数学物理方法经典课件第十二章-积分变换法-_第1页
数学物理方法经典课件第十二章-积分变换法-_第2页
数学物理方法经典课件第十二章-积分变换法-_第3页
数学物理方法经典课件第十二章-积分变换法-_第4页
数学物理方法经典课件第十二章-积分变换法-_第5页
已阅读5页,还剩65页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

在复变函数理论中,我们曾用拉普拉斯变换法求解常微分方程.经过变换,常微分方程变成了代数方程,解出代数方程,再进行反演就得到了原来常微分方程的解.第十二章积分变换法求解定解问题1在复变函数理论中,我们曾用拉普拉斯变换法求解第

积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求解方法.对于多个自变量的线性偏微分方程,可以通过实施积分变换来减少方程的自变量个数,直至化为常微分方程,这就使问题得到大大简化,再进行反演,就得到了原来偏微分方程的解.积分变换法在数学物理方程(也包括积分方程、差分方程等)中亦具有广泛的用途.尤其当泛定方程及边界条件均为非齐次时,用经典的分离变量法求解,就显得有些烦琐和笨挫,而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法,并且显得具有固定的程序,按照解法程序进行易于求解.利用积分变换,有时还能得到有限形式的解,而这往往是用分离变量法不能得到的.2积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求解特别是对于无界或半无界的定界问题,用积分变换来求解,最合适不过了.(注明:无界或半无界的定界问题也可以用行波法求解)用积分变换求解定解问题的步骤为:第一:根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当的积分变换;对于自变量在

内变化的定解问题(如无界域的坐标变量)常采用傅氏变换,而自变量在

内变化的定解问题(如时间变量)常采用拉氏变换.

3特别是对于无界或半无界的定界问题,用积分变换来用积第二:对方程取积分变换,将一个含两个自变量的偏微分方程化为一个含参量的常微分方程;第三:对定解条件取相应的变换,导出常微分方程的定解条件;第四:求解常微分方程的解,即为原定解问题的变换;第五:对所得解取逆变换,最后得原定解问题的解.

4第二:对方程取积分变换,将一个含两个自变量的12.1傅里叶变换法解数学物理定解问题用分离变量法求解有限空间的定解问题时,所得到的本征值谱是分立的,所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶级数.对于无限空间,用分离变量法求解定解问题时,所得到的本征值谱一般是连续的,所求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分.因此,对于无限空间的定解问题,傅里叶变换是一种很适用的求解方法.本节将通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空间(含一维半无界空间)的定界问题的基本方法,并给出几个重要的解的公式.512.1傅里叶变换法解数学物理定解问题用分离变量法下面的讨论我们假设待求解的函数

及其一阶导数是有限的.12.1.1弦振动问题例1

求解无限长弦的自由振动定解问题(假定:函数及其一阶导数是有限的)

6下面的讨论我们假设待求解的函数及其一阶导数是有限的.12简化表示为对其它函数也作傅氏变换,即为解

应用傅里叶变换,即用遍乘定解问题中的各式,并对空间变量x积分(这里把时间变量看成参数),按照傅里叶变换的定义,我们采用如下的傅氏变换对:

7简化表示为对其它函数也作傅氏变换,即为解应用傅里叶变换,于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题上述常微分方程的通解为代入初始条件可以定出8于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题上述常微分方程的这样最后,上式乘以

并作逆傅氏变换.应用延迟定理和积分定理得到这正是前面学过的的达朗贝尔公式.9这样最后,上式乘以

为了说明傅氏变换法解非齐次方程特别简便,我们特举一强迫弦振动问题:求解无限长弦的强迫振动方程的初值问题解根据与例1相同的方法,作傅氏变换例210为了说明傅氏变换法解非齐次方程特别简便,我们特举我们容易得到原定解问题可变换为下列常微分方程的问题上述问题的解为利用傅氏变换的性质有11我们容易得到原定解问题可变换为下列常微分方程的问题上述问题的代入得到即得故得到12代入得到即得故得到1212.1.2热传导问题例3

求解无限长细杆的热传导(无热源)问题解作傅氏变换

定解问题变换为1312.1.2热传导问题解作傅氏变换定解问题变换为13常微分方程的初值问题的解是

再进行逆傅里叶变换,交换积分次序14常微分方程的初值问题的解是再进行逆傅里叶变换,交换积分次序1引用积分公式且令以便利用积分公式,即得到15引用积分公式且令以便利用积分公式,即得到15例4

求解无限长细杆的有源热传导方程定解问题解利用对定解问题作傅氏变换,得到常微分方程的定解问题上述问题的解为16例4求解无限长细杆的有源热传导方程定解问题解利用对为了求出上式的逆变换,利用下面傅氏变换的卷积公式,即若则而积分

