异面直线所成的角课件

异面直线所成的角付素茹2006.2.23异面直线所成的角付素茹2006.2.231复习：异面直线的定义及其含义是什么？等角定理及其推论？如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.复习：异面直线的定义及其含义是什么？如果两条相交直线和另两条2bab´a´o作异面直线a和b所成的角时,与点o的选取有关吗?根据空间等角定理的推论,作异面直线a和b所成的角时,与点o的选取无关引例:如何定量研究两条异面直线所成的角?bab´a´o作异面直线a和b所成的角时,与点o的选取有3bαab´a´obαab´a´oβbαab´a´obαab´a´oβ4定义直线a,b是异面直线,经过空间任意一点o,作直线a´，b´,使a´//a,b´//b,把a´和b´所成的锐角或直角记作异面直线a和b所成的角异面直线所成角的范围是(0º,90º]定义直线a,b是异面直线,经过空间任意一点o,作直线a´，5定义:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.异面直线a与b互相垂直记作abbaαa'┑思考：空间两直线垂直有几种情况?相交垂直异面垂直定义:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相61.求异面直线BA'与CC'所成的角的大小；2.求异面直线AD'与A'C'所成的角的大小；3.求异面直线AD'与B'C所成的角的大小；4.求异面直线BP与CQ所成的角的余弦值；ABCDA'B'C'D'例1.设正方体的棱长为a，P,Q为A'B'和B'C'的中点，求：1.求异面直线BA'与CC'所成的角的大小；ABCDA'B7正方体的棱长为a，P,Q为A'B'和B'C'的中点.ABCDA'

B'C'

D'

PQM(4)求异面直线BP与CQ所成的角的余弦值正方体的棱长为a，P,Q为A'B'和B'C'的中点.ABC8(4)解:

取D'C'的中点M,（作出）连结

MC,MQ,PMABCDA'

B'C'D'

PQM所以CM和CQ所成的锐角（或直角)θ是异面直线BP和CQ所成的角.(指出)由PB'MC'，四边形PMC'B'为平行四边形//

=所以PMB'C'，BCB'C'所以四边形PMCB为平行四边形//

=//

=所以证得

CMBP（证明）//

=(4)解:取D'C'的中点M,（作出）ABCDA'B'9（答）在MCQ中由余弦定理得COS∠MCQ=所以异面直线BP和CQ所成的角为arccosMABCDA'

B'C'D'

PQMQ=RtMC'Q，（计算）RtMC'C和RtQC'C中,CM=CQ=（答）在MCQ中由余弦定理得COS10例2.空间四边形ABCD中，对角线AC=10,BD=6.点M,N分别为AB,CD的中点，且MN=7.求异面直线AC和BD所成的角的大小。KABCDMN取AD的中点K，连结MK，NK（作出）

解：例2.空间四边形ABCD中，对角线AC=10,BD=6.点M11有NK=½AC=5,MK=½

BD=3，在MNK中,MN=7KABCDMN所以NK和MK所成的锐角（或直角)θ是异面直线AC和BD所成的角.(指出)NK//AC,MK//BD(证明)NK=½

AC,MK=½

BD则有NK=½AC=5,在MNK中,MN=7KABCDM12ABCDMNK所以异面直线AC和BD所成的角为60º（答）或：由余弦定理,得:COSMKN==-½

MKN=120º，因为0º<θ

90º，所以θ=60º

由余弦定理,得:COSθ=|COSMKN|=||=½

（计算）所以θ=60º，(0º<θ

90º)ABCDMNK所以异面直线AC和BD所成的角为60º（答）13小结：1.求异面直线的步骤：一作，二证，三指,四计算,五答在空间内找到一个恰当的点O,通过平移直线,作出异面直线所成的角把空间异面直线所成的角，转化为平面内相交直线所成的锐角或直角2.关键：3.解Rt或斜三角形,用余弦定理求角时,注意异面直线所成的角范围是(0º,90º]小结：1.求异面直线的步骤：在空间内14小结：三种平移方法:1.直接平移法2.中位线平移法平移一条直线平移二条直线在已一个相同的几何体,以便找出平行线例如长方体的棱平行,或找平行的平面平行线3.补形平移法小结：三种平移方法:1.直接平移法2.中位线平移法平移一条15平移时,一般在某个平面内进行,这个平面的具有以下特点:1.该平面包含其中一条异面直线2.该平面与另一条异面直线相交3.经常利用中点中位线或经常利用比例平行线或用平行四边形平行线平移时,一般在某个平面内进行,1.该平面包含其中一条异面直线16四面体A—BCD的棱长均为a,E，F分别为棱BC，AD的中点，

（1）求异面直线CF和BD所成的角的余弦值。

（2）求CF与DE所成的角。思考题ABCDEFPQ四面体A—BCD的棱长均为a,E，F分别为棱BC，AD的中17ABCDEFM2)求CF与DE所成的角方法1延长AC到M，使CM=AC，连结EM则DM//CF则DE与DM所成的锐角或直角是异面直线DE与CF所成的角ABCDEFM2)求CF与DE所成的角方法1延长AC到M，使18ABCDEGF2）求CF与DE所成的角。方法2则FG与FC所成的锐角或直角是异面直线DE与CF所成的角FG//DE，ABCDEGF2）求CF与DE所成的角。方法2则FG与FC所19ABCDFNE（2）求CF与DE所成的角方法3则DE与EN所成的锐角或直角是异面直线DE与CF所成的角EN//CFABCDFNE（2）求CF与DE所成的角方法3则DE与EN所20ABCDEFK（2）求CF与DE所成的角方法4延长BD到K，使DK=BD，连结CK，FK，则CK//DE则CK与CF所成的锐角或直角是异面直线DE与CF所成的角ABCDEFK（2）求CF与DE所成的角方法4延长BD到K，21小结：三种平移方法:1.直接平移法3.补形平移法2.中位线平移法平移一条直线平移二条直线其他方法如三垂线定理,由线面垂直推线线垂直,由面面垂直推推线线垂直,例如长方体的棱平行,或找平行的平面平行线在已知图形外,补作一个相同的几何体,以便找出平行线小结：三种平移方法:1.直接平移法3.补形平移法2.中位线22ThankYou,Everyone

