高中数学《导数的几何意义第二课时》专题突破含解析

第二课时导数的几何意义课标要求素养要求通过函数图象直观理解导数的几何意义.通过学习导数与曲线的切线的关系，理解导数的几何意义，发展学生直观想象素养.新知探究从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量v的方向相同.问题如果设曲线的方程为y＝f(x)，A(x0，f(x0))，那么曲线在点A处的切线的斜率是什么？提示k＝f′(x0).1.切线的概念在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线.2.导数的几何意义“在点(x0，f(x0))处”的切线就是指(x0，f(x0))是切点.当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝f′(x0).3.导函数对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)就是x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称导数),即f′(x)＝y′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx).拓展深化[微判断]1.函数在x＝x0处的导数f′(x0)是一个常数.(√)2.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率.(√)3.直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点.(×)提示也可能有多个公共点，如曲线y＝x3在点(1，1)处的切线与曲线y＝x3有两个公共点.[微训练]1.曲线y＝eq\f(1,x)在点(1，1)处切线的斜率为()A.1 B.－1C.eq\f(1,2) D.－eq\f(1,2)解析k＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,1＋Δx)－1,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－1,1＋Δx)＝－1.答案B2.函数f(x)的图象如图所示，则()A.f′(1)>f′(2)>f′(3) B.f′(2)>f′(1)>f′(3)C.f′(3)>f′(2)>f′(1) D.f′(3)>f′(1)>f′(2)解析由函数的图象可知，曲线在点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))处切线的斜率大小关系为kC>kB>kA，故f′(3)>f′(2)>f′(1).答案C[微思考]1.与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线吗？提示不一定，例如直线x＝1与曲线y＝cosx只有一个公共点，但直线x＝1不是曲线y＝cosx的切线.2.导函数f′(x)与函数在x＝x0处的导数f′(x0)相同吗？它们有什么区别与联系？提示不相同.(1)两者的区别：由导数的定义知，f′(x0)是一个具体的值，f′(x)是由于f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义在I上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是数值，后者是函数.(2)两者的联系：在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此是函数在某一点处的导数.题型一求切线的方程【例1】已知曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.解(1)∵P(2，4)在曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)上，∴曲线在点P(2，4)处切线的斜率为k＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（2＋Δx）3＋\f(4,3)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×23＋\f(4,3))),Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋2Δx＋\f(1,3)（Δx）2))＝4.∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)与过点P(2，4)的切线相切于点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)xeq\o\al(3,0)＋\f(4,3)))，则切线的斜率为k＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)（x0＋Δx）3＋\f(4,3)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)xeq\o\al(3,0)＋\f(4,3))),Δx)＝xeq\o\al(2,0)，∴切线方程为y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)xeq\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝xeq\o\al(2,0)·x－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3).∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2xeq\o\al(2,0)－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3)，即xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋4＝0.∴xeq\o\al(3,0)＋xeq\o\al(2,0)－4xeq\o\al(2,0)＋4＝0，∴xeq\o\al(2,0)(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1，或x0＝2.故所求的切线方程为x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.规律方法若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.【训练1】求曲线y＝eq\f(1,x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))处的切线方程.解曲线在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))处的切线的斜率为k＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,2＋Δx)－\f(1,2),Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(－1,2（2＋Δx）)＝－eq\f(1,4)，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)(x－2)，即x＋4y－4＝0.题型二求切点坐标或参数值【例2】(1)已知抛物线y＝f(x)＝2x2＋1在某点处的切线的倾斜角为45°，则该切点的坐标为________.(2)若直线y＝3x＋b与曲线y＝x3相切，则b＝________.解析(1)设切点坐标为(x0，y0)，则Δy＝[2(x0＋Δx)2＋1]－(2xeq\o\al(2,0)＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx，∴f′(x0)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝4x0.又∵切线的斜率为k＝tan45°＝1，∴4x0＝1即x0＝eq\f(1,4).