即为最后得到定解问题的解为17为了求出上式的逆变换,利用下面傅氏变换的卷积公式,即若则12.1.3稳定场问题

我们先给出求半平面内拉普拉斯方程的第一边值问题的傅氏变换系统解法(读者可以与格林函数解法进行比较)例5定解问题

解对于变量作傅氏变换,有1812.1.3稳定场问题我们先给出求半平面内拉普拉斯方程定解问题变换为常微分方程

因为可取正、负值,所以常微分定解问题的通解为

因为,故得到常微分方程的解为设19定解问题变换为常微分方程因为可取正、负值,所以常微分定解根据傅氏变换定义,

的傅氏逆变换为再利用卷积公式

最后得到原定解问题的解为容易看出与格林函数解出的结果具有相同的表示式.20根据傅氏变换定义,的傅氏逆变换为再利用卷积公式最后得到原例6

如果定解问题为下列第二边值问题解令

即容易得到

满足定解问题为21例6如果定解问题为下列第二边值问题解令即容易则根据上述稳定场第一边值问题公式故得到22则根据上述稳定场第一边值问题公式故得到222323本节介绍另一种变换法:拉普拉斯变换法求解定解问题.12.2.1无界区域的问题例12.2.1求解无限长细杆的热传导(无热源)问题(12.2.1)12.2拉普拉斯变换解数学物理定解问题由于要作傅氏变换的函数必须定义在

上,故当我们讨论

半无界问题时,就不能对变量作傅氏变换了.24本节介绍另一种变换法:拉普拉斯变换法求解定解问题.12由此原定解问题中的泛定方程变为对方程(12.2.3)实施傅氏逆变换来进行求解.利用傅氏逆变换公式【解】先对时间作拉氏变换

25由此原定解问题中的泛定方程变为对方程(12.2.3)实施傅以及卷积定理得方程(12.2.3)的解为

(12.2.4)(12.2.4)式作拉氏逆变换,并查阅拉氏变换表,得原定解问题(12.2.1)的解为26以及卷积定理得方程(12.2.3)的解为(12.2.4)(

(12.2.6)解首先作变量的拉氏变换原定解问题即为12.2.2半无界区域的问题例2

求定解问题27(12.2.6)解首先作变量的拉氏变换原定解问题即易得到(12.2.8)式的解为28易得到(12.2.8)式的解为28又故由于及拉氏变换的卷积定理最后,得原定解问题的解为29又故由于及拉氏变换的卷积定理最后,得原定解问题的解为29【解】首先作变量

的拉氏变换原定解问题即为12.2.2半无界区域的问题例2求定解问题30【解】首先作变量的拉氏变换原定解问题即为12.2.2半无界易得到(12.2.8)式的解为因为所以又

故31易得到(12.2.8)式的解为因为所以又利用及拉氏变换的卷积定理最后,得原定解问题的解为32利用及拉氏变换的卷积定理最后,得原定解问题的解为32例3求解在无失真条件下电报方程的定解问题(12.2.16)解令

并考虑到无失真条件则原方程(15.2.16)化为

(15.2.17)33例3求解在无失真条件下电报方程的定解问题(12.2.16

(12.2.18)上述问题的解为因为若对时间作拉氏变换有于是定解问题(15.2.16)化为下列常微分方程的边值问题:34(12.2.18)上述问题的解为因为若对时间作拉氏变换于是最后利用拉氏变换的延迟定律,得定解问题(15.2.16)的解为:或(12.2.47)所以35于是最后利用拉氏变换的延迟定律,得定解问题(15.2.16)

在复变函数理论中,我们曾用拉普拉斯变换法求解常微分方程.经过变换,常微分方程变成了代数方程,解出代数方程,再进行反演就得到了原来常微分方程的解.第十二章积分变换法求解定解问题36在复变函数理论中,我们曾用拉普拉斯变换法求解第

积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求解方法.对于多个自变量的线性偏微分方程,可以通过实施积分变换来减少方程的自变量个数,直至化为常微分方程,这就使问题得到大大简化,再进行反演,就得到了原来偏微分方程的解.积分变换法在数学物理方程(也包括积分方程、差分方程等)中亦具有广泛的用途.尤其当泛定方程及边界条件均为非齐次时,用经典的分离变量法求解,就显得有些烦琐和笨挫,而积分变换法为这类问题提供了一种系统的解决方法,并且显得具有固定的程序,按照解法程序进行易于求解.利用积分变换,有时还能得到有限形式的解,而这往往是用分离变量法不能得到的.37积分变换法是通过积分变换简化定解问题的一种有效的求解特别是对于无界或半无界的定界问题,用积分变换来求解,最合适不过了.(注明:无界或半无界的定界问题也可以用行波法求解)用积分变换求解定解问题的步骤为:第一:根据自变量的变化范围和定解条件确定选择适当的积分变换;对于自变量在

内变化的定解问题(如无界域的坐标变量)常采用傅氏变换,而自变量在

内变化的定解问题(如时间变量)常采用拉氏变换.

