柯布-道格拉斯生产函数及其应用

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柯布-道格拉斯生产函数及其应用

［内容提要］

生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。柯布—道格拉斯生产函数是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了

\o"技术资源"

技术资源

这一因素。用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，它是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，采用的

\o"边际分析方法"

边际分析方法

，可用于分析要素投入对产量（产出）的贡献率、

\o"规模收益"

规模收益

和其他系列问题。柯布—道格拉斯生产函数模型广泛应用于经济数量分析，运用我国1990-2008年的相关数据，运用应用统计学的方法来验证我国经济增长方式是粗放式的，提出应该加大科技创新投入，进而加快促进技术进步，深化经济和政治体制改革来加快我国省经济增长方式的转变。

［关键词］生产函数柯布道格拉斯经济数量分析经济增长

一、生产函数

（一）简述

生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。它可以用一个数理模型、图表或图形来表示。换句话说，就是一定技术条件下投入与产出之间的关系，在处理实际的经济问题时，生产函数不仅是表示投入与产出之间关系的对应，更是一种生产技术的制约。例如，在考虑成本最小化问题时，必须要考虑到技术制约，而这个制约正是由生产函数给出的。另外，在宏观经济学的增长理论中，在讨论技术进步的时候，生产函数得到了很大的讨论。

（二）常见生产函数

1、固定投入比例生产函数

固定投入比例生产函数是指在每一个产量水平上任何一对要素投入量之间的比例都是固定的生产函数。

2、柯布-道格拉斯生产函数

柯布-道格拉斯生产函数是由数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家道格拉斯(PaulH.Douglas)于20世纪30年代提出来的。柯布—道格拉斯生产函数被认为是一种很有用的生产函数，因为该函数以其简单的形式具备了经济学家所关心一些性质，它在经济理论的分析和应用中都具有一定意义。

（三）特点

1、生产函数反映的是在既定的生产技术条件下投入和产出之间的数量关系。如果技术条件改变，必然会产生新的生产函数。

2、生产函数反映的是某一特定要素投入组合在技术条件下能且只能产生的最大产出。

（四）分类

生产函数分一种可变投入生产函数和多种可变投入生产函数。

1、一种可变投入生产函数

对既定产品，技术条件不变、固定投入(通常是资本）一定、一种可变动投入（通常是劳动)与可能生产的最大产量间的关系，通常又称作短期生产函数。

2、多种可变投入生产函数

在考察时间足够长时，可能两种或两种以上的投入都可以变动、甚至所有的投入都可以变动，通常称为长期生产函数。

二、柯布-道格拉斯生产函数

（一）概述

柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家

\o"柯布"

柯布

(

\o"C.W.Cobb"

C.W.Cobb

)和经济学家

\o"保罗·道格拉斯"

保罗·道格拉斯

(

\o"PaulH.Douglas"

PaulH.Douglas

)共同探讨投入和产出的关系时创造的

\o"生产函数"

生产函数

，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的。它是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了

\o"技术资源"

技术资源

这一因素。用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型。它是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，采用的

\o"边际分析方法"

边际分析方法

，可用于分析要素投入对产量（产出）的贡献率、

\o"规模收益"

规模收益

和其他系列问题。它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。柯布—道格拉斯生产函数的一般形式可以表示为:他们根据有关历史资料，研究了从1899－1922年美国的资本和劳动对生产的影响，在技术经济条件不变的情况下，得出了产出与投入的劳动力及资本的关系。但是柯布－道格拉斯生产函数中把技术水平A作为固定常数，难以反映出因技术进步而给产出带来的影响。柯布—道格拉斯生产函数中，如果有任何一种投入品为零，则产出也为零，因此对于生产来说，每种生产要素都是必需的，没有一种要素可以完全替代另一种要素。根据研究目的和需要，现在有很多在柯布——道格拉斯生产函数基础上变形应用的函数形式。

