平面及其方程-课件

§7.5平面及其方程平面的各种方程形式两平面的夹角点到平面的距离小结思考题作业2009.2.67-5-1北京工商大学§7.5平面及其方程平面的各种方程形式两平面的夹角点到一、平面的点法式方程1.点法式方程如果一非零向量垂直于法线向量的特征垂直于平面内的任一向量.设有法向量任取平面上一点，一平面,称此向量为该平面的法线向量(法向量).平面及其方程及平面上的定点定义2009.2.67-5-2北京工商大学一、平面的点法式方程1.点法式方程如果一非零向量垂直于法线平面的点法式方程平面称为方平面上的点都满足上方程,不在平面上的点都不满足上方程,上述方程称为平面的方程,平面及其方程于是,则有程的图形.则必有(1)2009.2.63北京工商大学平面的点法式方程平面称为方平面上的点都满足上方程,不在平面上2.三点式方程平面及其方程解取设一平面过，求此平面方程.2009.2.67-5-4北京工商大学2.三点式方程平面及其方程解取设一平面过显然，由点法式得平面的三点式方程(2)平面及其方程2009.2.65北京工商大学显然，由点法式得平面的三点式方程(2)平面及其方程2009例平面及其方程解取平面方程为化简得求过P1(1,1,1),P2(2,0,1),P3(-1,-1,0)的平面方程.法一2009.2.67-5-6北京工商大学例平面及其方程解取平面方程为化简得求过P1(1,1,1),求过P1(1,1,1),P2(2,0,1),P3(-1,-1,0)的平面方程解所求方程的三点式为平面方程为法二平面及其方程2009.2.67北京工商大学求过P1(1,1,1),P2(2,0,1),P3(-1,3.截距式方程平面及其方程解由三点式得，一平面与坐标轴的交点分别为求此平面方程.所求平面方程为整理得平面的截距式方程当平面不与任何坐标面平行,且不过原点时,才有截距式方程.(3)2009.2.67-5-8北京工商大学3.截距式方程平面及其方程解由三点式得，一平面与坐标轴的交平面的点法式方程

平面的一般式方程法向量二、平面的一般方程

任意一个形如上式的x、y、z的三元一次方程都是平面方程.平面及其方程(4)2009.2.69北京工商大学平面的点法式方程平面的一般式方程法向量二、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于xOy坐标面；类似地可讨论类似地可讨论轴轴xOz面yOz面(由柱面可知)平面的一般方程平面及其方程2009.2.610北京工商大学平面一般方程的几种特殊情况平面通过坐标原点；平面通过轴例设平面过点M0(-3,1,-2)及x轴,求此平面方程.平面及其方程用平面的点法式方程.由点法式方程得平面方程:求法向量解法一即2009.2.67-5-11北京工商大学例设平面过点M0(-3,1,-2)及x轴,求此平面方用待定常数法.即法二设平面方程是从而平面方程是即从而平面方程是得平面及其方程点(0,0,0)及(1,0,0)在平面上,2009.2.612北京工商大学用待定常数法.即法二设平面方程是从而平易知平面上三点O(0,0,0),P(1,0,0),设M(x,y,z)为平面上的任意一点,可得其方程

想一想还有别的方法吗??答有!法三平面及其方程根据三向量OM,

共面的充要条件,有OM0,OP

即2009.2.613北京工商大学易知平面上三点O(0,0,0),P(1,0,0),

求平面方程常用两种方法:

利用条件定出其中的待定的常数,此方法也称待定常数法.

主要是利用条件用向量代数的方法找出平面的一个法向量.(1)用平面的点法式方程.(2)用平面的一般方程.平面及其方程2009.2.614北京工商大学求平面方程常用两种方法:利用条件定定义(取锐角)两平面法向量的夹角称为三、两平面的夹角平面及其方程两平面的夹角.根据向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式取锐角2009.2.615北京工商大学定义(取锐角)两平面法向量的夹角称为三、两平面的夹角平面及其两平面位置特征//两平面垂直、平行的充要条件平面及其方程2009.2.616北京工商大学两平面位置特征//两平面垂直、平行的充要条件平面及其例研究以下各组里两平面的位置关系:解两平面相交,夹角平面及其方程2009.2.67-5-17北京工商大学例研究以下各组里两平面的位置关系:解两平面相交,夹角平两平面平行但不重合.两平面平行两平面重合解解两平面平行平面及其方程2009.2.618北京工商大学两平面平行但不重合.两平面平行两平面重合解解两平面平行平面及例解所求方程的三点式为三点的平面方程为设两平面的交角为则平面及其方程2009.2.67-5-19北京工商大学例解所求方程的三点式为三点的平面方程为设两平面的交角为则平面例设平面为所求平面方程为解一平面及其方程与平面垂直且过原点及点的平面方程为().),,(CBA=2009.2.67-5-20北京工商大学例设平面为所求平面方程为解一平面及其方程与平面平面及其方程与平面垂直且过原点及点的平面方程为().解二∥平面的点法式方程2009.2.621北京工商大学平面及其方程与平面垂直且过原点及点设所求平面为由所求平面与已知平面平行得向量平行的充要条件解平面及其方程所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.而与三个坐标面例

