大学物理：第07章 刚体

1第七章刚体27.1刚体运动学7.2定轴转动惯量和转动定理7.3快速陀螺的旋进37.1刚体运动学刚体的特殊性与刚体三角形pq刚体在运动或相互作用过程中,大小和形状均保持不变的物体——特殊的质点系。理想模型，比起质点模型更接近实际的物体，是“刚性连结”的质点组。定量描述：无形变刚体上任意两点之间的距离始终保持不变推论:(1)任意两点的速度矢量，在其连线方向的分量相等否则l将有收缩，与刚体特性矛盾。(2)刚体内部一对内力作功之和为零。结论:因此刚体的动能变化时，不必计及内力做功的贡献4基于以上讨论，在刚体上任取三个不共线的点，则可完全确定刚体的空间位置和取向——刚性三角形概念，代表刚体ABCt时刻t+t时刻t无限小时间或有限大小时间5刚体的平动与转动平动：刚体上任一直线在运动过程中方向始终保持平行刚体平动时各点的运动情况都相同转动：刚体上各点都绕同一直线作圆周运动。该直线保持不动刚体上其他点绕该直线作圆周运动。此直线称为转轴。转轴固定不动——定轴转动刚体转轴不固定，不断变化——瞬时转轴刚体上仅有一点不动——定点转动可选任一点的运动代表整个刚体的平动，一般选择质心为代表6d刚体的一般运动可视为随刚体上某一基点A的平动和绕该点的定点转动的合成平动+转动7刚体运动的自由度自由度：用以确定运动物体位置的独立坐标数目。确定刚体位置的3点n=9一个自由质点：n=3N个质点在空间自由运动：n=3N3点之间距离不变-3个约束方程刚体n=9-3＝6

平动3个自由度转动3个自由度确定刚体上A点n=3(x,y,z)刚体定轴转动：n=1ABC再确定B点n=2(,)再确定C点n=1()刚体运动自由度刚体平面运动：2个平动自由度＋1个转动自由度n=3物体系运动自由度m，决定了其独立的微分方程组的数目有m个，其中每个方程均为二阶微分方程。若运动被限制或被约束，其自由度将减少。多一个约束条件，就减少一个自由度，方程易解。8定轴转动定轴转动下刚体中各点都作圆周运动，它们的轨道平面彼此重合或平行，以转轴作为圆心轴图中为任一质元P的轨道平面，经dt角位移d，角速度P点速度大小：大小方向：沿轴线，右手螺旋法则方向：沿切线，指向前进的方向在轴上取一点O，根据定义有故上式作为角速度的一般定义，不仅适用于定轴，也适用于刚体的任一运动。参考点O必须在轴上。将R表示成矢量，则在定轴转动下，9角量和线量关系各质元绕轴作圆周运动，故采用自然坐标系对任意运动定轴转动：称为角加速度），方向：正切向方向：法向10说明角量是对刚体运动作整体描述的物理量——属整个刚体，“共性”的体现线量是描述刚体上某点运动情况的物理量——各点不同，“个性”的体现117.2定轴转动惯量和转动定理一、角动量的轴分量Lz和力矩分量Mz思路：对点的角动量定理对轴的角动量定理——定轴转动定理应用三重矢积恒等式导出角动量分量式121.角动量的轴分量Lz考虑以角速度绕z轴转动的一个刚体，相对于原点O的角动量为于是为mi到轴的距离13于是总角动量的三个分量为角动量的x,y分量并不为零，即刚体的角动量与角速度方向不同。Lx

，Ly，Lz取决于刚体的质量分布。更一般的情况(刚体任意运动)时转动惯量142.力矩的轴分量已有15二、转动惯量1.定义和物理意义Ri为质量元mi的位置与轴的距离(轴距)定义说明：刚体的转动惯量是由总质量、质量分布、转轴的位置

三个因素决定。(详细见正交轴定理)转动惯量是刚体在定轴转动下表现出来的惯性的量度对质量连续分布的物体角动量z轴分量可写为162.常见的转动惯量公式173.平行轴定理IC为刚体绕质心轴的转动惯量；d为两平行轴间距离。dOC以薄板为特例给以证明平行轴定理

如图，质量元对O点位矢为，对质心C的位矢为，注意到矢量三角形有dCO18代入转动惯量公式对于三维刚体或质点组，该关系式也是正确的。其证明思路上述过程类似。对质心轴的转动惯量ICdOCmd20质心位矢推论：刚体沿任何方向转动，绕通过质心的转轴的转动惯量最小19例质量m、长l的匀质细杆，转轴垂直细杆

