2021年河南省开封市致远中学高三数学理期末试题含解析

2021年河南省开封市致远中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数在区间[－3，3]的图象大致为A.

B.

C.

D.参考答案：B2.已知集合A{x|y=lg（2﹣x）}，集合B={x|﹣2≤x≤2}，则A∩B=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|﹣2≤x＜2} D．{x|x＜2}参考答案：C【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义和对数函数性质求解．【解答】解：∵集合A{x|y=lg（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}，集合B={x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B={x|﹣2≤x＜2}．故选：C．3.若为圆的弦的中点，则直线的方程（

）A. B.

C. D.参考答案：A4.“（）”是“”的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不是充分条件也不是必要条件参考答案：A试题分析：当时，当时得推不出，“（）”是“”的充分不必要条件．故选A.考点：1、充分条件与必要条件；2、特殊角的三角函数及诱导公式.5.在同一个坐标系中画出函数，的部分图象，其中且，则下列所给图象中可能正确的是（

）参考答案：D略6.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为y＝2x2＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：(1)y＝2x2＋1，x∈{－2}；(2)y＝2x2＋1，x∈{2}；(3)y＝2x2＋1，x∈{－2,2}．那么函数解析式为y＝2x2＋1，值域为{1,5}的“孪生函数”共有()A．5个

B．4个

C．3个

D．2个参考答案：C7.若、表示两条直线，表示平面，下列命题中的真命题为（

）（A）若，，则

（B）若，，则（C）若，，则

（D）若，，则参考答案：C【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线、平面的平行和垂直关系.【正确选项】C【试题分析】选项A中，由，则b可能在平面内，故该命题为假命题；选项B中，由，则b或，故该命题为假命题；选项C中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题；选项D中，由可得到a,b相交或平行，故该命题是假命题，故答案为C.8.已知函数 (a>0)的最小值为2，则实数a=A.2

B.4

C.8

D.16参考答案：B由得，故函数的定义域为，易知函数在上单调递增，所以，解得。选B。

9.已知x1，x2是方程ex﹣mx=0的两解，其中x1＜x2，则下列说法正确的是（）A．x1x2﹣1＞0 B．x1x2﹣1＜0 C．x1x2﹣2＞0 D．x1x2﹣2＜0参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】①当m≤0时，检验不满足条件；②当m＞0时，利用导数求得f（x）的最小值为f（lnm）＜0，可得m＞e．不妨取m=，可得f（2）=0，又f（0）=1＞0，f（）＜0，可得x2=2，0＜x1＜，从而得到x1?x2＜1．【解答】解：令f（x）=ex﹣mx，∴f′（x）=ex﹣m，①当m≤0时，f′（x）=ex﹣m＞0在x∈R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增，不满足f（x）=ex﹣mx=0有两解；②当m＞0时，令f′（x）=ex﹣m=0，即ex﹣m=0，解得x=lnm，∴在（﹣∞，lnm）上，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，lnm）上单调递减，在（lnm，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（lnm，+∞）上单调递增．∵函数f（x）=ex﹣mx有两个零点x1＜x2，∴f（lnm）＜0，且m＞0，∴elnm﹣mlnm=m﹣mlnm＜0，∴m＞e．不妨取m=，可得f（2）=e2﹣2m=0，又f（0）=1＞0，f（）=﹣＜﹣＜0，∴x2=2，0＜x1＜，∴x1?x2＜1，故选：B．10.复数表示复平面内的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.数列{an}的通项公式为an＝，其前n项之和为10，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为________．参考答案：-120由已知，得an＝＝－，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1，∴－1＝10，解得n＝120，即直线方程化为121x＋y＋120＝0，故直线在y轴上的截距为－12012.将函数的图象向左平移个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则的最小值是

参考答案：函数的图象向左平移个长度单位后变为，其图象关于原点对称，则因为，所以当时，有最小值，最小值为13.对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道.给出下列函数：①；②；③；④其中在区间上通道宽度可以为的函数有

