2020届高中数学一轮复习人教A版离散型随机变量分布列PPT课件(98张)

2020届高中数学一轮复习人教A版离散型随机变量分布列PPT课件(98张)【知识梳理】1.离散型随机变量X的均值与方差已知离散型随机变量X的分布列为，则有X=kx1x2…xi…xnP(X=k)p1p2…pi…pn【知识梳理】X=kx1x2…xi…xnP(X=k)p1p2…(1)均值(数学期望)：计算公式：EX=_______________________.

作用：反映了离散型随机变量取值的_________.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn平均水平(1)均值(数学期望)：x1p1+x2p2+…+xipi+…

(2)方差：计算公式：DX=_____________.作用：刻画了随机变量X与其均值EX的_____________.(3)标准差：_____.平均偏离程度(2)方差：平均偏离程度2.几个特殊分布的期望与方差分布期望方差两点分布EX=pDX=p(1-p)二项分布EX=npDX=np(1-p)2.几个特殊分布的期望与方差分布期望方差两点分布EX=pDX【常用结论】均值与方差(1)均值EX=xipi.(2)方差DX=(xi-EX)2pi=EX2-E2X.【常用结论】(3)若X服从两点分布，则(DX)max=，此时p=.(4)若a，b为常数，X是随机变量，则E(aX+b)=aEX+b，D(aX+b)=a2DX.(3)若X服从两点分布，则(DX)max=，此时p=【基础自测】题组一：走出误区1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数学期望是算术平均数概念的推广，与概率无关. (

)【基础自测】(2)在投篮比赛中，投中1次得1分，不中得0分.如果某运动员投篮命中的概率为0.6，那么他投篮1次的得分X的均值为0.6. (

)(3)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事. (

)(2)在投篮比赛中，投中1次得1分，不中得0分.如果某运动员提示：(1)×.数学期望与概率有关.(2)√.X服从两点分布，均值为0.6.(3)×.均值反映平均水平，方差反映稳定性.提示：2.某班有14名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数X～B则E(2X+1)= (

)A.

B.

C.3

D.

2.某班有14名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出【解析】选D.因为X～B，所以E(X)=，所以E(2X+1)=2E(X)+1=2×+1=.【解析】选D.因为X～B，所以E(X)=，3.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ=0)=，E(ξ)=1，则D(ξ)=_______.

【解析】设ξ=1时的概率为p，则E(ξ)=0×+1×p+2=1，解得p=.故D(ξ)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.答案：

3.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ=0)=，E题组二：走进教材1.(选修2-3P61·例3)已知随机变量ξ的分布列是：则D(ξ)= (

)A.0.6 B.0.8 C.1 D.1.2ξ123P0.40.20.4题组二：走进教材ξ123P0.40.20.4【解析】选B.E(ξ)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2，则D(ξ)=(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.2+(3-2)2×0.4=0.8.【解析】选B.E(ξ)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2.(选修2-3P62·A组T3)已知某离散型随机变量ξ的数学期望E(ξ)=，ξ的分布列如下，则a=_______.

ξ0123Pa

b2.(选修2-3P62·A组T3)已知某离散型随机变量ξ的数【解析】因为E(ξ)==0×a+1×+2×+3b，所以b=.因为P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1，所以a+++=1，所以a=.答案：

【解析】因为E(ξ)==0×a+1×+2×考点一均值与方差的计算【题组练透】1.已知某离散型随机变量X服从的分布列如表，则随机变量X的方差D(X)等于 (

)X01Pm2m考点一均值与方差的计算X01Pm2m【解析】选B.方法一：由m+2m=1得m=，所以E(X)=0×+1×=，D(X)=【解析】选B.方法一：由m+2m=1得m=，方法二：由m+2m=1得m=，根据两点分布的期望和方差公式可得E(X)=，D(X)=方法二：由m+2m=1得m=，2.有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是 (

)A.7.8 B.8 C.16 D.15.62.有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中任【解析】选A.X的取值为6，9，12，相应的概率P(X=6)=P(X=9)=P(X=12)=E(X)=6×+9×+12×=7.8.【解析】选A.X的取值为6，9，12，相应的概率3.已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b∈{-3，-2，-1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，若随机变量ξ=|a-b|，则D(ξ)= (

)A. B. C. D.

