosB，再由和差角的三角函数可得s