柯布和道格拉斯研究的是1899年至1922年美国制造业的生产函数。他们指出，制造业的投资分为，以机器和建筑物为主要形式的固定资本投资和以原料、半成品和仓库里的成品为主要形式的流动资本投资，同时还包括对土地的投资。在他们看来，在商品生产中起作用的资本，是不包括流动资本的。这是因为，他们认为，流动资本属于制造过程的结果，而非原因。同时，他们还排除了对土地的投资。这是因为，他们认为，这部分投资受土地价值的异常增值的影响较大。

因此，在他们的生产函数中，资本这一要素只包括对机器、工具、设备和工厂建筑的投资。而对劳动这一要素的度量，他们选用的是制造业的雇佣工人数。

但是，不幸地是，由于当时对这些生产要素的统计工作既不是每年连续的，也不是恰好按他们的分析需要来分类统计的。因而，他们不得不尽可能地利用有的一些其它数据，来估计出他们打算使用的数据的数值。比如，用生铁、钢、钢材、木材、焦炭、水泥、砖和铜等用于生产机器和建筑物的原料的数量变化来估计机器和建筑物的数量的变化；用美国一两个州的雇佣工人数的变化来代表整个美国的雇佣工人数的变化等等。经过一番处理，他们得到关于1899年至1922年间，产出量P、资本C和劳动L的相对变化的数据（以1899年为基准）。令人佩服的是，在没有计算机的年代里，他们从这些数据中，得到了如下的生产函数公式:P=ACαLβ(A,α,β>0)。

这一结果虽然与现代计算机统计软件的计算结果不同，但两者无本质上的差别。用严格的统计学术语来说，就是在5%的显著性水平上，不能拒绝这两者相同的原假设。从这一结果出发，他们计算出资本的边际产出，即产出P对资本C的导数，为1/4P/C；劳动的边际产出，即产出对劳动L的导数，为3/4P/L。然后，将这些边际产出乘以相应的生产要素量，得到资本的总产出为1/4P，劳动的总产出为3/4P。

他们显然被自己的结论吓坏了。因为他们竟然表示他们自己千辛万苦好不容易得到的这样一个结果是值得怀疑的，强调他们的文章不在于给出结论，而在于演示方法。当然，吓坏他们的，决不是因为他们发现资本也能“创造”价值，而只是因为他们发现产出的大部分，即3/4的产出都应归属于劳动。

继柯布和道格拉斯之后，其他西方学者也对所谓的生产函数进行了实证研究，如霍奇等。霍奇还根据其研究的结果，计算了所谓的最优生产要素配置。根据这一配置，要大大降低劳动要素的投入，增加资本要素的投入，好象无限扩大厂房面积，就能够大大增加产出似的。

（二）基本形式

柯布-道格拉斯生产函数的基本形式为：Y=A(t)LαKβμ。式中Y是

\o"工业总产值"

工业总产值

，At是综合技术水平，L是投入的劳动力数（单位是万人或人）,K是投入的资本，一般指

\o"固定资产净值"

固定资产净值

（单位是亿元或万元，但必须与劳动力数的单位相对应，如劳动力用万人作单位，固定资产净值就用亿元作单位）,α是劳动力产出的弹性系数,β是资本产出的弹性系数,μ表示随机干扰的影响，μ≤1。从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平（包括

\o"经营管理"

经营管理

水平、劳动力素质、引进先进技术等）。根据α和β的组合情况,它有三种类型：

①α＋β>1,称为递增报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的。

②α＋β<1,称为递减报酬型,表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。

③α＋β＝1,称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。

根据柯布-道格拉斯生产函数可以得到下列经济参数（设μ＝1）：

①劳动力边际生产力表示在资产不变时增加单位劳动力所增加的产值。

②资产边际生产力表示在劳动力不变时增加单位资产所增加的产值。

③劳力对资产的边际代换率表示产值不变时增加单位劳动力所能减少的资产值。

④劳动力产出弹性系数，表示劳动力投入的变化引起产值的变化的速率。

⑤资产产出弹性系数,表示资产投入的变化引起产值变化的速率。国际上一般取α＝0.2～0.4,β=0.8～0.6。中国根据国家计委测算一般可取α＝0.2～0.3,β＝0.8～0.7。

