专题24 以几何体为载体的应用题（解析版）

专题24以几何体为载体的应用题在江苏高考的试题中，应用题是每年必考的题型，应用题主要体现了学生运用数学知识解决实际问题的能力。近几年来应用题以几何背景呈现的居多，特别是一些几何体如直棱柱、圆锥、圆柱、球等简单的几何体的面积或体积有关。因此，在复习中要特别重视以几何题为背景的函数应用题。解决此类问题的关键明确各个量之间的关系，运用立体几何的知识点求出各种量，然后表示出面积、体积建立目标函数。例题选讲题型一、多面体有关的应用题例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H，M.已知HM＝5m，BC＝10m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH＝θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,4))).(1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式；(2)已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k(k为正的常数)，下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6m的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？eq\a\vs4\al(思路分析)(1)先通过线面垂直得到FH⊥HM，放在Rt△FHM中，求出FM，根据三角形的面积公式求出△FBC的面积，根据已知条件就可以得到所求S关于θ的函数关系式．(2)先求出主体高度，进而建立出别墅总造价y关于θ的函数关系式，再通过导数法求函数的最小值．(1)规范解答由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM⊂平面ABCD，得FH⊥HM.(2分)在Rt△FHM中，HM＝5，∠FMH＝θ，所以FM＝eq\f(5,cosθ).(4分)因此△FBC的面积为eq\f(1,2)×10×eq\f(5,cosθ)＝eq\f(25,cosθ).从而屋顶面积S＝2S△FBC＋2S梯形ABFE＝2×eq\f(25,cosθ)＋2×eq\f(25,cosθ)×2.2＝eq\f(160,cosθ).所以S关于θ的函数关系式为S＝eq\f(160,cosθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,4))).(6分)(2)在Rt△FHM中，FH＝5tanθ，所以主体高度为h＝6－5tanθ.(8分)所以别墅总造价为y＝S·k＋h·16k＝eq\f(160,cosθ)k－eq\f(80sinθ,cosθ)k＋96k＝80k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－sinθ,cosθ)))＋96k.(10分)记f(θ)＝eq\f(2－sinθ,cosθ)，0<θ<eq\f(π,4)，所以f′(θ)＝eq\f(2sinθ－1,cos2θ)，令f′(θ)＝0，得sinθ＝eq\f(1,2)，又0<θ<eq\f(π,4)，所以θ＝eq\f(π,6).(12分)列表：θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))eq\f(π,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))f′(θ)－0＋f(θ)eq\r(3)所以当θ＝eq\f(π,6)时，f(θ)有最小值．答：当θ为eq\f(π,6)时，该别墅总造价最低．(14分)eq\a\vs4\al(解后反思)理解题意，建立出函数的关系式，是处理最优解类型应用问题的关键，第(1)问，抓住条件”梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍”，只要用θ表示出△FBC面积，即可得到屋顶面积．第(2)问，需要先设出总造价为y元，抓住已知条件，求出主体高度并结合第(1)问中求得的屋顶面积，就可以建立函数关系式．题型二、与球、圆有关的应用题例2、(2018苏北四市期末）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1，为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成，如图2，已知圆O的半径为10cm，设∠BAO＝θ，0<θ<eq\f(π,2)，圆锥的侧面积为Scm2.(1)求S关于θ的函数关系式；(2)为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大，求S取得最大值时腰AB的长度．（图1）（图2）eq\a\vs4\al(思路分析)(1)母线长l是OA在AB上的射影的两倍，可用θ表示．底面半径r是l在底面上的射影，可用l和θ表示．从而S＝πrl可用θ表示；(2)求导数，找导函数的零点，列表确定极大值，唯一的极大值也是最大值．规范解答(1)设AO交BC于点D，过O作OE⊥AB，垂足为E.在△AOE中，AE＝10cosθ，AB＝2AE＝20cosθ.(2分)在△ABD中，BD＝AB·sinθ＝20cosθ·sinθ，(4分)所以S＝eq\f(1,2)·2π·20sinθcosθ·20cosθ＝400πsinθcos2θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2))).(6分)(2)由(1)得S＝400πsinθcos2θ＝400π(sinθ－sin3θ)．(8分)令x＝sinθ(0<x<1)，设f(x)＝x－x3，则f′(x)＝1－3x2，由f′(x)＝1－3x2＝0得x＝eq\f(\r(3),3).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))f′(x)＋0－f(x)极大值所以f(x)在x＝eq\f(\r(3),3)时取得极大值，也是最大值．