(新高考)高考数学三轮冲刺解答题核心考点练第14讲《解析几何常见常考模型》（解析版）

第14讲解析几何常见常考模型高考预测一：垂直弦模型1．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点是SKIPIF1<0，若过焦点的直线与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，所得弦长SKIPIF1<0的最小值为4．（1）求抛物线SKIPIF1<0的方程；（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0上两个不同的动点，SKIPIF1<0为坐标原点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为垂足，证明：存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值．【解析】解：（1）设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以抛物线的方程为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,所以直线过定点SKIPIF1<0,记作SKIPIF1<0点，当SKIPIF1<0点与SKIPIF1<0点不重合时，SKIPIF1<0为直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点时，SKIPIF1<0，当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点时，SKIPIF1<0，所以存在点SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0为定值2．2．已知椭圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的两点．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）是否存在直线与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成立？若存在，求出实数SKIPIF1<0的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】解：（Ⅰ）根据题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为SKIPIF1<0．（Ⅱ）假设存在这样的直线，由已知可得直线的斜率存在，设直线方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．3．已知曲线SKIPIF1<0上的任意一点到点SKIPIF1<0的距离与到直线SKIPIF1<0的距离相等．（Ⅰ）求曲线SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）若不经过坐标原点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0．求证：直线SKIPIF1<0过定点．【解析】（Ⅰ）解：因为曲线SKIPIF1<0上的任意一点到点SKIPIF1<0的距离与到直线SKIPIF1<0的距离相等，根据抛物线的定义可知，曲线SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为焦点，直线SKIPIF1<0为准线的抛物线，故曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（Ⅱ）证明：设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为线段SKIPIF1<0为直线的圆过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为直角三角形，故有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0不过原点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0．4．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右两个焦点分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦距为2，点SKIPIF1<0在椭圆上且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（Ⅱ）点SKIPIF1<0为坐标原点，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0为定值，并求出该定值．【解析】解：（Ⅰ）依题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（Ⅱ）证明：当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由题意，△SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．而SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为原点到直线SKIPIF1<0的距离，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，代入椭圆方程得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．综上SKIPIF1<0．5．已知抛物线SKIPIF1<0焦点为SKIPIF1<0，抛物线上一点SKIPIF1<0的横坐标为2，且SKIPIF1<0．（Ⅰ）求此抛物线SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）过点SKIPIF1<0做直线交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求证：SKIPIF1<0．【解析】（Ⅰ）解：设抛物线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（Ⅱ）证明：当直线SKIPIF1<0斜率不存在时，此时SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当直线SKIPIF1<0斜率存在时，设SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0．综上，SKIPIF1<0成立．6．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上的两个动点，满足SKIPIF1<0．（1）求证：原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为定值；（2）求SKIPIF1<0的最大值；（3）求过点SKIPIF1<0，且分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直径的两圆的另一个交点SKIPIF1<0的轨迹方程．【解析】（1）证明：当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，由SKIPIF1<0代入椭圆方程可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0．综上可得：原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为定值SKIPIF1<0．（2）解：由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号．SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．（3）解：如图所示，过点SKIPIF1<0，且分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直径的两圆的另一个交点SKIPIF1<0的轨迹满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线．由（1）可知：原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为定值SKIPIF1<0．SKIPIF1<0分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直径的两圆的另一个交点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0．高考预测二：内接直角三角形模型7．在直角坐标系SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的距离之和是4，点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的负半轴交于点SKIPIF1<0，不过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与轨迹SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．（1）求轨迹SKIPIF1<0的方程；（2）当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系，并证明直线SKIPIF1<0过定点．【解析】解：（1）SKIPIF1<0点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之和是4，SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0是长轴长为4，焦点在SKIPIF1<0轴上焦距为SKIPIF1<0的椭圆，其方程为SKIPIF1<0．（2）将SKIPIF1<0，代入曲线SKIPIF1<0的方程，整理得SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，所以△SKIPIF1<0．①设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②且SKIPIF1<0．③显然，曲线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的负半轴交于点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．将②、③代入上式，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．经检验，都符合条件①．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．显然，此时直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0点．即直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，与题意不符．当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．显然，此时直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0点，且不过点SKIPIF1<0．综上，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系是：SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0点．8．已知椭圆SKIPIF1<0的中心在坐标原点，左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上的动点，△SKIPIF1<0的面积最大值为SKIPIF1<0，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线SKIPIF1<0相切．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）若直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0且与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的右顶点，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，试问以线段SKIPIF1<0为直径的圆是否过SKIPIF1<0轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．【解析】解：（1）由题意椭圆SKIPIF1<0的中心在坐标原点，左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上的动点，△SKIPIF1<0的面积最大值为SKIPIF1<0，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线SKIPIF1<0相切．可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以椭圆SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（4分）（2）以线段SKIPIF1<0为直径的圆过SKIPIF1<0轴上的定点．当直线SKIPIF1<0斜率不存在时以线段SKIPIF1<0为直径的圆的方程为：SKIPIF1<0，恒过定点SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（5分）当直线SKIPIF1<0斜率存在时设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（7分）又因为点SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的右顶点，所以点SKIPIF1<0．由题意可知直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（8分）若以线段SKIPIF1<0为直径的圆过SKIPIF1<0轴上的定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则等价于SKIPIF1<0恒成立．SKIPIF1<0（9分）又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0恒成立．又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0．故以线段SKIPIF1<0为直径的圆过SKIPIF1<0轴上的定点SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（12分）（或设SKIPIF1<0请酌情给分）9．过抛物线SKIPIF1<0上不同两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别作抛物线的切线相交于SKIPIF1<0点，SKIPIF1<0．（1）求点SKIPIF1<0的轨迹方程；（2）已知点SKIPIF1<0，是否存在实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值，若不存在，请说明理由．【解析】解法（一SKIPIF1<0（1）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（4分）直线SKIPIF1<0的方程是：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0①同理，直线SKIPIF1<0的方程是：SKIPIF1<0②，（6分）由①②得：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0SKIPIF1<0点SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0．（8分）（2）由（1）得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0．