2021年浙江省杭州市市拱墅区中学高一数学理月考试卷含解析

2021年浙江省杭州市市拱墅区中学高一数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在△ABC中，++=，=，=，已知点P，Q分别为线段CA，CB（不含端点）上的动点，PQ与CG交于H，且H为线段CG中点，若=m，=n，则+=（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：C【考点】向量在几何中的应用．【分析】由重心的性质及线性运算，用，，表示，=，由?．【解答】解：在△ABC中，∵++=，∴点G是△ABC的重心，由重心的性质可得又∵=，∵三点P，Q，H共线，∴?，故选：C【点评】考查向量线性运算，共线向量基本定理，重心的性质，向量数乘的几何意义，属于中档题．2.下列各组函数中表示同一函数的是（

）A．f(x)=，g(x)=()2

B．f(x)=,g(x)=x+1C．f(x)=|x|,g(x)=

D．f(x)=,g(x)=参考答案：B略3.如图是一个平面图形的直观图，斜边，则该平面图形的面积是（

）参考答案：4.当a>1时，在同一坐标系中，函数的图象是（）.

参考答案：A5.在边长为的等边三角形中，，则等于（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C略6.已知等差数列中，，那么等于A．12

B.24

C.36

D.48参考答案：B7.定义在R上的函数满足，（），则下面成立的是（

）

A．

B．C． D．参考答案：B略8.若，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：由，所以，故选A.考点：诱导公式.

9.已知等差数列项和为等于（

）A

B

C

D

参考答案：C

10.函数f（x）=sin()，x∈R的最小正周期为（）A． B．π C．2π D．4π参考答案：D【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】直接利用正弦函数的周期公式T=，求出它的最小正周期即可．【解答】解：函数f（x）=由T==||=4π，故D正确．故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的最大值是

．参考答案：1略12.如图所示，在△ABO中，=,=,AD与BC相交于点M，

设=，=.试用和表示向量=

参考答案：略13.若△ABC内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则△ABC的面积，根据类比思想，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为，，，，则四面体的体积为

参考答案：根据类比思想，内切圆类比四面体内切球，三边长类比为四个面的面积，因此四面体的体积为

14.函数的定义域是

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；参考答案：15.已知圆O：x2+y2=4，直线l：mx﹣y+1=0与圆O交于点A，C，直线n：x+my﹣m=0与圆O交于点B，D，则四边形ABCD面积的最大值是

．参考答案：7【考点】直线与圆相交的性质．【分析】先确定直线m，n恒过定点M（0，1），圆心O（0，0），半径R=2，AC2+BD2为定值，表示出面积，即可求四边形ABCD的面积的最大值和最小值．【解答】解：由题意可得，直线m，n恒过定点M（0，1），圆心O（0，0），半径R=2，设弦AC，BD的中点分别为E，F，则OE2+OF2=OM2=1，∴AC2+BD2=4（8﹣OE2﹣OF2）=28，∴S2≤AC2?BD2=AC2?（28﹣AC2）≤=49，∴S≤7，当且仅当AC2=28﹣AC2，即AC=时，取等号，故四边形ABCD面积S的最大值为7．故答案为：7．16.计算

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结果用分数指数幂表示）。参考答案：17.已知A（1，2）和B（3，2），若向量＝（x+3，x2－3x－4）与相等，则x=_____;参考答案：－1【分析】首先求出向量，再由向量相等的定义可得关于的方程组，解方程即可。【详解】，，，又向量与相等，，解得：【点睛】本题主要考查向量的表示以及向量相等的定义，属于基础题型。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知（），函数，且的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调递增区间．参考答案：解：（Ⅰ）

∴∴

…………………4分函数的最小正周期为，且，∴，解得

………ks5u………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得．∴欲求的增区间，只需，

………………8分解得：

………………10分∴函数的单调递增区间为

………………12分19.在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．参考答案：【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；KG：直线与圆锥曲线的关系；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）由曲线C的参数方程为，知曲线C的普通方程是，由点P的极坐标为，知点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），由此能判断点P与直线l的位置关系．（2）由Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°），知到直线l：x﹣y+4=0的距离=，（0°≤α＜360°），由此能求出Q到直线l的距离的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为，∴曲线C的普通方程是，∵点P的极坐标为，∴点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），把（0，4）代入直线l：x﹣y+4=0，得0﹣4+4=0，成立，故点P在直线l上．（2）∵Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°）∴到直线l：x﹣y+4=0的距离：=，（0°≤α＜360°）∴．20.（本小题满分12分）已知△ABC的面积为，且.（1）求；（2）若点D为AB边上一点，且△ACD与△ABC的面积之比为1:3.①证明：AB⊥CD；②求△ACD内切圆的半径r.

参考答案：解：（1）∵的面积为，∴，∴．．．．．3分由余弦定理得，∴，．．．．．．．．．．．．．5分∴由余弦定理得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）①∵与的面积之比为，∴，．．．．．8分由余弦定理得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴，∴即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分②（法一）在中，．．．．．．．．．．．．．．．12分（法二）设的周长为，由得．．．．．．．．．．．．12分

21.（本小题满分12分）集合，

（1）若，求集合；（2）若，求实数的取值范围.参考答案：（1），，

，

（2），（ⅰ）时，；（ⅱ）当时，，所以

综上：实数的取值范围为22.已知某几何体的三视图如图所示，俯视图是正方形，正视图和侧视图都是底面边长为6，高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的表面积S．参考答案：【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得该几何体是正四棱锥，画出直观图，由题意求出棱长、高以及斜面上的高，（1）由椎体的条件求出该几何体的体积V；（2）由图和面积公式求出该几何体的