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文档简介
2023学年高考数学模拟测试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,若函数在区间上单调递增,则的最大值为().A. B. C. D.2.已知函数,则函数的图象大致为()A. B.C. D.3.执行下面的程序框图,则输出的值为()A. B. C. D.4.我国古代有着辉煌的数学研究成果,其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,有丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为()A. B. C. D.5.已知函数在上单调递增,则的取值范围()A. B. C. D.6.在中,是的中点,,点在上且满足,则等于()A. B. C. D.7.已知函数,为的零点,为图象的对称轴,且在区间上单调,则的最大值是()A. B. C. D.8.党的十九大报告明确提出:在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享,进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响,在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验,根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图,最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是()A. B.C. D.9.记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间,设函数,则不等式的解集为()A.2阶区间 B.3阶区间 C.4阶区间 D.5阶区间10.已知函数,,且,则()A.3 B.3或7 C.5 D.5或811.已知是双曲线的左、右焦点,若点关于双曲线渐近线的对称点满足(为坐标原点),则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.12.已知双曲线的左,右焦点分别为,O为坐标原点,P为双曲线在第一象限上的点,直线PO,分别交双曲线C的左,右支于另一点,且,则双曲线的离心率为()A. B.3 C.2 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.戊戌年结束,己亥年伊始,小康,小梁,小谭,小杨,小刘,小林六人分成四组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分别奔赴四所不同的学校参加演讲,则不同的分配方案有_________种(用数字作答),14.已知F为双曲线的右焦点,过F作C的渐近线的垂线FD,D为垂足,且(O为坐标原点),则C的离心率为________.15.若,则=____,=___.16.已知实数,满足,则的最大值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知.(1)求不等式的解集;(2)记的最小值为,且正实数满足.证明:.18.(12分)眼保健操是一种眼睛的保健体操,主要是通过按摩眼部穴位,调整眼及头部的血液循环,调节肌肉,改善眼的疲劳,达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果,在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查,并得到如图的频率分布直方图.(1)若直方图中后三组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以上的人数;(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系,对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查,得到下表中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系?(3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人,进一步调查他们良好的护眼习惯,在这8人中任取2人,记坚持做眼保健操的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.附:0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87919.(12分)已知函数.(1)当a=2时,求不等式的解集;(2)设函数.当时,,求的取值范围.20.(12分)设抛物线过点.(1)求抛物线C的方程;(2)F是抛物线C的焦点,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,若,求的值.21.(12分)在四棱锥中,是等边三角形,点在棱上,平面平面.(1)求证:平面平面;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值的最大值;(3)设直线与平面相交于点,若,求的值.22.(10分)已知函数,为实数,且.(Ⅰ)当时,求的单调区间和极值;(Ⅱ)求函数在区间,上的值域(其中为自然对数的底数).
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】
由题意利用函数的图象变换规律,正弦函数的单调性,求出的最大值.【题目详解】解:把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象,若函数在区间,上单调递增,在区间,上,,,则当最大时,,求得,故选:C.【答案点睛】本题主要考查函数的图象变换规律,正弦函数的单调性,属于基础题.2、A【答案解析】
用排除法,通过函数图像的性质逐个选项进行判断,找出不符合函数解析式的图像,最后剩下即为此函数的图像.【题目详解】设,由于,排除B选项;由于,所以,排除C选项;由于当时,,排除D选项.故A选项正确.故选:A【答案点睛】本题考查了函数图像的性质,属于中档题.3、D【答案解析】
根据框图,模拟程序运行,即可求出答案.【题目详解】运行程序,,
,,,,,结束循环,故输出,故选:D.【答案点睛】本题主要考查了程序框图,循环结构,条件分支结构,属于中档题.4、D【答案解析】
利用列举法,从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,基本事件有10种情况,所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况,由古典概型概率公式可得结果.【题目详解】《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.记这5部专著分别为,其中产生于汉、魏、晋、南北朝时期.从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,基本事件有共10种情况,所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有,共9种情况,所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为.故选D.【答案点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用,属于基础题,利用古典概型概率公式求概率时,找准基本事件个数是解题的关键,基本亊件的探求方法有(1)枚举法:适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的;(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时,一定要按顺序逐个写出:先,….,再,…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.5、B【答案解析】
由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.【题目详解】由,可得,时,,而,又在上单调递增,且,所以,则,即,故.故选:B.【答案点睛】本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.6、B【答案解析】