求平行于平面2009.2.67-5-22北京工商大学设所求平面为由所求平面与已知平面平行得向量平行的充要条件解平代入体积式所求平面方程为平面及其方程所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.求平行于平面而与三个坐标面2009.2.623北京工商大学代入体积式所求平面方程为平面及其方程所围成的四面体体积为一个例

求过点(1,1,1)且与平面和平面取法向量化简得平面方程为解∥.平面及其方程都垂直的平面方程.2009.2.67-5-24北京工商大学例求过点(1,1,1)且与平面四、点到平面的距离平面及其方程点到平面的垂直距离设P0(x0,y0,z0)是平面∏:Ax+By+Cz+D=0外一点,求P0到平面∏的距离.并作向量即由于P0到平面∏的距离2009.2.625北京工商大学四、点到平面的距离平面及其方程点到平面的垂直距离设平面及其方程的距离公式为

填空解2009.2.626北京工商大学平面及其方程的距离公式为填空解2009.2.626北京工商解例求这平面方程.设所求平面为在平面上任取一点或故所求平面为或平面及其方程2009.2.627北京工商大学解例求这平面方程.设所求平面为在平面上任取一点或故所求平面为1.

两平行平面与间距离为(),其的方程分别为:(A)1(B)(C)2(D)21A

选择题提示∥平面及其方程2009.2.628北京工商大学1.两平行平面与2.已知平面通过点(k,k,0)与(2k,2k,0),其中k≠0,且垂直于xOy平面,则该平面的一般式方程Ax+By+Cz+D=0的系数必满足().a解答分别得平面及其方程2009.2.629北京工商大学2.已知平面通过点(k,k,0)与(2k,2(熟记平面的几种特殊位置两平面的夹角点到平面的距离公式平面的点法式方程(两平面垂直、平行的充要条件)四、小结平面及其方程(关键确定平面的法向量)平面的一般方程的方程)平面的截距式方程(研究几何图形)2009.2.630北京工商大学(熟记平面的几种特殊位置两平面的夹角点到平面的距离公式平面的思考题1平面及其方程如何确定平面的法向量?解答确定平面的法向量是建立平面方程的关键所在,平面法向量的确定要根据不同的条件采用不同方法(1)如果已知点M0(x0,y0,z0)在平面Π上的垂足为M1(x1,y1,z1),则(2)如果平面Π与已知平面平行,则(3)如果平面Π过三点A,B,C,则2009.2.631北京工商大学思考题1平面及其方程如何确定平面的法向量?解答确定平面的法向思考题2(是非题)平面及其方程非平面在x、y、z轴的截距分别是a、b、c.因为这是一过原点的平面.2009.2.632北京工商大学思考题2(是非题)平面及其方程非平面在x、y、z轴的截距作业习题7-5(329页)

1.5.8.9.平面及其方程2009.2.633北京工商大学作业习题7-5(329页)1.5.8.§7.5平面及其方程平面的各种方程形式两平面的夹角点到平面的距离小结思考题作业2009.2.67-5-34北京工商大学§7.5平面及其方程平面的各种方程形式两平面的夹角点到一、平面的点法式方程1.点法式方程如果一非零向量垂直于法线向量的特征垂直于平面内的任一向量.设有法向量任取平面上一点，一平面,称此向量为该平面的法线向量(法向量).平面及其方程及平面上的定点定义2009.2.67-5-35北京工商大学一、平面的点法式方程1.点法式方程如果一非零向量垂直于法线平面的点法式方程平面称为方平面上的点都满足上方程,不在平面上的点都不满足上方程,上述方程称为平面的方程,平面及其方程于是,则有程的图形.则必有(1)2009.2.636北京工商大学平面的点法式方程平面称为方平面上的点都满足上方程,不在平面上2.三点式方程平面及其方程解取设一平面过，求此平面方程.2009.2.67-5-37北京工商大学2.三点式方程平面及其方程解取设一平面过显然，由点法式得平面的三点式方程(2)平面及其方程2009.2.638北京工商大学显然，由点法式得平面的三点式方程(2)平面及其方程2009例平面及其方程解取平面方程为化简得求过P1(1,1,1),P2(2,0,1),P3(-1,-1,0)的平面方程.法一2009.2.67-5-39北京工商大学例平面及其方程解取平面方程为化简得求过P1(1,1,1),求过P1(1,1,1),P2(2,0,1),P3(-1,-1,0)的平面方程解所求方程的三点式为平面方程为法二平面及其方程2009.2.640北京工商大学求过P1(1,1,1),P2(2,0,1),P3(-1,3.截距式方程平面及其方程解由三点式得，一平面与坐标轴的交点分别为求此平面方程.所求平面方程为整理得平面的截距式方程当平面不与任何坐标面平行,且不过原点时,才有截距式方程.(3)2009.2.67-5-41北京工商大学3.截距式方程平面及其方程解由三点式得，一平面与坐标轴的交平面的点法式方程

