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文档简介
2023学年高考数学模拟测试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.给出下列四个命题:①若“且”为假命题,则﹑均为假命题;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③若命题,,则命题,;④设集合,,则“”是“”的必要条件;其中正确命题的个数是()A. B. C. D.2.已知,则()A. B. C. D.23.在中,点D是线段BC上任意一点,,,则()A. B.-2 C. D.24.已知Sn为等比数列{an}的前n项和,a5=16,a3a4=﹣32,则S8=()A.﹣21 B.﹣24 C.85 D.﹣855.已知当,,时,,则以下判断正确的是A. B.C. D.与的大小关系不确定6.执行如图所示的程序框图,当输出的时,则输入的的值为()A.-2 B.-1 C. D.7.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升(注:一斗为十升).问,米几何?”下图是解决该问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的S=15(单位:升),则输入的k的值为() A.45 B.60 C.75 D.1008.设为虚数单位,复数,则实数的值是()A.1 B.-1 C.0 D.29.若集合,则()A. B.C. D.10.已知实数,则下列说法正确的是()A. B.C. D.11.定义两种运算“★”与“◆”,对任意,满足下列运算性质:①★,◆;②()★★,◆◆,则(◆2020)(2020★2018)的值为()A. B. C. D.12.网络是一种先进的高频传输技术,我国的技术发展迅速,已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款手机,现调查得到该款手机上市时间和市场占有率(单位:%)的几组相关对应数据.如图所示的折线图中,横轴1代表2019年8月,2代表2019年9月……,5代表2019年12月,根据数据得出关于的线性回归方程为.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势,则最早何时该款手机市场占有率能超过0.5%(精确到月)()A.2020年6月 B.2020年7月 C.2020年8月 D.2020年9月二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.三对父子去参加亲子活动,坐在如图所示的6个位置上,有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有________种(比如:B与D、B与C是相邻的,A与D、C与D是不相邻的).14.已知直角坐标系中起点为坐标原点的向量满足,且,,,存在,对于任意的实数,不等式,则实数的取值范围是______.15.设平面向量与的夹角为,且,,则的取值范围为______.16.若双曲线C:(,)的顶点到渐近线的距离为,则的最小值________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性并指出相应单调区间;(2)若,设是函数的两个极值点,若,且恒成立,求实数k的取值范围.18.(12分)已知直线是曲线的切线.(1)求函数的解析式,(2)若,证明:对于任意,有且仅有一个零点.19.(12分)已知曲线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).(1)求和的普通方程;(2)过坐标原点作直线交曲线于点(异于),交曲线于点,求的最小值.20.(12分)在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,,,分别为,的中点.(1)求证:.(2)若,求二面角的余弦值.21.(12分)在中,角的对边分别为,且满足.(Ⅰ)求角的大小;(Ⅱ)若的面积为,,求和的值.22.(10分)已知函数.(1)解不等式;(2)记函数的最大值为,若,证明:.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】
①利用真假表来判断,②考虑内角为,③利用特称命题的否定是全称命题判断,④利用集合间的包含关系判断.【题目详解】若“且”为假命题,则﹑中至少有一个是假命题,故①错误;当内角为时,不是象限角,故②错误;由特称命题的否定是全称命题知③正确;因为,所以,所以“”是“”的必要条件,故④正确.故选:B.【答案点睛】本题考查命题真假的问题,涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识,是一道基础题.2、B【答案解析】
结合求得的值,由此化简所求表达式,求得表达式的值.【题目详解】由,以及,解得..故选:B【答案点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值,考查二倍角公式,属于中档题.3、A【答案解析】
设,用表示出,求出的值即可得出答案.【题目详解】设由,,.故选:A【答案点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算,需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义,属于基础题.4、D【答案解析】
由等比数列的性质求得a1q4=16,a12q5=﹣32,通过解该方程求得它们的值,求首项和公比,根据等比数列的前n项和公式解答即可.【题目详解】设等比数列{an}的公比为q,∵a5=16,a3a4=﹣32,∴a1q4=16,a12q5=﹣32,∴q=﹣2,则,则,故选:D.【答案点睛】本题主要考查等比数列的前n项和,根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键,属于基础题.5、C【答案解析】
由函数的增减性及导数的应用得:设,求得可得为增函数,又,,时,根据条件得,即可得结果.【题目详解】解:设,则,即为增函数,又,,,,即,所以,所以.故选:C.【答案点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用,属中档题.6、B【答案解析】若输入,则执行循环得结束循环,输出,与题意输出的矛盾;若输入,则执行循环得结束循环,输出,符合题意;若输入,则执行循环得结束循环,输出,与题意输出的矛盾;若输入,则执行循环得结束循环,输出,与题意输出的矛盾;综上选B.7、B【答案解析】
根据程序框图中程序的功能,可以列方程计算.【题目详解】由题意,.故选:B.【答案点睛】本题考查程序框图,读懂程序的功能是解题关键.8、A【答案解析】
根据复数的乘法运算化简,由复数的意义即可求得的值.【题目详解】复数,由复数乘法运算化简可得,所以由复数定义可知,解得,故选:A.【答案点睛】本题考查了复数的乘法运算,复数的意义,属于基础题.9、A【答案解析】
