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文档简介

函数极限连续山东交通学院高等数学教研室一、知识要点二、典型例题1、函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立2、函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性3、复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数4、数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限一、知识要点6、极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限

7、函数的连续性（含左连续与右连续）、间断点的类型8、连续函数的性质和初等函数的连续性9、闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)5、无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较

（1）常用等价无穷小:时,(I)和差取低规则:

若=o(),(II)和差代替规则:

例如则若不等价，若且时，与（2）无穷小替换原则:则①

②

则5、洛必达法则（适用于未定式的极限）洛必达法则通分、变型6、Talor公式（常用的是带佩亚诺型的麦克劳林公式）泰勒公式(麦克劳林公式)（ii）单调下降，9、利用Stolz定理求极限（主要用于数列极限）结论1:设（i）且则（iii）10、利用幂级数求和（主要用于数列极限）11、利用极限存在的充要条件（出现绝对值函数，指数函数的指数部分趋近于正负无穷时）12、利用导数的定义求极限13、利用无穷小的性质求极限例2.求极限解:因为因为所以例3.求极限解:原式=例3.求极限或利用重要极限原式=而例3.求极限或利用指数函数原式=例4.

设解:由于例6.求极限解:因为因为令所以从而Stolz*定理显然，，且单调上升例7.设且求Stolz*定理令所以显然，，且单调上升解:因为所以从而解:由夹逼准则可知(1998考研)

例9.求夹逼准则例10.求极限解:原式=的Taylor展开式再证数列有下界有下界.单调不增且非负，所以数列收敛.例12.求极限解:原式=例14.

计算下列极限：

（1）解：考虑级数利用根植审敛法可得，显然，因此其前n项和有界，所以，从而级数收敛，（2）解：极限化简为只需求出级数的和，考虑级数x＝±1时级数发散,下面求幂级数的和函数容易求出幂级数的收敛半径为1,得收敛域为设令两边积分得两边求导得从而所以，因此，原极限=例15.

设解：求极限原式=等价无穷大概念：如果则(1)当时，称和是时的等价无穷大，记作(2)当时，的高阶无穷大，称为时关于的低阶无穷大.或为时关于相关结论：则(1)(2)的高阶无穷大，若为时关于若和是时的等价无穷大，则是曲线y=f(x)水平渐近线.①水平渐

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