高中数学《等差数列的概念与通项公式第一课时》专题突破含解析

本资料分享自千人QQ群323031380期待你的加入与分享4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第一课时等差数列的概念与通项公式课标要求素养要求1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.体会等差数列与一元一次函数的关系.在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.新知探究观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题.我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；②2020年1月中，每个星期日的日期为5，12，19，26.③问题数列①②③有什么共同的特点？提示从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，都是等差数列.1.等差数列的概念等差数列的定义中的几个关键词是“从第2项起”，“同一个常数”条件从第2项起每一项与它的前一项的差都等于同一个常数结论这个数列就叫做等差数列有关概念这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.3.等差数列的通项公式一般形式：an＝am＋(n－m)d(1)通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.(2)等差数列与一次函数的关系：①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n，an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上.②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k，b为常数)，则f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b，…，f(n)＝nk＋b，构成一个等差数列{nk＋b}，其首项为(k＋b)，公差为k.拓展深化[微判断]1.常数列是等差数列.(√)2.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)提示差都是同一个常数.3.数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列.(×)提示{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.[微训练]1.已知实数m是1和5的等差中项，则m＝()A.eq\r(5) B.±eq\r(5)C.3 D.±3解析由题知：2m＝1＋5＝6，m＝3.答案C2.等差数列{1－3n}的公差d等于()A.1 B.3C.－3 D.n解析∵an＝1－3n，∴a1＝－2，a2＝－5，∴d＝a2－a1＝－3.答案C3.等差数列－3，－1，1，…的通项公式为an＝________.解析由题知，a1＝－3，d＝2，an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5.答案2n－5[微思考]1.如果数列{an}满足an＋1－an＝d(常数)或2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，那么数列{an}是等差数列吗？提示是等差数列.2.等差数列{an}的单调性与其公差d有什么关系？提示当公差d＝0时，{an}是常数列；当公差d>0时，{an}是递增数列；当公差d<0时，{an}是递减数列.题型一等差数列的通项公式及相关计算【例1】在等差数列{an}中，(1)已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an；(2)已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n；(3)已知a1＝12，a6＝27，求d；(4)已知d＝－eq\f(1,3)，a7＝8，求a1和an.解(1)an＝a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29.(2)由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10.(3)由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27，解得d＝3.(4)由a7＝a1＋6d得a1－2＝8，解得a1＝10，所以an＝a1＋(n－1)d＝10－eq\f(1,3)(n－1)＝－eq\f(1,3)n＋eq\f(31,3).规律方法等差数列通项公式中的四个参数及其关系等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d四个参数a1，d，n，an“知三求一”知a1，d，n求an知a1，d，an求n知a1，n，an求d知d，n，an求a1【训练1】(1)已知{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d＝()A.－2 B.－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.2(2)在数列{an}中，已知a1＝3，当n≥2时，eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,5)，则a16＝()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)解析(1)由条件得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋6d－2（a1＋3d）＝－1，,a1＋2d＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,d＝－\f(1,2).))(2)因为当n≥2时，eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,5)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,3)为首项，以eq\f(1,5)为公差的等差数列，故eq\f(1,a16)＝eq\f(1,3)＋15×eq\f(1,5)＝eq\f(10,3)，故a16＝eq\f(3,10).答案(1)B(2)B题型二等差中项及其应用【例2】在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.解∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝eq\f(－1＋7,2)＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝eq\f(－1＋3,2)＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝eq\f(3＋7,2)＝5.∴该数列为－1，1，3，5，7.规律方法(1)由等差数列的定义知an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即2an＝an－1＋an＋1，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.(2)在设等差数列的项时，可利用上述性质.