所以当sinθ＝eq\f(\r(3),3)时，侧面积S取得最大值，(11分)此时等腰三角形的腰长AB＝20cosθ＝20eq\r(1－sin2θ)＝20eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(20\r(6),3)(cm)．答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB的长度为eq\f(20\r(6),3)cm.(14分)例3、（2019秋•闵行区校级月考）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为圆弧的中点）和线段MN构成，已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米，现规范在此农田修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为梯形MNBA，其中AB∥MN，且AB＜MN，大棚Ⅱ内的地块形状为△ABP，要求A、B均在圆弧上，设OB与MN所成的角为θ．（1）用θ表示多边形MAPBN的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若分别在两个大棚内种植两种不同的蔬菜，且这两种蔬菜单位面积的年产值相等，求当θ为何值时，能使种植蔬菜的收益最大．【解析】解：（1）等腰梯形MNBA的高为OBsinθ+10＝40sinθ+10，AB＝2OBcosθ＝80cosθ，MN＝2402-1∴等腰梯形MNBA的面积为12（80cosθ+2015）×（40sinθ+10）＝1600sinθcosθ+400cosθ+40015sinθ+10015等腰三角形PAB中，P到AB的距离为OP﹣OBsinθ＝40（1﹣sinθ），故等腰三角形PAB的面积为12•80cosθ•40（1﹣sinθ）＝1600cosθ﹣1600sinθcosθ∴多边形MAPBN的面积为SMAPBN＝40015sinθ+2000cosθ+10015．∵AB＜MN，∴0＜80cosθ＜2015，即0＜cosθ＜15∴14＜sinθ＜（2）令f（θ）＝40015sinθ+2000cosθ+10015=400（15sinθ+5cosθ）+10015＝400•210sin（θ+φ）+10015．其中sinφ=5210，cosφ=152∴当θ+φ=π2即θ=π2-arctan15【点睛】本题考查了解析式求解，三角函数恒等变换，函数最值的计算，属于中档题．题型三、与柱和锥有关的应用题例4、如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为8米，圆柱的底面半径为4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径．已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y百元．（1）设∠SDO1(rad)，将y表示成θ的函数关系式；（2）求制作该存储设备总费用的最小值．解析（1）因为，.所以y2S底面+2S圆柱侧4S圆锥侧=32+32+=160+64(≤).（2）由（1）知y=160+64(≤)，设，， 因为≤，所以，所以，在(，]上单调递减， 所以，当时，y取到最小值． 题型四、复杂几何体有关的应用题例5、(2017苏州预测卷）如图1所示为一种魔豆吊灯，图2为该吊灯的框架结构图，由正六棱锥和构成，两个棱锥的侧棱长均相等，且棱锥底面外接圆的直径为，底面中心为，通过连接线及吸盘固定在天花板上，使棱锥的底面呈水平状态，下顶点与天花板的距离为，所有的连接线都用特殊的金属条制成，设金属条的总长为y．（1）设∠O1AO=(rad)，将y表示成θ的函数关系式，并写出θ的范围；（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，金属条总长y最小．解析（1）在直角△OAO1中，，，由，所以，所以θ的范围是，其中，．从而有，所以（，）．（2）令，所以，令，则，则．当时，；当时，．函数的单调性与关系列表如下：0+极小值所以，其中取得最小值．答：当角满足（）时，金属条总长y最小．达标训练1、(2017南京、盐城二模）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中a≥b.(1)当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．思路分析(1)纸盒侧面积S(x)是关于x的函数，即求S(x)max.(2)先猜想并证明a＝b时，底面积取最大，这样问题变为求体积关于x的函数的最大值．规范解答(1)当a＝90时，b＝40，纸盒的底面矩形的长为90－2x，宽为40－2x，周长为260－8x.所以纸盒的侧面积S(x)＝(260－8x)x＝－8x2＋260x，其中x∈(0,20)，(3分)故S(x)max＝Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(65,4)))＝eq\f(4225,2).答：当a＝90时，纸盒侧面积的最大值为eq\f(4225,2)平方厘米．(6分)(2)纸盒的体积V＝(a－2x)(b－2x)x，其中x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,2)))，a≥b＞0，且ab＝3600.(8分)因为(a－2x)(b－2x)＝ab－2(a＋b)x＋4x2≤ab－4eq\r(ab)x＋4x2＝4(x2－60x＋900)，当且仅当a＝b＝60时取等号，所以V≤4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30)．(10分)记f(x)＝4(x3－60x2＋900x)，x∈(0,30)，则f′(x)＝12(x－10)(x－30)，令f′(x)＝0，得x＝10，列表如下：x(0,10)10(10,30)f′(x)＋0－f(x)极大值由上表可知，f(x)的极大值是f(10)＝16000，也是最大值．