3.已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)的对称轴在y轴的左侧【解析】选A.对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有18条，ξ的可能取值为0，1，2.P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，则E(ξ)=，所以D(ξ)=【解析】选A.对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物4.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，这两个同学各猜1次，则他们的得分之和X的数学期望为 (

)A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.14.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张【解析】选A.由题意，X=0，1，2，则P(X=0)=0.6×0.5=0.3，P(X=1)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5，P(X=2)=0.4×0.5=0.2，所以E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9.【解析】选A.由题意，X=0，1，2，则P(X=0)=0.6

【规律方法】求均值与方差的方法技巧技巧方法适用题型巧用特殊分布列利用相应公式直接求解两点分布、二项分布巧借性质利用E(aX+b)=aE(X)+bD(aX+b)=a2D(X)两随机变量有明确的线性关系利用公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2计算复杂的方差【规律方法】求均值与方差的方法技巧技巧方法适用题型巧用特殊考点二二项分布的均值与方差【典例】(1)(2017·全国卷Ⅰ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)=_______.

考点二二项分布的均值与方差(2)(2018·湖北荆州中学模拟)为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”.其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；(2)(2018·湖北荆州中学模拟)为响应绿色出行，某市在推②行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分按0.20元/分计费.已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(分)是一个随机变量.现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：②行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(20，60]分.时间t/分(20，30](30，40](40，50](50，60]频数2182010将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车①写出王先生一次租车费用y(元)与用车时间t(分)的函数关系式；②若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列和期望；①写出王先生一次租车费用y(元)与用车时间t(分)的函数关系③若公司每月给1000元的车补，请估计王先生每月(按22天计算)的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由.(同一时段，用该区间的中点值作代表) 世纪金榜导学号③若公司每月给1000元的车补，请估计王先生每月(按22天【解析】(1)X～B(100，0.02)，所以D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.答案：1.96【解析】(1)X～B(100，0.02)，(2)①当20<t≤40时，y=0.12t+15，当40<t≤60时，y=0.12×40+0.20×(t-40)+15=0.2t+11.8，所以y=

(2)①当20<t≤40时，y=0.12t+15，②王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率P=ξ可取0，1，2，3.P(ξ=0)=

②王先生租用一次新能源分时租赁汽车，P(ξ=1)=

P(ξ=2)=

P(ξ=3)=

ξ的分布列为ξ0123P

P(ξ=1)=ξE(ξ)=0×+1×+2×+3×=1.2或依题意ξ～BE(ξ)=3×=1.2，③王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间t=25×+35×+45×+55×=42.6(分钟)，E(ξ)=0×+1×+2×+3×每次上下班租车的费用约为0.2×42.6+11.8=20.32(元)，一个月上下班租车费用约为20.32×22×2=894.08<1000.估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用.每次上下班租车的费用约为【规律方法】与二项分布有关的期望、方差的求法(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)=np，D(ξ)=np(1-p)求解，可大大减少计算量.【规律方法】(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b)，同样还可求出D(aξ+b).(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一【对点训练】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图.如图所示.

【对点训练】将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率.(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6，P(A2)=0.003×50=0.15，P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为P(X=0)=·(1-0.6)3=0.064，P(X=1)=·0.6(1-0.6)2=0.288，因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50P(X=2)=·0.62(1-0.6)=0.432，P(X=3)=·0.63=0.216.X的分布列为因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)=3×0.6=1.8，方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.X0123P0.0640.2880.4320.216P(X=2)=·0.62(1-0.6)=0.432，X考点三离散型随机变量均值、方差的求法及应用【明考点·知考法】在高考题中，离散型随机变量均值、方差是必考的考点，试题常以解答题形式出现，考查与互斥事件、相互独立事件概率的计算、离散型随机变量分布列、离散型随机变量的均值和方差的计算及其意义的实际应用.解题过程中常渗透分类与整合思想.考点三离散型随机变量均值、方差的求法及应用命题角度1求离散型随机变量均值、方差【典例】(2018·安徽八校联考)已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加某大型户外竞技类闯关活动，活动共有四关，设男生闯过命题角度1求离散型随机变量均值、方差第一至第四关的概率依次是女生闯过第一至第四关的概率依次是第一至第四关的概率依次是女生闯过第一至(1)求男生闯过四关的概率.(2)设X表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量X的分布列和期望. 世纪金榜导学号(1)求男生闯过四关的概率.【解析】(1)记男生四关都闯过为事件A，则P(A)=(2)记女生四关都闯过为事件B，则P(B)=由题意，知X的所有可能取值为0，1，2，3，4.【解析】(1)记男生四关都闯过为事件A，因为P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=因为P(X=0)=P(X=3)=P(X=4)=所以X的分布列为所以E(X)=X01234P