【训练2】若a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为()A.eq\r(3) B.eq\r(2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(2),2)(2)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是()A.2 B.3C.6 D.9解析(1)由题知a，b的等差中项为eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3)＋\r(2))＋\f(1,\r(3)－\r(2))))＝eq\f(1,2)(eq\r(3)－eq\r(2)＋eq\r(3)＋eq\r(2))＝eq\r(3).(2)由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.所以m和n的等差中项为eq\f(m＋n,2)＝3.答案(1)A(2)B题型三等差数列的判定角度1等差数列的证明【例3－1】(1)已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}也是等差数列.证明因为数列{an}是等差数列，可设其公差为d，则an＋1－an＝d.从而bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d，它是一个与n无关的常数，所以数列{bn}是等差数列.(2)已知a1＝2，若an＋1＝2an＋2n＋1，证明eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))为等差数列，并求{an}的通项公式.证明由于an＋1＝2an＋2n＋1，所以eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝eq\f(2an＋2n＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n)))是以1为首项，1为公差的等差数列.∴eq\f(an,2n)＝1＋(n－1)×1＝n.∴an＝n·2n.角度2等差数列的探究【例3－2】数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*).(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.解(1)∵an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)及a1＝2，a2＝－1，∴a2＝(λ－3)a1＋2，∴λ＝eq\f(3,2).∴a3＝－eq\f(3,2)a2＋22，∴a3＝eq\f(11,2).(2)不存在.∵a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，即2＋2λ2－10λ＋16＝2(2λ－4)，∴λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解，∴λ不存在，即不存在λ使{an}为等差数列.规律方法(1)证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列；an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)⇔{an}是等差数列.②等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列.(2)若证明一个数列不是等差数列，则只要证明其中特定三项(如前三项a1，a2，a3)不是等差数列即可.【训练3】已知数列{an}满足an＋1＝eq\f(6an－4,an＋2)，且a1＝3(n∈N*).(1)证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－2)))是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明由eq\f(1,an＋1－2)＝eq\f(1,\f(6an－4,an＋2)－2)＝eq\f(an＋2,（6an－4）－2（an＋2）)＝eq\f(an＋2,4an－8)＝eq\f(（an－2）＋4,4（an－2）)＝eq\f(1,an－2)＋eq\f(1,4)，得eq\f(1,an＋1－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,4)，n∈N*，故数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－2)))是等差数列.(2)解由(1)知eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,a1－2)＋(n－1)×eq\f(1,4)＝eq\f(n＋3,4)，所以an＝eq\f(2n＋10,n＋3)，n∈N*.一、素养落地1.通过学习等差数列的概念，提升数学抽象素养，通过学习等差数列的证明及相关计算，提升逻辑推理及数学运算素养.2.判断一个数列是不是等差数列的常用方法：(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.3.由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.二、素养训练1.给出下列数列：(1)0，0，0，0，0，…；(2)1，11，111，1111，…；(3)2，22，23，24，…；(4)－5，－3，－1，1，3，…；(5)1，2，3，5，8，….其中是等差数列的有()A.1个 B.2个C.3个 D.4个解析数列(1)，(4)是等差数列，故选B.答案B2.若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为5的等差数列D.不是等差解析an＋1－an＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{an}是公差为2的等差数列.答案A3.在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5＝()A.5 B.6C.8 D.9解析因为a5是a1和a9的等差中项，所以2a5＝a1＋a9，即2a5＝10，a5＝5.答案A4.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是________.解析d＝－1－1＝－2，设an＝－89，则－89＝a1＋(n－1)d＝1－2(n－1)，解得n＝46.答案465.在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通项公式an.解由题意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝12，,a1＋17d＝36，))解得d＝2，a1＝2.∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.基础达标一、选择题1.设数列{an}(n∈N*)是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于()A.4 B.3C.2 D.1解析由a2＝a1＋d＝4，a4＝a1＋3d＝6，解得d＝1.答案D2.已知等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于()A.15 B.22C.7 D.29解析设{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝22，,a6＝a1＋5d＝7，))解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.答案A3.在数列{an}中，若eq\r(an＋1)＝eq\r(an)＋eq\r(2)，a1＝8，则数列{an}的通项公式为()A.an＝2(n＋1)2 B.an＝4(n＋1)C.an＝8n2 D.an＝4n(n＋1)解析由题意得eq\r(an＋1)－eq\r(an)＝eq\r(2)，故数列{eq\r(an)}是首项为eq\r(a1)＝2eq\r(2)，公差为eq\r(2)的等差数列，所以eq\r(an)＝2eq\r(2)＋eq\r(2)(n－1)＝eq\r(2)n＋eq\r(2)，故an＝2(n＋1)2.