(写出所有正确的序号).参考答案：①③④【知识点】单元综合B14函数①，在区间[1，+∞）上的值域为（0，1]，满足0≤f（x）≤1，

∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；函数②，在区间[1，+∞）上的值域为[-1，1]，

满足-1≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为2；

函数③，在区间[1，+∞）上的图象是双曲线x2-y2=1在第一象限的部分，其渐近线为y=x，满足x-1≤f（x）≤x，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；

函数④，在区间[1，+∞）上的值域为[0，]，满足0≤f（x）≤＜1，

∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1．故满足题意的有①③④．【思路点拨】对4个函数逐个分析其值域或者图象的特征，即可得出结论．14.设为坐标原点，，若点满足则取得最小值时，点B的坐标是________.参考答案：由得，，所以不等式对应的区域为，因为，所以，令，则，做平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，所以当点B位于C时，取得最小值，此时坐标为。15.设函数的定义域为R，若存在常数对一切实数均成立，则称为“条件约束函数”．现给出下列函数： ①； ②； ③； ④是定义在实数集R上的奇函数，且对一切均有．其中是“条件约束函数”的序号是_____（写出符合条件的全部序号）．参考答案：①③④16.对于命题使得则为（

）。参考答案：，均有≥0；17.若这10个数据的样本平均数为,方差为0.33,则，这11个数据的方差为________．参考答案：0.3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知点（），过点P作抛物线C：的切线，切点分别为、（其中）．

（Ⅰ）求与的值（用a表示）；

（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线AB相切，求圆E面积的最小值．参考答案：解：（Ⅰ）由可得，．∵直线与曲线相切，且过点，∴，即，∴，或，同理可得：，或∵，∴，．

……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，则直线的斜率，∴直线的方程为：，又，∴，即．∵点到直线的距离即为圆的半径，即，∴，当且仅当，即，时取等号．故圆面积的最小值．

……15分略19.已知数列{an}满足，，．（1）求证：数列为等比数列；（2）是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由．参考答案：解：（1）因为，所以．…………………1分所以．……………ks5u……3分因为，则．…………4分所以数列是首项为，公比为的等比数列．…………5分（2）由（1）知，，所以．……7分假设存在互不相等的正整数，，满足条件，则有……………………9分由与，得．……………………10分即．……………11分因为，所以．……………12分因为，当且仅当时等号成立，这与，，互不相等矛盾．……………………13分所以不存在互不相等的正整数，，满足条件．……………14分

略20.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线.（Ⅰ）写出曲线C1，C2的普通方程；（Ⅱ）过曲线C1的左焦点且倾斜角为的直线交曲线C2于A，B两点，求.23.选修4-5：不等式选讲已知，使不等式成立.（1）求满足条件的实数t的集合T；（2）若，，对，不等式恒成立，求的最小值.参考答案：（Ⅰ）即曲线的普通方程为∵，，曲线的方程可化为即.（Ⅱ）曲线左焦点为直线的倾斜角为，所以直线的参数方程为（参数）将其代入曲线整理可得，所以.设对应的参数分别为则所以，.所以.23.解：（1）令，则，由于使不等式成立，有.（2）由（1）知，，根据基本不等式，从而，当且仅当时取等号，再根据基本不等式，当且仅当时取等号.所以的最小值为18.21.设函数，其中.已知.（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.参考答案：(Ⅰ).(Ⅱ).试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到由题设知及可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得从而根据得到，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，.故，，又，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以.因为，所以，当，即时，取得最小值.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.22.设函数f（x）=|2x+2|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若?x∈R，f（x）≥t2﹣t恒成立，求实数t的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=，分类讨论，求得f（x）＞2的解集．（Ⅱ）由f（x）的解析式求得f（x）的最小值为f（﹣1）=﹣3，再根据f（﹣1）≥t2﹣，求得实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+2|﹣|