课时提升作业(二十三) 3.1.1 方程的根与函数的零点

课时提升作业(二十三)方程的根与函数的零点(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=4xA.2 B.-2 C.2,-2 【解析】选C.令4x-x=0,得4得x=±2.故函数y=4x-x的零点是±2.若函数f(x)满足在区间(1,2)内有唯一的零点,则()A.f(1)·f(2)>0 B.f(1)·f(2)=0C.f(1)·f(2)<0 D.不确定【解析】选D.当f(x)在区间(1,2)上单调时,f(1)·f(2)<0,当其不单调时,如f(x)=x-322,就没有f(1)3.下列图象表示的函数中没有零点的是()【解题指南】由函数零点的意义可得:函数没有零点⇔函数的图象与x轴没有交点.【解析】选A.由图象可知,只有选项A中的函数图象与x轴无交点.4.若x0是方程lgx+x=2的解,则x0属于区间()A.(0,1) B.(1,1.25)C.(1.25,1.75) D.(1.75,2)【解析】选D.构造函数fx=lgx+x-2(x>0),则函数fx的图象在(0,+∞)上是连续不断的一条曲线,又因为f(1.75)=f74=lg74-f2=lg2>0,所以f1.75·f2故函数的零点所在区间为(1.75,2),即方程lgx+x=2的解x0属于区间(1.75,2).【补偿训练】函数fx=2x+3x的零点所在的一个区间是()A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)【解析】选B.由题意可知f(-2)=14-6<0,f(-1)=12-3<0,ff2>0,f(-1)·f(0)<0,因此在区间(-1,0)上一定有零点.5.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),并且α,β(α<β)是方程f(x)=0的两个根,则a,b,α,β的大小关系可能是()A.a<α<b<β B.α<a<β<bC.α<a<b<β D.a<α<β<b【解析】选C.f(a)=-2,f(b)=-2,而f(α)=f(β)=0,如图所示,所以a,b,α,β的大小关系是α<a<b<β.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数f(x)=x2-4x-2【解析】令x2-4x-2=0,即x2答案:-2【误区警示】本题易认为函数的零点有两个,即由x2-4=0求出x=±2.7.对于方程x3+x2-2x-1=0,有下列判断:①在(-2,-1)内有实数根;②在(-1,0)内有实数根;③在(1,2)内有实数根;④在(-∞,+∞)内没有实数根.其中正确的有.(填序号)【解析】设fx=x3+x2-2x-1,则f(-2)=-1<0,f(-1)=1>0,f0=-1<0,f1=-1<0,f2=7>0,则f(x)在(-2,-1),(-1,0)(1,2)内均有零点,即①②③正确.答案:①②③【补偿训练】若函数fx=2x2-ax+8只有一个零点,则实数a的值等于.【解析】因为函数fx=2x2-ax+8只有一个零点,即方程2x2-ax+8=0只有一个解,则Δ=a2-4×2×8=0,解得a=±8.答案:±88.根据下表,能够判断f(x)=g(x)有实数解的区间是(填序号).x-10123f(x)-0.6773.0115.4325.9807.651g(x)-0.5303.4514.8905.2416.892①(-1,0); ②(0,1); ③(1,2); ④(2,3).【解析】令F(x)=f(x)-g(x),F(-1)=-0.147<0,F(0)=-0.44<0,F(1)=0.542>0,F(2)=0.739>0,F(3)=0.759>0,所以F(0)·F(1)<0,所以f(x)=g(x)有实数解的区间是②.答案:②三、解答题(每小题10分,共20分)9.求下列函数的零点.(1)fx=-6x2+5x+1.(2)fx=x3+1.(3)fx=x2【解析】(1)因为fx=-6x2+5x+1=-(6x+1)(x-1),令-(6x+1)(x-1)=0,解得x=-16所以fx=-6x2+5x+1的零点是-16(2)因为fx=x3+1=(x+1)(x2-x+1),令(x+1)(x2-x+1)=0,解得x=-1,所以fx=x3+1的零点是-1.(3)因为fx=x2+2x+1x-1令(x+1所以fx=x210.已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点.(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.【解析】(1)函数有两个零点,则对应方程-3x2+2x-m+1=0有两个不相等的实数根,易知Δ>0,即4+12(1-m)>0,可解得m<43由Δ=0,可解得m=43由Δ<0,可解得m>43故当m<43当m=43时,函数有一个零点;当m>4(2)因为0是对应方程的根,有1-m=0,可解得m=1.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.