(a)位于质心、(b)位于一端

求：细杆的转动惯量。(a)转轴位于质心(b)转轴位于一端xdxxOlOx204.薄板正交轴定理薄板平面xy,绕x轴转动惯量Ix，绕y轴Iy，绕z轴Iz从I的定义和上面两个定理可知，I的大小刚体的转动惯量是由总质量、质量分布、转轴的位置

三个因素决定。演示不同I的物体滚动zi=021例题如图,圆环质量m1,半径R，短棒质量m2,长度d。求：对z轴的转动惯量根据平行轴定理，圆环对转轴z的转动惯量为dzR

圆环转动惯量转轴：过圆心，与纸面垂直解：因此，整个元件对z轴的转动惯量为根据正交轴定理有Oy’x’⊙z’22三、定轴转动定理1.定轴转动定理刚体情况下，I不变，则有称为角加速度叙述：外力对轴的力矩等于刚体对轴的转动惯量与角加速度的乘积与牛二类比

由相对质心的角动量定理过质心的定轴转动无论质心系是惯性系

还是非惯性系都成立。232.轴承约束力转动体受到的外力既有外在主动力，

也有隐蔽的轴承给予的约束力。但对质心运动起作用，质心作圆周运动所需的向心力就由轴承约束力提供。反过来轴承也会受到此约束力的反作用力。实际上，轴承有一定粗细。因此轴承与转动体之间的摩擦力矩一般不为零。在工程的设计，制造和安装中需要认真对待。匀角速度转动时，轴承约束力方向与轴距

反平行；非匀角速度转动时约束力有切向分量。轴向约束力的Mz为零，对刚体转动没有贡献。243.角动量Lz守恒说明：

角动量保持不变是转动惯量与角速度的积不变。角动量守恒的两种情况:(1)如果转动惯量不变,则角速度也不变;(2)如转动惯量改变,则角速度也改变.虽然质心系不是惯性系，同样有角动量变化定理和角动量守恒。如果外力通过质心，质心系中角动量守恒。当外力矩M=0时，L=I=C。不局限于刚体25举例1、离心节速器——演示实验当机器负荷增大时，由于阻力增大，转速将降低，这时重球旋转半径减小滑环下降，使节流阀门开大，增加进气量，使机器增大输出动力，转速就上升，恢复到原来值。当负荷变小而速度增大时，重球旋转半径加大，使阀门关小减少进气量，使转速下降，也可恢复到原来值。这样，就自动地起调节速度的作用，使机器以一定的速度旋转。仪器的构造如下：在竖直轴顶部的小盘上，连有两个金属杆，杆的末端各有一个金属球。转轴上套有可以上下滑动的金属滑环，滑环上有支杆与两重球的金属杆相连接。轴的顶端与滑环之间套有可伸缩的弹簧。转轴静止时，二重球下垂与转轴并拢，套在轴上的弹簧伸展。转动后，重球做离心运动而飞起，压缩铀上弹簧。转速增大时，重球的旋转半径增大，滑环上升，反之下降。如果利用卡在滑环中的连杆与节流阀相连(如图所示)，控制机器的进气量，就可以达到调节转速的目的。因此这个装置叫做离心节速器。262、花样滑冰，芭蕾舞表演：绕通过重心的铅直轴高速旋转外力(重力，支撑力)对轴的矩总为零，角动量守恒通过改变自身的转动惯量来改变角速度。27茹可夫斯基凳283、跳水运动员，跳马

伸直，以初角速度起跳卷缩，减小I，以增大角速度伸直，入水时I增大角速度减小，以保持竖直入水29跳水(1)离开跳板时，绕通过质心的水平轴具有角速率0。(2)质心作抛物线运动，同时以0旋转，恰好能在入水前旋转半周。(3)如果想在同一时间内翻一周半，则必须使角速率增加三倍。受力分析：仅受重力，不会产生绕质心的力矩。角动量守恒30则努力：将两臂和两腿向质心收拢，尽量减小转动惯量。注意：此过程中，运动员的转动动能不守恒开始时：一周半过程中转动动能增大了，动能来源于他自己，收缩身体，必须作功。314、宇航员的转体，如图325、猫的空中转体解释1：猫靠尾巴转体解释2：无力矩情况下的前后身体模型33日本大地震导致地球11日自转加速1.6微秒2011年3月11日引述美国国家航空暨太空总署(NASA)地球物理学家葛罗斯(RichardGross)的计算，因为日本发生规模8.8级强震，导致地球自转快了1.6微秒。美国地质勘探局地球物理学家肯·赫德纳特说，依据美国国家航空航天局收集的资料，这次强震使日本本州岛向东移动大约2.4米。这次地震造成地球自转加速的程度，比去年智利地震所造成的影响还大一点，但是2004年苏门答腊强震，使得当天地球自转快了6.8微秒。

