习题课六版第六章定积分应用

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第六章

定积分应用

(习题课)题组一：几何应用1.求由两抛物线及所围平面图形的面积。1.求由两抛物线及解:yx0由对称性,取y为积分变量得2.求由所围平面图形的面积。解:yx0边界曲线的极坐标方程分别为过OA

作辅助线如图,接2.x0y3.由解:与x

轴所围的图形分别绕x

轴,y

轴及y=1旋转,求各旋转体的体积.xy0接3.xy04.求曲线解:

所围平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积V.xy0设S1

旋转所得的体积为V1，S2旋转所得的体积为V2.取y

为积分变量得接4.xy0取x为积分变量得5.求星型线解:

所围图形的面积及所围图形绕x

轴旋转而成的旋转体的表面积.xy06.证明:曲线解:

的弧长等于椭圆的周长.椭圆的参数方程为设正弦曲线的弧长为s1,椭圆的周长为s2,于是题组二：物理应用解:

1.已知弹簧拉长0.02米需要9.8牛顿的力，求把弹簧拉长0.10米所作的功。

由虎克定律2.设有一容器的外壳为抛物线

解:绕x轴旋转而成1的抛物面，里面装满水，水面齐到y=1（水比重为1),求将水全部抽到高为h(h

1)处所作的功。xy03.长方体解:

器皿盛满等体积的的水和油，假设油比水轻一倍。证明：如果器皿完全用油盛满，则它在每一壁上的压力将减少五分之一。（提示：油浮于水上）设水的比重为油的比重为xy0油水接3.若全盛满油,则xy0油4.设一均匀细棒解:

（密度ρ=1）放在x

轴上，其区间为[a,b]，一质量为m

的质点位于

轴上点(0,h)处，求细棒对质点的引力。xy0接4.题组二：综合题解:1.设0<k<2,当k

为何值时,曲线与直线所围如图所示图形的面积最小。

xy0故时图形的面积最小。

2.设曲线解:

过原点作其切线，求由此曲线，切线及x

轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积与表面积。xy0设切点为则切线方程为切线过点(0,0)切线方程为切点为接2.xy03.设f(x)在[a,b]可导,解:，

试证：对如图所示的两个面积

A(t),B(t)而言,存在唯一的ξ∈(a,b),使得yx0A(t)B(t)y=f(x)显然设问题归结为证明方程F(t)=0在(a,b)内有唯一实根。接3.显然F(t)在[a,b]内连续.又因为所以f(x)单增,由零点定理,

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