(12分)答：当a＝b＝60，且x＝10时，纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．(14分)解后反思因为a＝eq\f(3600,b)，所以第(2)题实际上是体积V关于两个变量b，x的最值问题．先固定x，处理变量b，再处理x.另外，对于求f(x)的最大值，学习过《不等式选讲》的学生也可用下面的解法．因为x∈(0,30)，所以f(x)＝4x(30－x)2＝2·2x(30－x)(30－x)≤2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋30－x＋30－x,3)))3＝16000，当且仅当x＝10时取等号．2、(2017徐州、连云港、宿迁三检））某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(，为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，且．设，透光区域的面积为．（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边的长度．规范解答（1）过点作于点，则，所以，．……………2分所以，………………6分因为，所以，所以定义域为．……8分（2）矩形窗面的面积为．则透光区域与矩形窗面的面积比值为．…10分设，．则，………………12分因为，所以，所以，故，所以函数在上单调减．所以当时，有最大值，此时(m)．…14分答：（1）关于的函数关系式为，定义域为；（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时，的长度为1（m）．………16分点评：本题考生失分的原因是第（2）小题中函数的导数不会求解或不敢求解，所以提醒考生在备考中注意回归基本概念公式，同时注意查漏补缺，避免无效的重复，切实提高复习效益。3、(2016南通、扬州、泰州、淮安三调）某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口．(1)若窗口ABCD为正方形，且面积大于eq\f(1,4)m2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(2)若四根木条总长为6m，求窗口ABCD面积的最大值．eq\a\vs4\al(思路分析)第(1)问，注意到四边形ABCD为正方形，所以四根木条的长度相等，以木条的长度x为自变量，将正方形的面积表示为x的函数，根据四边形ABCD的面积的要求，以及“四根木条将圆分成9个区域”来求出四根木条的总长度的取值范围；第(2)问，由于四根木条的总长为6m，所以AB，BC所在的木条的长度之和为3m，因此，可以选择AB所在的木条的长度为自变量a，求出四边形ABCD的面积的表达式，应用导数法来求出它的最大值；或者，选择双变量，即AB，BC所在的木条的长度为自变量a，b，建立四边形ABCD的面积的表达式，应用基本不等式来求它的最大值．规范解答(1)设一根木条长为xm，则正方形的边长为2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))2)＝eq\r(4－x2)m.(2分)因为S四边形ABCD>eq\f(1,4)，所以4－x2>eq\f(1,4)，即x<eq\f(\r(15),2).(4分)又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x>eq\r(2)，所以4eq\r(2)<4x<2eq\r(15).答：四根木条总长的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(2)，2\r(15))).(6分)(2)解法1设AB所在的木条长为am，则BC所在的木条长为(3－a)m.因为a∈(0,2)，3－a∈(0,2)，所以a∈(1,2)．(8分)S矩形ABCD＝4eq\r(1－\f(a2,4))·eq\r(1－\f(3－a2,4))＝eq\r(4－a2)·eq\r(4－3－a2)＝eq\r(a4－6a3＋a2＋24a－20)，(11分)设f(a)＝a4－6a3＋a2＋24a－20，则f′(a)＝4a3－18a2＋2a＋24＝2(a＋1)(2a－3)(a－4)，令f′(a)＝0，得a＝eq\f(3,2)或a＝－1(舍去)或a＝4(舍去)．(14分)列表如下：aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))f′(a)＋0－f(a)极大值所以当a＝eq\f(3,2)时，f(a)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(49,16)，即Smax＝eq\f(7,4).答：窗口ABCD面积的最大值为eq\f(7,4)m2.(16分)解法2设AB所在的木条长为am，BC所在的木条长为bm.由条件知，2a＋2b＝6，即a＋b＝3.因为a，b∈(0,2)，所以b＝3－a∈(0,2)，从而a，b∈(1,2)．(8分)由于AB＝2eq\r(1－\f(b2,4))，BC＝2eq\r(1－\f(a2,4))，S矩形ABCD＝4eq\r(1－\f(b2,4))·eq\r(1－\f(a2,4))＝eq\r(4－b2)·eq\r(4－a2)，(10分)因为eq\r(4－b2)·eq\r(4－a2)≤eq\f(8－a2＋b2,2)≤eq\f(8－\f(a＋b2,2),2)＝eq\f(7,4)，(14分)当且仅当a＝b＝eq\f(3,2)∈(1,2)时，S矩形ABCD＝eq\f(7,4).答：窗口ABCD面积的最大值为eq\f(7,4)m2.(16分)eq\a\vs4\al(易错警示)第(1)问中，最容易出错的地方是忽略“四根木条将圆分成9个区域”这一条件，从而导致变量的取值范围出错．eq\a\vs4\al(解后反思)本题的本质是直线