它导致地球自转轴发生25厘米位移34四、定轴转动动能定理动能——刚体动能(定轴转动动能)得到——微分形式——积分形式，外力矩的功刚体内力不作功外力矩元功35矢量混合积轮换性质：——外力矩元功36直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动刚体的定轴转动例题动滑轮的质心加速度（蓝宝书136页7.3节，图

例题2）

注意：动滑轮与绳子相切的点，，相对地面速度为零。动滑轮在绳子上的运动是纯滚动。铅直面中的转动杆（蓝宝书140页7.4节，图7-17）37动滑轮的质心加速度-13839动滑轮的质心加速度-2例题

匀质细棒：l

、m，可绕通过端点O的水平轴转动。棒从水平位置自由释放后，在竖直位置与放在地面的物体m相撞。该物体与地面的摩擦因数为，撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。求撞后棒的质心C离地面的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。分三个阶段进行分析。解：第一阶段：棒自由摆落的过程，机械能守恒。第二阶段：碰撞过程。系统的对O轴的角动量守恒。第三阶段：碰撞后物体的滑行过程与棒的上升过程。物体做匀减速直线运动。联合求解，即得碰撞后棒的角速度：'取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。棒向左摆的条件为棒向右摆的条件为棒的质心C上升的最大高度，也可由机械能守恒定律求得：437.3快速陀螺的旋进

绕对称轴高速旋转的陀螺，尽管受到重力矩的作用却倾而不倒。除绕对称轴的高速旋转之外，同时还有对称轴绕竖直轴的回转。这种回转现象称为旋进或进动(procession)。2005年6月8日，一名青年在贵阳市休闲文化广场，在玩一个巨型木制陀螺。该陀螺高35厘米，直径22厘米，抽陀螺的鞭子用马达带制成。玩具陀螺不转动时，受到重力的作用而倒下来。演示：陀螺进动44rcdLωsωpO地面光滑，质心位置不动！地面摩擦力提供向心力重力矩使刚体产生进动和章动θ45理论说明——近似处理1)对于对称刚体，如果选择对称轴上一点O，考量转动角动量Ls，有:对称分布2)快速重陀螺，其自转角速度值ωs>>ω

p；近似条件下，总角速度ω和总角动量可以表示为：rcdLωsωpO则有：L////Oz(//rC)，三者方向一致，因此L的空间变化即可导致Oz轴空间运动。3)忽略摩擦力，参考点选O点重力矩根据角动量定理(转动定理)46力矩与角动量垂直，则力矩只改变角动量的方向而不改变它的大小。如同力与速度垂直，则力仅改变速度方向不改变速度大小。综合以上，在重力矩作用下自转轴(Oz)绕垂直轴(OZ)缓慢旋转——即为进动。进动OZOZLsinMmgdzz定点支持力矩为零，忽略摩擦力矩；重力矩垂直于角动量47

由此可见，陀螺的进动角速度随着自转角速度、I的增大而减少，与角度无关。由角动量定理OZLsind4)旋进角速度ωpz48进动Oz进动章动章动－当陀螺的自转角速度不够大时，则除了自转和进动外，陀螺对称轴还会在铅垂面内上下摆动，即角会有大小波动，称为章动。5)如果高速自转的刚体，其质量分布偏离对称性，或者上述近似条件不能满足，则角动量，自转轴和角速度三者方向不平行。严格的理论表明，此时的陀螺既有φ角的变化－旋进，又有θ的变化-章动(nutation)。49地球进动周期=25770~26000年地球章动周期=18.6~19年地球进动周期约为2.6万年，章动周期约为19年。中国古代历法以19年为一章，译名“章动”即源于此。50如地球是一个自传体，但是其质量分布并不均匀，且通过地心的地轴并不垂直于地心公转平面，即赤道