（三）

\o"斯诺模型"

斯诺模型

美国经济学家

\o"R.M.斯诺"

R.M.斯诺

提出的中性技术模式即

\o"斯诺模型"

斯诺模型

属于不变报酬型。当μ＝1时，斯诺模型为：

Y=A(t)L1−εKε或，式中(1-ε)是劳动力产出的弹性系数。根据弹性系数的经济意义和数学意义,。这里p是产出价格,q是资本价格。当p＝q时,。。它表示对生产技术水平、经营管理水平和服务水平的综合评价，全面反映企业的适应能力、竞争能力和生存能力。A(t)值越大，水平越高。

根据柯布-道格拉斯生产函数可以得到下列经济参数（设μ＝1）：

①劳动力边际生产力表示在资产不变时增加单位劳动力所增加的产值。

②资产边际生产力表示在劳动力不变时增加单位资产所增加的产值。

③劳力对资产的边际代换率表示产值不变时增加单位劳动力所能减少的资产值。

④劳动力产出弹性系数，表示劳动力投入的变化引起产值的变化的速率。

⑤资产产出弹性系数,表示资产投入的变化引起产值变化的速率。国际上一般取α＝0.2～0.4,β=0.8～0.6。中国根据国家计委测算一般可取α＝0.2～0.3,β＝0.8～0.7。

三、应用柯布-道格拉斯生产函数分析我国经济增长方式

（一）实证分析

目前国内学者对经济增长方式的实证研究主要依据这些模型来展开,如徐现祥提出了经济增长方式的判断标准,对粗放度进行了具体估量；祝孔海对我国经济增长方式的实证研究,认为我国的经济增长方式已经开始向集约型转变。我国经济增长速度一直较快,高速度掩盖了经济增长方式上存在的问题。鉴于此,本文拟运用1990―2008年的数据,对我国的经济增长方式做一实证分析。

数据选取及说明

1、本文采用的数据主要来源于历年中国统计年鉴,时间跨度为1990～2008。

（1）总产出GDP

一般而言,衡量国民经济整体产出的指标应该是按可比价格计算的国内生产总值或国民生产总值,这两项指标都可以直接从有关统计资料中获得。本文采用我国国内生产总值(GDP)作为衡量经济增长的基本指标,基础数据取自我国历年统计年鉴。

（2）资本K

资本为全社会固定资产投资。

（3）劳动力L

劳动力投入一直是经济增长理论强调的一个重要因素之一,从古典经济增长生产函数模型到现在的模型都离不开劳动力的投入,劳动力数据，由于现阶段劳动者的工资无法反映劳动投入的真正水平,所以本文采用以年末就业人数作为观测指标，指从事一定社会劳动并取得劳动报酬或经营收入的人员。这一指标反映了一定时期内全部劳动力资源的实际利用情况。