38特别是对于无界或半无界的定界问题,用积分变换来用积第二:对方程取积分变换,将一个含两个自变量的偏微分方程化为一个含参量的常微分方程;第三:对定解条件取相应的变换,导出常微分方程的定解条件;第四:求解常微分方程的解,即为原定解问题的变换;第五:对所得解取逆变换,最后得原定解问题的解.

39第二:对方程取积分变换,将一个含两个自变量的12.1傅里叶变换法解数学物理定解问题用分离变量法求解有限空间的定解问题时,所得到的本征值谱是分立的,所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶级数.对于无限空间,用分离变量法求解定解问题时,所得到的本征值谱一般是连续的,所求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分.因此,对于无限空间的定解问题,傅里叶变换是一种很适用的求解方法.本节将通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空间(含一维半无界空间)的定界问题的基本方法,并给出几个重要的解的公式.4012.1傅里叶变换法解数学物理定解问题用分离变量法下面的讨论我们假设待求解的函数

及其一阶导数是有限的.12.1.1弦振动问题例1

求解无限长弦的自由振动定解问题(假定:函数及其一阶导数是有限的)

41下面的讨论我们假设待求解的函数及其一阶导数是有限的.12简化表示为对其它函数也作傅氏变换,即为解

应用傅里叶变换,即用遍乘定解问题中的各式,并对空间变量x积分(这里把时间变量看成参数),按照傅里叶变换的定义,我们采用如下的傅氏变换对:

42简化表示为对其它函数也作傅氏变换,即为解应用傅里叶变换,于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题上述常微分方程的通解为代入初始条件可以定出43于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题上述常微分方程的这样最后,上式乘以

并作逆傅氏变换.应用延迟定理和积分定理得到这正是前面学过的的达朗贝尔公式.44这样最后,上式乘以

为了说明傅氏变换法解非齐次方程特别简便,我们特举一强迫弦振动问题:求解无限长弦的强迫振动方程的初值问题解根据与例1相同的方法,作傅氏变换例245为了说明傅氏变换法解非齐次方程特别简便,我们特举我们容易得到原定解问题可变换为下列常微分方程的问题上述问题的解为利用傅氏变换的性质有46我们容易得到原定解问题可变换为下列常微分方程的问题上述问题的代入得到即得故得到47代入得到即得故得到1212.1.2热传导问题例3

求解无限长细杆的热传导(无热源)问题解作傅氏变换

定解问题变换为4812.1.2热传导问题解作傅氏变换定解问题变换为13常微分方程的初值问题的解是

再进行逆傅里叶变换,交换积分次序49常微分方程的初值问题的解是再进行逆傅里叶变换,交换积分次序1引用积分公式且令以便利用积分公式,即得到50引用积分公式且令以便利用积分公式,即得到15例4

求解无限长细杆的有源热传导方程定解问题解利用对定解问题作傅氏变换,得到常微分方程的定解问题上述问题的解为51例4求解无限长细杆的有源热传导方程定解问题解利用对为了求出上式的逆变换,利用下面傅氏变换的卷积公式,即若则而积分

即为最后得到定解问题的解为52为了求出上式的逆变换,利用下面傅氏变换的卷积公式,即若则12.1.3稳定场问题

我们先给出求半平面内拉普拉斯方程的第一边值问题的傅氏变换系统解法(读者可以与格林函数解法进行比较)例5定解问题

解对于变量作傅氏变换,有5312.1.3稳定场问题我们先给出求半平面内拉普拉斯方程定解问题变换为常微分方程

因为可取正、负值,所以常微分定解问题的通解为

因为,故得到常微分方程的解为设54定解问题变换为常微分方程因为可取正、负值,所以常微分定解根据傅氏变换定义,

的傅氏逆变换为再利用卷积公式

最后得到原定解问题的解为容易看出与格林函数解出的结果具有相同的表示式.55根据傅氏变换定义,的傅氏逆变换为再利用卷积公式最后得到原例6

如果定解问题为下列第二边值问题解令

即容易得到

满足定解问题为56例6如果定解问题为下列第二边值问题解令即容易则根据上述稳定场第一边值问题公式故得到57则根据上述稳定场第一边值问题公式故得到225823本节介绍另一种变换法:拉普拉斯变换法求解定解问题.12.2.1无界区域的问题例12.2.1求解无限长细杆的热传导(无热源)问题(12.2.1)12.2拉普拉斯变换解数学物理定解问题由于要作傅氏变换的函数必须定义在

上,故当我们讨论

半无界问题时,就不能对变量作傅氏变换了.59本节介绍另一种变换法:拉普拉斯变换法求解定解问题.12由此原定解问题中的泛定方程变为对方程(12.2.3)实施傅氏逆变换来进行求解.利用傅氏逆变换公式【解】先对时间作拉氏变换

60由此原定解问题中的泛定方程变为对方程(12.2.3)实施傅以及卷积定理得方程(12.2.3)的解为

(12.2.4)(12.2.4)式作拉氏逆变换,并查阅拉氏变换表,得原定解问

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论