先确定集合中的元素,然后由交集定义求解.【题目详解】,.故选:A.【答案点睛】本题考查求集合的交集运算,掌握交集定义是解题关键.10、C【答案解析】
利用不等式性质可判断,利用对数函数和指数函数的单调性判断.【题目详解】解:对于实数,,不成立对于不成立.对于.利用对数函数单调递增性质,即可得出.对于指数函数单调递减性质,因此不成立.故选:.【答案点睛】利用不等式性质比较大小.要注意不等式性质成立的前提条件.解决此类问题除根据不等式的性质求解外,还经常采用特殊值验证的方法.11、B【答案解析】
根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值,可得选项.【题目详解】由()★★,得(+2)★★,又★,所以★,★,★,,以此类推,2020★2018★2018,又◆◆,◆,所以◆,◆,◆,,以此类推,◆2020,所以(◆2020)(2020★2018),故选:B.【答案点睛】本题考查定义新运算,关键在于理解,运用新定义进行求值,属于中档题.12、C【答案解析】
根据图形,计算出,然后解不等式即可.【题目详解】解:,点在直线上,令因为横轴1代表2019年8月,所以横轴13代表2020年8月,故选:C【答案点睛】考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用,基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、192【答案解析】
根据题意,分步进行分析:①,在三对父子中任选1对,安排在相邻的位置上,②,将剩下的4人安排在剩下的4个位置,要求父子不能坐在相邻的位置,由分步计数原理计算可得答案.【题目详解】根据题意,分步进行分析:①,在三对父子中任选1对,有3种选法,由图可得相邻的位置有4种情况,将选出的1对父子安排在相邻的位置,有种安排方法;②,将剩下的4人安排在剩下的4个位置,要求父子不能坐在相邻的位置,有种安排方法,则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法种;故答案为:【答案点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.14、【答案解析】
由题意可设,,,由向量的坐标运算,以及恒成立思想可设,的最小值即为点,到直线的距离,求得,可得不大于.【题目详解】解:,且,可设,,,,可得,可得的终点均在直线上,由于为任意实数,可得时,的最小值即为点到直线的距离,可得,对于任意的实数,不等式,可得,故答案为:.【答案点睛】本题主要考查向量的模的求法,以及两点的距离的运用,考查直线方程的运用,以及点到直线的距离,考查运算能力,属于中档题.15、【答案解析】
根据已知条件计算出,结合得出,利用基本不等式可得出的取值范围,利用平面向量的数量积公式可求得的取值范围,进而可得出的取值范围.【题目详解】,,,由得,,由基本不等式可得,,,,,因此,的取值范围为.故答案为:.【答案点睛】本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围,考查计算能力,属于中等题.16、【答案解析】
根据双曲线的方程求出其中一条渐近线,顶点,再利用点到直线的距离公式可得,由,利用基本不等式即可求解.【题目详解】由双曲线C:(,,可得一条渐近线,一个顶点,所以,解得,则,当且仅当时,取等号,所以的最小值为.故答案为:【答案点睛】本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值,注意验证等号成立的条件,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)答案见解析(2)【答案解析】
(1)先对函数进行求导得,对分成和两种情况讨论,从而得到相应的单调区间;(2)对函数求导得,从而有,,,三个方程中利用得到.将不等式的左边转化成关于的函数,再构造新函数利用导数研究函数的最小值,从而得到的取值范围.【题目详解】解:(1)由,,则,当时,则,故在上单调递减;当时,令,所以在上单调递减,在上单调递增.综上所述:当时,在上单调递减;当时,在上单调递减,在上单调递增.(2)∵,,由得,∴,,∴∵∴解得.∴.设,则,∴在上单调递减;当时,.∴,即所求的取值范围为.【答案点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值,考查分类讨论思想和数形结合思想,求解双元问题的常用思路是:通过换元或消元,将双元问题转化为单元问题,然后利用导数研究单变量函数的性质.18、(1)(2)证明见解析【答案解析】
(1)对函数求导,并设切点,利用点既在曲线上、又在切线上,列出方程组,解得,即可得答案;(2)当x充分小时,当x充分大时,可得至少有一个零点.再证明零点的唯一性,即对函数求导得,对分和两种情况讨论,即可得答案.【题目详解】(1)根据题意,,设直线与曲线相切于点.根据题意,可得,解之得,所以.(2)由(1)可知,则当x充分小时,当x充分大时,∴至少有一个零点.∵,①若,则,在上单调递增,∴有唯一零点.②若令,得有两个极值点,∵,∴,∴.∴在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.∴极大值为.,又,∴在(0,16)上单调递增,∴,∴有唯一零点.综上可知,对于任意,有且仅有一个零点.【答案点睛】本题考查导数的几何意义的运用、利用导数证明函数的零点个数,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意零点存在定理的运用.19、(1)曲线的普通方程为:;曲线的普通方程为:(2)【答案解析】
(1)消去曲线参数方程中的参数,求得和的普通方程.(2)设出过原点的直线的极坐标方程,代入曲线的极坐标方程,求得的表达式,结合三角函数值域的求法,求得的最小值.【题目详解】(1)曲线的普通方程为:;曲线的普通方程为:.(2)设过原点的直线的极坐标方程为;由得,所以曲线的极坐标方程为在曲线中,.由得曲线的极坐标方程为,所以而到直线与曲线的交点的距离为,因此,即的最小值为.【答案点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程,考查直角坐标方程化为极坐标方程,考查极坐标系下距离的有关计算,属于中档题.20、(1)见解析(2)【答案解析】
(1)由已知可证明平面,从而得证面面垂直,再由,得线面垂直,从而得,由直角三角形得结论;(2)以为轴建立空间直角坐标系,用空间向量法示二面角.【题目详解】(1)证明:连接,,.,,平面.平面,平面平面.,为的中点,.平面平面,平面.平面,.为斜边的中点,,(2),由(1)可知,为等腰直角三角形,则.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,则,记平面的法向量为由得到,取,可得,则.易知平面的法向量为.记二面角的平面角为,且由图可知为锐角,则,所以二面角的余弦值为.【答案点睛】本题考查用面面垂直的性质定理证明线面垂直,从而得线线垂直,考查用空间向量法
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