谢谢各位ThankYou,Everyone谢谢23异面直线所成的角付素茹2006.2.23异面直线所成的角付素茹2006.2.2324复习：异面直线的定义及其含义是什么？等角定理及其推论？如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.复习：异面直线的定义及其含义是什么？如果两条相交直线和另两条25bab´a´o作异面直线a和b所成的角时,与点o的选取有关吗?根据空间等角定理的推论,作异面直线a和b所成的角时,与点o的选取无关引例:如何定量研究两条异面直线所成的角?bab´a´o作异面直线a和b所成的角时,与点o的选取有26bαab´a´obαab´a´oβbαab´a´obαab´a´oβ27定义直线a,b是异面直线,经过空间任意一点o,作直线a´，b´,使a´//a,b´//b,把a´和b´所成的锐角或直角记作异面直线a和b所成的角异面直线所成角的范围是(0º,90º]定义直线a,b是异面直线,经过空间任意一点o,作直线a´，28定义:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.异面直线a与b互相垂直记作abbaαa'┑思考：空间两直线垂直有几种情况?相交垂直异面垂直定义:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相291.求异面直线BA'与CC'所成的角的大小；2.求异面直线AD'与A'C'所成的角的大小；3.求异面直线AD'与B'C所成的角的大小；4.求异面直线BP与CQ所成的角的余弦值；ABCDA'B'C'D'例1.设正方体的棱长为a，P,Q为A'B'和B'C'的中点，求：1.求异面直线BA'与CC'所成的角的大小；ABCDA'B30正方体的棱长为a，P,Q为A'B'和B'C'的中点.ABCDA'

B'C'

D'

PQM(4)求异面直线BP与CQ所成的角的余弦值正方体的棱长为a，P,Q为A'B'和B'C'的中点.ABC31(4)解:

取D'C'的中点M,（作出）连结

MC,MQ,PMABCDA'

B'C'D'

PQM所以CM和CQ所成的锐角（或直角)θ是异面直线BP和CQ所成的角.(指出)由PB'MC'，四边形PMC'B'为平行四边形//

=所以PMB'C'，BCB'C'所以四边形PMCB为平行四边形//

=//

=所以证得

CMBP（证明）//

=(4)解:取D'C'的中点M,（作出）ABCDA'B'32（答）在MCQ中由余弦定理得COS∠MCQ=所以异面直线BP和CQ所成的角为arccosMABCDA'

B'C'D'

PQMQ=RtMC'Q，（计算）RtMC'C和RtQC'C中,CM=CQ=（答）在MCQ中由余弦定理得COS33例2.空间四边形ABCD中，对角线AC=10,BD=6.点M,N分别为AB,CD的中点，且MN=7.求异面直线AC和BD所成的角的大小。KABCDMN取AD的中点K，连结MK，NK（作出）

解：例2.空间四边形ABCD中，对角线AC=10,BD=6.点M34有NK=½AC=5,MK=½

BD=3，在MNK中,MN=7KABCDMN所以NK和MK所成的锐角（或直角)θ是异面直线AC和BD所成的角.(指出)NK//AC,MK//BD(证明)NK=½

AC,MK=½

BD则有NK=½AC=5,在MNK中,MN=7KABCDM35ABCDMNK所以异面直线AC和BD所成的角为60º（答）或：由余弦定理,得:COSMKN==-½

MKN=120º，因为0º<θ

90º，所以θ=60º

由余弦定理,得:COSθ=|COSMKN|=||=½

（计算）所以θ=60º，(0º<θ

90º)ABCDMNK所以异面直线AC和BD所成的角为60º（答）36小结：1.求异面直线的步骤：一作，二证，三指,四计算,五答在空间内找到一个恰当的点O,通过平移直线,作出异面直线所成的角把空间异面直线所成的角，转化为平面内相交直线所成的锐角或直角2.关键：3.解Rt或斜三角形,用余弦定理求角时,注意异面直线所成的角范围是(0º,90º]小结：1.求异面直线的步骤：在空间内37小结：三种平移方法:1.直接平移法2.中位线平移法平移一条直线平移二条直线在已一个相同的几何体,以便找出平行线例如长方体的棱平行,或找平行的平面平行线3.补形平移法小结：三种平移方法:1.直接平移法2.中位线平移法平移一条38平移时,一般在某个平面内进行,这个平面的具有以下特点:1.该平面包含其中一条异面直线2.该平面与另一条异面直线相交3.经常利用中点中位线或经常利用比例平行线或用平行四边形平行线平移时,一般在某个平面内进行,1.该平面包含其中一条异面直线39四面体A—BCD的棱长均为a,E，F分别为棱BC，AD的中点，

（1）求异面直线CF和BD所成的角的余弦值。

（2）求CF与DE所成的角。思考题ABCDEFPQ四面体A—BCD的棱长均为a,E，F分别为棱BC，AD的中40ABCDEFM2)求CF与DE所成的角方法1