高考数学(理数)一轮复习教案：4.2《平面向量的基本定理及其坐标表示》(含解析)

4.2平面向量的基本定理及其坐标表示典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图▱ABCD中,M,N分别是DC，BC中点.已知=a,=b,试用a，b表示，与【解析】易知＝＋＝＋eq\f(1,2)，＝＋＝＋eq\f(1,2)，即所以＝eq\f(2,3)(2b－a)，＝eq\f(2,3)(2a－b).所以＝＋＝eq\f(2,3)(a＋b).【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知D为△ABC的边BC上的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足＋＋＝0，则等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2) C.1 D.2【解析】由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知＋＝2，因此结合＋＋＝0即得＝2，因此易得P，A，D三点共线且D是PA的中点，所以＝1，即选C.题型二向量的坐标运算【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).(1)u＝3v⇔(2x＋1，3)＝3(2－x，1)⇔(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.(2)u∥v⇔(2x＋1，3)＝λ(2－x，1)⇔⇔(2x＋1)－3(2－x)＝0⇔x＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.【变式训练2】已知向量an＝(coseq\f(nπ,7)，sineq\f(nπ,7))(n∈N*)，|b|＝1.则函数y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2的最大值为.【解析】设b＝(cosθ，sinθ)，所以y＝|a1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a3＋b|2＋…＋|a141＋b|2＝(a1)2＋b2＋2(coseq\f(π,7)，sineq\f(π,7))(cosθ，sinθ)＋…＋(a141)2＋b2＋2(coseq\f(141π,7)，sineq\f(141π,7))(cosθ，sinθ)＝282＋2cos(eq\f(π,7)－θ)，所以y的最大值为284.题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝eq\f(π,3)，求△ABC的面积.【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asinA＝bsinB.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△ABC为等腰三角形.(2)因为m⊥p，所以m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1(舍去).所以S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则①m∥n⇔x1y2＝x2y1；②m⊥n⇔x1x2＋y1y2＝0.【变式训练3】已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(2cosC－1，－2)，n＝(cosC，cosC＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为()A.10－5eq\r(3) B.10＋5eq\r(3)C.10－2eq\r(3) D.10＋2eq\r(3)【解析】由m⊥n得2cos2C－3cosC－2＝0，解得cosC＝－eq\f(1,2)或cosC＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝100－ab，由10＝a＋b≥2eq\r(ab)⇒ab≤25，所以c2≥75，即c≥5eq\r(3)，所以a＋b＋c≥10＋5eq\r(3)，当且仅当a＝b＝5时，等号成立.故选B.总结提高1.向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来.向量方法是几何方法与代数