（14分）解法（二SKIPIF1<0（1）SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与抛物线相切，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率均存在且不为0，且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的直线方程是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0．（4分）SKIPIF1<0△SKIPIF1<0即SKIPIF1<0即直线SKIPIF1<0的方程是：SKIPIF1<0同理可得直线SKIPIF1<0的方程是：SKIPIF1<0，（6分）由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0故点SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0．（8分）（2）由（1）得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0．（14分）10．已知椭圆SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左焦点、左顶点，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0（不与SKIPIF1<0轴重合）交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积；（3）是否存在直线SKIPIF1<0，使得点SKIPIF1<0在以线段SKIPIF1<0为直径的圆上，若存在，求出直线SKIPIF1<0的方程；若不存在，说明理由．【解析】解：（1）由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（2分）SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的标准方程为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（4分）（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以过SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（6分）解方程组SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（8分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（10分）（2）结论：不存在直线SKIPIF1<0使得点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆上．理由如下：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．假设点SKIPIF1<0在以线段SKIPIF1<0为直径的圆上，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（12分）解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（14分）又因为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0不在以SKIPIF1<0为直径的圆上，即不存在直线SKIPIF1<0，使得点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆上．SKIPIF1<0（16分）11．已知焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的左顶点．（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）已知过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．①若直线SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴，求SKIPIF1<0的大小；②若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不垂直，是否存在直线SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0为等腰三角形？如果存在，求出直线SKIPIF1<0的方程；如果不存在，请说明理由．【解析】解：（1）设椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0，由题意知：SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0．（4分）（2）由（1）得SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当直线SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，（5分）SKIPIF1<0的方程与SKIPIF1<0联列得SKIPIF1<0（不妨设点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方），（6分）此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（8分）②当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不垂直时，不存在直线SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0为等腰三角形（10分）证明如下：由题意可设SKIPIF1<0，联列方程组得SKIPIF1<0，显然△SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（12分）假设存在直线SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0为等腰三角形，则SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（13分）连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，记点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不垂直，矛盾，故不存在直线SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0为等腰三角形．（16分）高考预测三：中点弦模型12．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，以原点为圆心，椭圆SKIPIF1<0的短半轴长为半径的圆与直线SKIPIF1<0相切．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆的左、右顶点，直线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0点且与SKIPIF1<0轴垂直．（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）设SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的任意一点，作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0并延长交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，判断直线SKIPIF1<0与以SKIPIF1<0为直径的圆SKIPIF1<0的位置关系，并证明你的结论．【解析】（本小题满分12分）解：（1）由题意：SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0（4分）（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0（6分）与SKIPIF1<0联立得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0（8分）即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程可化为SKIPIF1<0（10分）SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0故直线SKIPIF1<0与以SKIPIF1<0为直径的圆SKIPIF1<0相切．SKIPIF1<0（12分）13．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为上顶点，SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于另一点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的周长为8，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为2．（Ⅰ）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（Ⅱ）求过SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条互相垂直的弦，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为两弦的中点，求证：直线SKIPIF1<0经过定点，并求出定点的坐标．【解析】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的标准方程：SKIPIF1<0．SKIPIF1<0设以SKIPIF1<0为中点的弦与椭圆交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0．当直线SKIPIF1<0的斜率不存在或为零时，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点为点SKIPIF1<0及原点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，也过此定点，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0．14．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的三个点，SKIPIF1<0是坐标原点．（Ⅰ）当点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的右顶点，且四边形SKIPIF1<0为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的顶点时，判断四边形SKIPIF1<0是否可能为菱形，并说明理由．【解析】解：SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0是椭圆的右顶点SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂直平分线，可得SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0（舍负）SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0因此，SKIPIF1<0，可得菱形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点是圆SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的公共点，解之得SKIPIF1<0设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点横坐标分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点的横坐标满足SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，可得若四边形SKIPIF1<0为菱形，则SKIPIF1<0点必定是右顶点SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的中点必定是原点SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共线，可得不存在满足条件的菱形SKIPIF1<0综上所述，可得当点SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的顶点时，四边形SKIPIF1<0不可能为菱形．15．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程：（2）设椭圆的左、右顶点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆交于不同的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（不同于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，探索直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的交点能否在一条垂直于SKIPIF1<0轴的定直线上，若能，求出这条定直线的方程；若不能，请说明理由．【解析】解：（1）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的交点坐标SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立两直线方程，解得两直线的交点坐标SKIPIF1<0，它在直线SKIPIF1<0上．②当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设直线SKIPIF1<0，代入椭圆SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，整理，得SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的方程消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点在直线SKIPIF1<0上．综上所述，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的交点必在一条垂直于SKIPIF1<0轴的定直线上，这条直线的方程是SKIPIF1<0．16．已知椭圆：SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，左、右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求栖圆SKIPIF1<0的方程：（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的任意一点，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，设过点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴垂直的直线与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，证明：直线SKIPIF1<0经过线段SKIPIF1<0的中点．【解析】解：（1）由题意知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故椭圆的方程为SKIPIF1<0，（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0轴垂直的直线的方程为SKIPIF1<0，结合方程SKIPIF1<0，得点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点坐标SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0经过线段SKIPIF1<0的中点．17．已知定圆SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0和已知圆内切，且过点SKIPIF1<0，（