由M是BC的中点,知AM是BC边上的中线,又由点P在AM上且满足可得:P是三角形ABC的重心,根据重心的性质,即可求解.【题目详解】解:∵M是BC的中点,知AM是BC边上的中线,又由点P在AM上且满足∴P是三角形ABC的重心∴又∵AM=1∴∴故选B.【答案点睛】判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法:①定义:三条中线的交点.②性质:或取得最小值③坐标法:P点坐标是三个顶点坐标的平均数.7、B【答案解析】
由题意可得,且,故有①,再根据,求得②,由①②可得的最大值,检验的这个值满足条件.【题目详解】解:函数,,为的零点,为图象的对称轴,,且,、,,即为奇数①.在,单调,,②.由①②可得的最大值为1.当时,由为图象的对称轴,可得,,故有,,满足为的零点,同时也满足满足在上单调,故为的最大值,故选:B.【答案点睛】本题主要考查正弦函数的图象的特征,正弦函数的周期性以及它的图象的对称性,属于中档题.8、D【答案解析】根据四个列联表中的等高条形图可知,图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大,它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果,故选D.9、D【答案解析】
可判断函数为奇函数,先讨论当且时的导数情况,再画出函数大致图形,将所求区间端点值分别看作对应常函数,再由图形确定具体自变量范围即可求解【题目详解】当且时,.令得.可得和的变化情况如下表:令,则原不等式变为,由图像知的解集为,再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成,所以解集为5阶区间.故选:D【答案点睛】本题考查由函数的奇偶性,单调性求解对应自变量范围,导数法研究函数增减性,数形结合思想,转化与化归思想,属于难题10、B【答案解析】
根据函数的对称轴以及函数值,可得结果.【题目详解】函数,若,则的图象关于对称,又,所以或,所以的值是7或3.故选:B.【答案点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题,属基础题11、B【答案解析】
先利用对称得,根据可得,由几何性质可得,即,从而解得渐近线方程.【题目详解】如图所示:由对称性可得:为的中点,且,所以,因为,所以,故而由几何性质可得,即,故渐近线方程为,故选B.【答案点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识,考查了双曲线渐近线方程,由题意得出是解题的关键,属于中档题.12、D【答案解析】
本道题结合双曲线的性质以及余弦定理,建立关于a与c的等式,计算离心率,即可.【题目详解】结合题意,绘图,结合双曲线性质可以得到PO=MO,而,结合四边形对角线平分,可得四边形为平行四边形,结合,故对三角形运用余弦定理,得到,而结合,可得,,代入上式子中,得到,结合离心率满足,即可得出,故选D.【答案点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质,难度偏难.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1080【答案解析】
按照先分组,再分配的分式,先将六人分成四组,其中两个组各2人,另两个组各1人有种,再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种,然后用分步计数原理求解.【题目详解】将六人分成四组,其中两个组各2人,另两个组各1人有种,再分别奔赴四所不同的学校参加演讲有种,则不同的分配方案有种.故答案为:1080【答案点睛】本题主要考查分组分配问题,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.14、2【答案解析】
求出焦点到渐近线的距离就可得到的等式,从而可求得离心率.【题目详解】由题意,一条渐近线方程为,即,∴,由得,∴,,∴.故答案为:2.【答案点睛】本题考查求双曲线的离心率,解题关键是求出焦点到渐近线的距离,从而得出一个关于的等式.15、12821【答案解析】
令,求得的值.利用展开式的通项公式,求得的值.【题目详解】令,得.展开式的通项公式为,当时,为,即.【答案点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式,考查赋值法求解二项式系数有关问题,属于基础题.16、【答案解析】
画出不等式组表示的平面区域,将目标函数理解为点与构成直线的斜率,数形结合即可求得.【题目详解】不等式组表示的平面区域如下所示:因为可以理解为点与构成直线的斜率,数形结合可知,当且仅当目标函数过点时,斜率取得最大值,故的最大值为.故答案为:.【答案点睛】本题考查目标函数为斜率型的规划问题,属基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)或;(2)见解析【答案解析】
(1)根据,利用零点分段法解不等式,或作出函数的图像,利用函数的图像解不等式;(2)由(1)作出的函数图像求出的最小值为,可知,代入中,然后给等式两边同乘以,再将写成后,化简变形,再用均值不等式可证明.【题目详解】(1)解法一:1°时,,即,解得;2°时,,即,解得;3°时,,即,解得.综上可得,不等式的解集为或.解法二:由作出图象如下:由图象可得不等式的解集为或.(2)由所以在上单调递减,在上单调递增,所以,正实数满足,则,即,(当且仅当即时取等号)故,得证.【答案点睛】此题考查了绝对值不等式的解法,绝对值不等式的性质和均值不等式的运用,考查了分类讨论思想和转化思想,属于中档题.18、(1)(2)能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系(3)详见解析【答案解析】
(1)由题意可计算后三组的频数的总数,由其成等差数列可得后三组频数,可得视力在5.0以上的频率,可得全年级视力在5.0以上的的人数;(2)由题中数据计算的值,对照临界值表可得答案;(3)由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人,可得X可取0,1,2,分别计算出其概率,列出分布列,可得其数学期望.【题目详解】解:(1)由图可知,第一组有3人,第二组7人,第三组27人,因为后三组的频数成等差数列,共有(人)所以后三组频数依次为24,21,18,所以视力在5.0以上的频率为0.18,故全年级视力在5.0以上的的人数约为人(2),因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.(3)调查的100名学生中不近视的共有24人,从中抽取8人,抽样比为,这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人,X可取0,1,2,,X的分布列X012PX的数学期望.【答案点睛】本题主要考查频率分布直方图,独立性检测及离散型随机变量的期望与方差等相关知识,考查学生分析数据与处理数据的能力,属于中档题.19、(1);(2).【答案解析】试题分析:(1)当时;(2)由等价于,解之得.试题解析:(1)当时,.解不等式,得.因此,的解集为.(2)当时,,当时等号成立,所以当时,等价于.①当时,①等价于,无解.当时,①等价于,解得.所以的取值范围是.考点:不等式选讲.20、(1)(2)【答案解析】
(1)代入计算即可.(2)设直线AB的方程为,再联立直线与抛物线的方程,消去可得的一元二次方程,再根据韦达定理与求解,进而利用弦长公式求解即可.【题目详解】解:(1)因为抛物线过点,所以,所以,抛物线的方程为(2)由题意知直线AB的斜率存在,可设直线AB的方程为,,.因为,所以,联立,化简得,所以,,所以,,解得,所以.【答案点睛】本题考查抛物线的方程以及联立直线与抛物线求弦长的简单应用.属于基础题.21、(1)证明见解析(2)(3)【答案解析】
(1)取中点为,连接,由等边三角形性质可得,再由面面垂直的性质可得,根据平行直线的性质可得,进而求证;(2)以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,由点在棱上,可设,即可得到,再求得平面的法向量,进而利用数量积求解;(3)设,,则,求得,,即可求得点的坐标,再由与
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