∴y0＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋1＝eq\f(9,8)，∴切点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(9,8))).(2)设直线y＝3x＋b与曲线y＝x3的切点为P(x0，y0)，由y＝x3得y′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）3－x3,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2，所以曲线y＝x3在点P(x0，y0)处的切线斜率k＝3xeq\o\al(2,0)，又直线y＝3x＋b与曲线y＝x3切于点P，所以3xeq\o\al(2,0)＝3，因此x0＝±1，所以P(1，1)或P(－1，－1).因为点P在直线y＝3x＋b上，所以b＝±2.答案(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(9,8)))(2)±2规律方法解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，平行，垂直等.【训练2】已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.解对于曲线f(x)＝x2－1，k1＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x0＋Δx）2－1－（xeq\o\al(2,0)－1）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x0＋Δx)＝2x0.对于曲线g(x)＝1－x3，k2＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(g（x0＋Δx）－g（x0）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1－（x0＋Δx）3－（1－xeq\o\al(3,0)）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(－3x0Δx－3xeq\o\al(2,0)－(Δx)2)＝－3xeq\o\al(2,0).由k1＝k2，得2x0＝－3xeq\o\al(2,0)，∴x0＝0或x0＝－eq\f(2,3).题型三与导数的几何意义有关的图象问题【例3】(1)已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB)C.f′(xA)＝f′(xB) D.不能确定(2)若函数f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()解析(1)由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB).(2)函数f(x)的导函数f′(x)在[a，b]上是增函数，若对任意x1和x2满足a<x1<x2<b，则有f′(a)<f′(x1)<f′(x2)<f′(b)，根据导数的几何意义，可知函数y＝f(x)的切线斜率在[a，b]内单调递增，观察图象.只有A选项符合.答案(1)B(2)A规律方法导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的大小.【训练3】已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设eq\f(f（2）－f（1）,2－1)＝a，则下列不等式正确的是()A.f′(1)<f′(2)<a B.f′(1)<a<f′(2)C.f′(2)<f′(1)<a D.a<f′(1)<f′(2)解析由图象可知，函数在[0，＋∞)上的增长越来越快，故函数图象在点(x0，f(x0))(x0∈(0，＋∞))的切线的斜率越来越大，∵eq\f(f（2）－f（1）,2－1)＝a，∴f′(1)<a<f′(2)，故选B.答案B一、素养落地1.通过学习导数的几何意义，理解切线的斜率与导数的关系，培养数学运算和直观想象素养.2.导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.二、素养训练1.若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，则()A.h′(a)＝0 B.h′(a)<0C.h′(a)>0 D.h′(a)不存在解析由2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1，由导数的几何意义可知h′(a)＝－2<0.答案B2.已知曲线f(x)＝eq\f(1,2)x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为()A.－2 B.－1C.1 D.2解析∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝eq\f(1,2)(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－eq\f(1,2)x2－x＝x·Δx＋eq\f(1,2)(Δx)2＋Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝x＋eq\f(1,2)Δx＋1，∴f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝x＋1.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2，故选D.答案D3.设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A.1 B.eq\f(1,2)C.－eq\f(1,2) D.－1解析因为f′(1)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(a（1＋Δx）2－a×12,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2aΔx＋a（Δx）2,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1(经检验，正确).答案A4.已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝eq\f(1,2)x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.解析由在M点处的切线方程y＝eq\f(1,2)x＋2，得f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，f′(1)＝eq\f(1,2).∴f(1)＋f′(1)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)＝3.答案35.设y＝f(x)为可导函数，且满足条件eq^\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f（1）－f（1－x）,2x)＝－2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率是________.解析由eq^\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f（1）－f（1－x）,2x)＝－2，∴eq\f(1,2)f′(x)＝－2，f′(1)＝－4.答案－4基础达标一、选择题1.在曲线y＝x2上切线倾斜角为eq\f(π,4)的点是()A.(0，0) B.(2，4)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,16))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))解析∵y′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2－x2,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x，∴令2x＝taneq\f(π,4)＝1，得x＝eq\f(1,2).∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，所求点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))).答案D2.若曲线y＝f(x)在其上一点(1，3)处的切线过点(0，2)，则()A.f′(1)>0 B.f′(1)＝0C.f′(1)<0 D.f′(1)不存在解析由题意知切线过点(1，3)，(0，2)，所以切线的斜率为k＝f′(1)＝eq\f(3－2,1－0)＝1>0.答案A3.已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)图象如图所示，则下列不等式正确的是()A.f′(a)<f′(b)<f′(c)B.f′(b)<f′(c)<f′(a)C.f′(a)<f′(c)<f′(b)D.f′(c)<f′(a)<f′(b)解析如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k1<k2<k3，又f′(a)＝k1，f′(b)＝k2，f′(c)＝k3，所以f′(a)<f′(b)<f′(c).故选A.答案A4.曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x＋y＋1＝0，则()A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1解析将(0，b)代入切线方程可得0＋b＋1＝0，∴b＝－1，y′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝2x＋a，∴当x＝0时，y′＝a＝－1.答案D5.如图，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2，0)，且f′(1)＝－2，则f(1)的值为()A.－1 B.1C.2 D.3解析曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线l过点(2，0)，且f′(1)＝－2，所以切线方程为y＝－2(x－2).因为切点在曲线上也在切线上，所以f(1)＝－2×(1－2)＝2.故选C.答案C二、填空题6.已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则eq\f(b,a)＝________.解析由题意知a＋b＝3，又y′|x＝1＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(a（1＋Δx）2＋b－（a＋b）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2a＋aΔx)＝2a＝2，∴a＝1，b＝2，故eq\f(b,a)＝2.答案27.若函数f(x)＝x－eq\f(1,x)，则它与x轴交点处的切线方程为________________.解析f(x)＝x－eq\f(1,x)与x轴交点坐标为(1，0)，(－1，0)，f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）－\f(1,x＋Δx)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x))),Δx)＝1＋eq\f(1,x2)，f′(1)＝2，f′(－1)＝2，∴所求切线方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)，即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0.答案2x－y－2＝0或2x－y＋2＝08.若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________.解析由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，设y＝f(x)＝x2，由导数的几何意义知y′＝f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝2x＝1，解得x＝eq\f(1,2)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4)))，故点P到直线y＝x－2的最小距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)－2)),\r(2))＝eq\f(7\r(2),8).答案eq\f(7\r(2),8)三、解答题9.已知曲线y＝eq\f(1,3)x3上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(8,3)))，求：(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程.解(1)由y＝eq\f(1,3)x3，得y′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,3)（x＋Δx）3－\f(1,3)x3,Δx)＝eq\f(1,3)eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(3x2Δx＋3x（Δx）2＋（Δx）3,Δx)＝eq\f(1,3)eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，y′|x＝2＝22＝4.所以点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程为y－eq\f(8,3)＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.10.在抛物线y＝x2上，哪一点处的切线平行于直线4x－y＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？解y′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2－x2,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2x＋Δx)＝2x.设抛物线上点P(x0，y0)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，则k＝2x0＝4，解得x0＝2.所以y0＝xeq\o\al(2,0)＝4，即P(2，4).设抛物线上点Q(x1，y1)处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0，则k＝2x1＝－eq\f(1,4)，解得x1＝－eq\f(1,8).所以y1＝xeq\o\al(2,1)＝eq\f(1,64)，即Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，\f(1,64))).故抛物线y＝x2在点(2，4)处的切线平行于直线4x－y＋1＝0，在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，\f(1,64)))处的切线垂直于直线4x－y＋1＝0.能力提升11.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则点P横坐标的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B.[－1，0]C.[0，1] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))解析y′＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（x＋Δx）2＋2（x＋Δx）＋3－（x2＋2x＋3）,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（2x＋2）·Δx＋（Δx）2,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))(Δx＋2x＋2)＝2x＋2，又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为eq\b\lc\[