2、回归方程

（1）各年度投入产出数据

表1我国主要投入产出年度数据及经济增长因素分析

年份

国内生产总值GDP

（亿元）

资本K

（亿元）

劳动力L

（万人）

GDP发展速度

（环比）

GDP发展速度

（环比）

1990

18667.82

4517.00

1991

21781.50

5594.50

58360

116.68%

16.68%

1992

26923.48

8080.10

59432

123.61%

23.61%

1993

35333.92

13072.30

60220

131.24%

31.24%

1994

48197.86

17042.94

61470

136.41%

36.41%

1995

60793.73

20019.26

67947

126.13%

26.13%

1996

71176.59

22974.03

68850

117.08%

17.08%

1997

78973.03

13091.72

69600

110.95%

10.95%

1998

84402.28

15369.30

69957

106.87%

6.87%

1999

89677.05

29854.71

70586

106.25%

6.25%

2000

99214.55

32917.73

72085

110.64%

10.64%

2001

109655.17

37213.49

73025

110.52%

10.52%

2002

120332.69

43499.91

73740

109.74%

9.74%

2003

135822.76

55566.61

74432

112.87%

12.87%

2004

159878.34

70477.40

75200

117.71%

17.71%

2005

183217.40

88773.60

75825

114.60%

14.60%

2006

211923.50

109998.20

76400

115.67%

15.67%

2007

257305.60

137323.90

76990

121.41%

21.41%

2008

300670.00

172828.4

77480

116.85%

16.85%

注：资料来源于中国历年统计年鉴。

（2）数据的统计学分析

各年度的发展速度与增长速度见上表。

（3）回归方程

回归分析方法为普通最小二乘法，本文采用的分析软件是Eviews6.0计量经济学软件包。

回归方程：

lnGDP=0.689154*lnK+0.383506*lnL

t=(13.34487)(7.947861)

R-squared=0.936752AdjustedR-squared=0.932800

DW=0.736161

=1\*GB3

①

经济意义检验。因为α和β分别为固定资本存量和劳动投入量对总产出的贡献份额,所以有0<α<1,0<β<1。从上面的回归结果我们可以看出,α和β估计值的符号与数值与预期一致,因此可以通过经济意义检验。

=2\*GB3

②

统计意义检验。首先是拟合优度检验,拟合优度R-squared=0.936752,调整后的拟合优度AdjustedR-squared=0.932800,模型的拟合优度比较高,说明对样本的拟合效果比较好,模型的解释能力比较强。然后进行变量的显著性检验。变量个数k=2,样本容量n=18,在0.05的显著水平下,t统计量的临界值为t0.025(18)=2.1009。可见,在0.05的显著性水平下,α和β的估计值可以通过t检验,解释能力都比较强。

（二）结论与政策建议

依据C-D生产函数理论和实际数据验证分析，得出我国多年来的经济增长方式和社会发展方式是粗放型的。我国这些年来的快速经济增长是靠固定资产和低水平的劳动力投入来拉动的，是不可持续的。靠粗放型增长方式我国可以实现“三步走”的第一步、第二步战略目标，但不可能实现第三步战略目标。我国2006年国内生产总值仅占世界总量的5.5%，而我们消耗的能源占世界的15%，钢材占30%，水泥占54%。这些数字表明，粗放式的经济增长方式在我国已经没有后续空间，转变经济发展方式已势在必行。

转变经济发展方式的呼声在2003年就早已提出，但是，直至今年——“十一五”规划的收尾之年，我国的经济发展方式仍然是粗放型的，这不能不引起我国政府和学者的关注。今年，我国及各级政府都在积极筹划“十二五”规划，并且我国已经到了不得不转变经济发展方式的时刻。“十二五”规划是一个契机，我国及各级政府在规划中一定要重点突出加快转变经济发展方式的内容，从而加快推动我国经济发展方式向集约型转变。

我认为，应该从以下几个方面着手：

1、加大教育和科技投入力度，提高我国国民的科学文化素质，提升我国的人力资本

从模型结果来看，劳动力对经济增长的贡献占到30%左右，但是，根据实际情况及劳动力结构分析，我国的劳动力投入大部分是低水平的体力劳动者，投入数量大，质量低。“十二五”规划及以后，我国一定要加大各类教育投入力度，提高科研投入水平，尤其是基础性科研投入要大幅度提高。只有这样，我国国民的科学文化素质才会提高，人力资本质量才会提升，才能优化我国资本和劳动力对经济发展的贡献率，才能提高技术进步对我国经济发展的贡献率，才有可能实现我国经济发展方式向集约型转变，才能实现我国建设资源节约型、环境友好型社会的目标。

2、提高投资效率，优化投资结构

固定资产投资在我国的经济增长贡献率接近70%，联系实际现象，我国的投资结构急需调整，急需优化。今后，我国应该采取适当措施激励企业提高科技创新投入，推进技术进步，提高投资效率；我国经济应该尽快从钢筋水泥的泥沼中解脱出来，采取相应