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解解解解解解解解:分段函数的二重积分积分区域的可加性60页11解:解选用直角坐标系第二节二重积分的计算法（二）利用极坐标系计算二重积分极坐标系

在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴.极坐标系

极坐标系是由一个极点和一个极轴构成，极轴的方向为水平向右。点的极坐标

设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.

如果ρ是正的，则在OP上取一点M使得OM=ρ；如果ρ是负的，则在OP的反向延长线上取一点M使得OM=ρ。极角θ为正表示逆时针旋转，为负表示顺时针旋转。极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)极坐标和直角坐标互化公式：极坐标化直角坐标公式直角坐标化极坐标公式例2解例3解常用的极坐标方程(1)直线：(2)圆：练习练习21D0y

xD1D2D3D4D:.怎么计算？需使用极坐标系！此题用直角系算麻烦必须把D分块儿!为什么引用极坐标计算二重积分48页一族半射线一族同心圆极坐标系下的面积元素将变换到极坐标系0D用坐标线:=常数；

=常数

分割区域

Dρρ+dρ.

利用极坐标计算二重积分dd+ddρ二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图极点不在区域D的内部

二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图（极点是边界曲线的交点）极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图极点位于区域D的内部

21D0y

xD:变换到极坐标系计算确定积分上、下限：先积一条线，再扫积分域解解练习0y

x-a

a解0y

x-a

a0y

x练习解0y

x解解计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式解选用直角坐标系解选用极坐标、直角坐标系均可解选用极坐标系作业：57页31（4）（6）32例1解无穷区域上的二重积分解练习52页例16

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