答案A4.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金棰，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金棰由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是()A.eq\f(7,3)斤 B.eq\f(7,2)斤C.eq\f(5,2)斤 D.3斤解析依题意，金棰由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1＝4，则a5＝2，设公差为d，则2＝4＋4d，解得d＝－eq\f(1,2)，所以a2＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(7,2).答案B5.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是()A.第7项 B.第8项C.第9项 D.第10项解析∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，∴a7＝2>0，a8＝－1<0.故数列中第一个负数项是第8项.答案B二、填空题6.在△ABC中，B是A和C的等差中项，则cosB＝________.解析∵B是A和C的等差中项，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3)，cosB＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)7.已知等差数列{an}中，a1＋a2＝a4，a10＝11，则a12＝________.解析由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋d＝a1＋3d，,a1＋9d＝11，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2,d＝1.))故a12＝2＋11＝13.答案138.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.解析设此等差数列为{an}，公差为d，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)，))∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).答案eq\f(67,66)三、解答题9.在等差数列{an}中，(1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项.(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.解(1)因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝15，,a1＋16d＝39，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝7，,d＝2，))所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.令2n＋5＝91，得n＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项.(2)设{an}的公差为d，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝11，,a1＋7d＝5，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝12，,d＝－1.))∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，所以a10＝13－10＝3.10.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2).(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由.(2)求an.解(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列.理由如下：因为a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，公差d＝eq\f(1,2)的等差数列.(2)由(1)可知，eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)d＝eq\f(n,2)，所以an＝eq\f(2,n).能力提升11.已知数列{an}中，a3＝2，a5＝1，若{eq\f(1,1＋an)}是等差数列，则a11等于()A.0 B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析∵eq\f(1,1＋a3)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,1＋a5)＝eq\f(1,2)，设数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋an)))的公差为d，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋a1)＋2d＝\f(1,3)，,\f(1,1＋a1)＋4d＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋a1)＝\f(1,6)，,d＝\f(1,12).))∴eq\f(1,1＋an)＝eq\f(1,6)＋(n－1)·eq\f(1,12)，∴eq\f(1,1＋a11)＝eq\f(1,6)＋eq\f(11－1,12)＝eq\f(11＋1,12)＝1，∴a11＝0.答案A12.在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*).(1)证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若λan＋eq\f(1,an)≥λ对任意的n≥2恒成立，求实数λ的取值范围.(1)证明由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)，整理得eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝3(n≥2，n∈N*)，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，3为公差的等差数列.(2)解由(1)可得eq\f(1,an)＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝eq\f(1,3n－2).(3)解λan＋eq\f(1,an)≥λ对任意的n≥2恒成立，即eq\f(λ,3n－2)＋3n－2≥λ对任意的n≥2恒成立，整理得λ≤eq\f(（3n－2）2,3n－3)，对任意的n≥2恒成立.令f(n)＝eq\f(（3n－2）2,3n－3)，则只需满足λ≤f(n)min即可.因为f(n＋1)－f(n)＝eq\f(（3n＋1）2,3n)－eq\f(（3n－2）2,3n－3)＝eq\f(9n2－9n－1,3n（n－1）)＝3－eq\f(1,3n（n－1）)，所以当n≥2时，f(n＋1)－f(n)>0，即f(2)<f(3)<f(4)<…，所以f(2)最小.又f(2)＝eq\f(16,3)，所以λ≤eq\f(16,3)，所以实数λ的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(16,3))).创新猜想13.(多选题)已知数列{an}满足：a1＝