二次函数y=x2-kx-1(k∈R)的图象与x轴交点的个数是()A.0 B.1 C.2 【解析】选C.因为Δ=b2-4ac=(-k)2-4×1×(-1)=k2+4,无论k为何实数,Δ>0恒成立,即方程x2-kx-1=0有两个不相等的实数根,所以二次函数y=x2-kx-1的图象与x轴应有两个交点.2.已知f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)内的零点有1003个,则f(x)的零点的个数为()A.1003 B.1004 C.2006 【解题指南】利用函数为奇函数,则其图象关于原点对称,又f(0)=0,故可判断该函数图象与x轴交点的个数.【解析】选D.因为f(x)为奇函数,且在(0,+∞)内有1003个零点,所以在(-∞,0)上也有1003个零点,又因为f(0)=0,所以共有2006+1=2007个零点.二、填空题(每小题5分,共10分)3.函数f(x)=x12-12【解题指南】利用函数与方程思想,把函数的零点个数问题转化为方程解的个数问题,再转化为求两个函数图象的交点个数问题.【解析】函数f(x)=x12-12x的零点个数,是方程即方程x12=也就是函数y=x12与y=答案:1【补偿训练】函数fx=lnx-x+2(x>0)的零点个数是.【解析】取gx=lnx,hx=x-2,(x>0)则f(x)的零点也就是g(x)与h(x)的交点的横坐标,如图:由图可知两函数的图象有两个交点,故原函数有两个零点.答案:24.若函数fx=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是.【解析】函数f(x)的零点的个数就是函数g(x)=ax与函数h(x)=x+a交点的个数,由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点,0<a<1时两函数图象有唯一交点,故a>1.答案:(1,+∞)【补偿训练】已知二次函数y=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3有两个零点,一个大于1,一个小于1,则实数m的取值范围为.【解析】y=(m+2)x2-(2m+4)x+3m+3,如图,有两种情况.第一种情况,m+2<0,第二种情况,m+2>0,f(1)<0,解得-2<m<-综上,m的取值范围是-2<m<-12答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)5.若关于x的方程x2+(k-2)x+2k-1=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,求实数k的取值范围.【解析】令f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,由图象可得只需f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0,即2k-1>0,1+k-2+2k-1<0,因此实数k的取值范围为12【补偿训练】1.已知函数f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1,讨论a为何值时,(1)函数有一零点.(2)函数有一正一负两零点.【解题指南】对a分类讨论求解.【解析】(1)①当a=0时,f(x)=0即为-2x-1=0,则x=-12②当a≠0时,函数为二次函数,若函数有一零点,则Δ=12a+4=0,解得a=-13故当a=0或a=-13时,函数f(x)=ax2(2)若函数有一正一负两零点,则a≠0且Δ=12a+4>0,且a(a-1)<0,解得0<a<1.故当0<a<1时,函数有一正一负两零点.2.讨论函数fx=(ax-1)(x-2)(a∈R)的零点.【解析】当a=0时,函数为f(x)=-x+2,则其零点为2.当a=12时,则12x-1(x-2)=0,解得x1当a≠0,且a≠12时,则(ax-1)(x-2)=0,解得x=1a或x=2,其零点为6.已知函数f(x)=ax2-4x+2.(1)若f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.(2)已知a≤1,若函数y=f(x)-log2x8【解析】(1)因为f(2-x)=f(2+x),所以f(x)的对称轴为x=2,即--42a=2,即a=1.所以f(x)=x(2)因为y=f(x)-log2x8=ax2-4x+5-log2设r(x)=ax2-4x+5,s(x)=log2x(x∈[1,2]),则原命题等价于两个函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内有唯一交点,当a=0时,r(x)=-4x+5在区间[1,2]内为减函数,s(x)=log2x(x∈[1,2])为增函数,且r(1)=1>s(1)=0,r(2)=-3<s(2)=1,所以函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内有唯一交点.当a<0时,r(x)图象开口向下,对称轴为x=2a所以r(x)在区间[1,2]内为减函数,