平面的一般式方程法向量二、平面的一般方程

任意一个形如上式的x、y、z的三元一次方程都是平面方程.平面及其方程(4)2009.2.642北京工商大学平面的点法式方程平面的一般式方程法向量二、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况平面通过坐标原点；平面通过轴；平面平行于轴；平面平行于xOy坐标面；类似地可讨论类似地可讨论轴轴xOz面yOz面(由柱面可知)平面的一般方程平面及其方程2009.2.643北京工商大学平面一般方程的几种特殊情况平面通过坐标原点；平面通过轴例设平面过点M0(-3,1,-2)及x轴,求此平面方程.平面及其方程用平面的点法式方程.由点法式方程得平面方程:求法向量解法一即2009.2.67-5-44北京工商大学例设平面过点M0(-3,1,-2)及x轴,求此平面方用待定常数法.即法二设平面方程是从而平面方程是即从而平面方程是得平面及其方程点(0,0,0)及(1,0,0)在平面上,2009.2.645北京工商大学用待定常数法.即法二设平面方程是从而平易知平面上三点O(0,0,0),P(1,0,0),设M(x,y,z)为平面上的任意一点,可得其方程

想一想还有别的方法吗??答有!法三平面及其方程根据三向量OM,

共面的充要条件,有OM0,OP

即2009.2.646北京工商大学易知平面上三点O(0,0,0),P(1,0,0),

求平面方程常用两种方法:

利用条件定出其中的待定的常数,此方法也称待定常数法.

主要是利用条件用向量代数的方法找出平面的一个法向量.(1)用平面的点法式方程.(2)用平面的一般方程.平面及其方程2009.2.647北京工商大学求平面方程常用两种方法:利用条件定定义(取锐角)两平面法向量的夹角称为三、两平面的夹角平面及其方程两平面的夹角.根据向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式取锐角2009.2.648北京工商大学定义(取锐角)两平面法向量的夹角称为三、两平面的夹角平面及其两平面位置特征//两平面垂直、平行的充要条件平面及其方程2009.2.649北京工商大学两平面位置特征//两平面垂直、平行的充要条件平面及其例研究以下各组里两平面的位置关系:解两平面相交,夹角平面及其方程2009.2.67-5-50北京工商大学例研究以下各组里两平面的位置关系:解两平面相交,夹角平两平面平行但不重合.两平面平行两平面重合解解两平面平行平面及其方程2009.2.651北京工商大学两平面平行但不重合.两平面平行两平面重合解解两平面平行平面及例解所求方程的三点式为三点的平面方程为设两平面的交角为则平面及其方程2009.2.67-5-52北京工商大学例解所求方程的三点式为三点的平面方程为设两平面的交角为则平面例设平面为所求平面方程为解一平面及其方程与平面垂直且过原点及点的平面方程为().),,(CBA=2009.2.67-5-53北京工商大学例设平面为所求平面方程为解一平面及其方程与平面平面及其方程与平面垂直且过原点及点的平面方程为().解二∥平面的点法式方程2009.2.654北京工商大学平面及其方程与平面垂直且过原点及点设所求平面为由所求平面与已知平面平行得向量平行的充要条件解平面及其方程所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.而与三个坐标面例

求平行于平面2009.2.67-5-55北京工商大学设所求平面为由所求平面与已知平面平行得向量平行的充要条件解平代入体积式所求平面方程为平面及其方程所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.求平行于平面而与三个坐标面2009.2.656北京工商大学代入体积式所求平面方程为平面及其方程所围成的四面体体积为一个例

求过点(1,1,1)且与平面和平面取法向量化简得平面方程为解∥.平面及其方程都垂直的平面方程.2009.2.67-5-57北京工商大学例求过点(1,1,1)且与平面四、点到平面的距离平面及其方程点到平面的垂直距离设P0(x0,y0,z0)是平面∏:Ax+By+Cz+D=0外一点,求P0到平面∏的距离.并作向量即由于P0到平面∏的距离2009.2.658北京工商大学四、点到平面的距离平面及其方程点到平面的垂直距离设平面及其方程的距离公式为

填空解2009.2.659北京工商大学平面及其方程的距离公式为填空解2009.2.626北京工商解例求这平面方程.设所求平面为在平面上任取一点或故所求平面为或平面及其方程2009.2.660北京工商大学解例求这平面方程.设所求平面为在平面上任取一点或故所求平面为1.

两平行平面与间距离为(),其的方程分别为:(