P(X=3)=X01234P【答题模板微课】本例的模板化过程：扫码听名师讲解建模板：【答题模板微课】【解析】(1)记男生四关都闯过为事件A，则P(A)=【解析】(1)记男生四关都闯过为事件A，(2)记女生四关都闯过为事件B，则P(B)=由题意，知X的所有可能取值为0，1，2，3，4.因为P(X=0)=P(X=1)=(2)记女生四关都闯过为事件B，P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)= ………求概率P(X=2)=所以X的分布列为………………求分布列所以E(X)=……………………求均值X01234P

所以X的分布列为X01234P套模板：(2018·益阳市、湘潭市高三调考)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.规定一名运动员出线记1分，未出线记0分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为他们出线与未出线是相互独立的.套模板：(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率.(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率.【解析】(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，则P(D)=1-P()=【解析】(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事(2)由题意可得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，则P(ξ=0)=P()=P(ξ=1)=P(A)+P()+P(C)(2)由题意可得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ξ=3)=P(ABC)= ………………求概率所以ξ的分布列为：ξ0123P

P(ξ=2)=P(AB)+P(AC)+P(………………求分布列E(ξ)=…………………求均值………………求分布列【状元笔记】均值与方差的一般计算步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能取的值.(2)求X取各个值的概率，写出分布列.(3)根据分布列，由均值的定义求出均值EX，进一步由公式DX=(xi-E(X))2pi求出DX.【状元笔记】命题角度2离散型随机变量均值、方差的实际应用【典例】(2018·芜湖模拟)某市疾控中心流感监测结果显示，自2017年11月起，该市流感活动一度出现上升趋势，尤其是12月以来，呈现快速增长态势，截至目前流感病毒活动度仍处于较高水平，为了预防感冒快速扩散，某校医务室采取积极方式，对感染者进行命题角度2离散型随机变量均值、方差的实际应用短暂隔离直到康复.假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定感染的同学，血液化验结果呈阳性即为感染，呈阴性即未被感染.下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定感染同学为止；方案乙：先任取3个同学，将他们的血液短暂隔离直到康复.假设某班级已知6位同学中有1位同混在一起化验，若结果呈阳性则表明感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定感染同学为止；若结果呈阴性则在另外3位同学中逐个检测.混在一起化验，若结果呈阳性则表明感染同学为这3位中的1位，后(1)求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率.(2)η表示依方案甲所需化验次数，ξ表示依方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验方案最佳. 世纪金榜导学号(1)求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率.【解析】(1)设Ai(i=1，2，3，4，5)表示依方案甲需化验为第i次，Bj(j=2，3)表示依方案乙需化验为第j次，P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=，P(A5)=，P(B2)=P(B3)=1-P(B2)=，【解析】(1)设Ai(i=1，2，3，4，5)表示依方案A表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数.P(A)=P(A2B2+A3B3)=P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=A表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数.(2)η的可能取值为1，2，3，4，5.ξ的可能取值为2，3.P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=，P(A5)=，Eη=1×+2×+3×+4×+5×=(次)，P(ξ=2)=P(B2)=，(2)η的可能取值为1，2，3，4，5.ξ的可能取值P(ξ=3)=P(B3)=，所以Eξ=2×+3×=(次)所以方案乙更佳.P(ξ=3)=P(B3)=，【状元笔记】(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度.【状元笔记】(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了【对点练·找规律】某投资公司在2017年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；【对点练·找规律】项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，也可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合适的项目，并说明理由.项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，【解析】若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为所以E(X1)=300×+(-150)×=200(万元).X1300-150P

【解析】若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为X2500-3000P

若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为X250所以E(X2)=500×+(-300)×+0×=200(万元).D(X1)=(300-200)2×+(-150-200)2×=35000，D(X2)=(500-200)2×+(-300-200)2×+(0-200)2×=140000.所以E(X2)=500×+(-300)×+0×所以E(X1)=E(X2)，D(X1)<D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.

所以E(X1)=E(X2)，D(X1)<D(X2)，数学能力系列31——离散型随机变量的均值与方差中体现的应用意识数学能力系列31——离散型随机变量的均值与方差中体现的应用意【能力诠释】应用意识指能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题.【能力诠释】应用意识指能综合应用所学数学知识、思想和方法解决解答离散型随机变量的均值与方差实际应用题时，要注意以下两点：(1)明确题意，找准变量之间的关系，注意所学概率模型(相互独立事件、二项分布等)的应用.(2)变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身具有相同的单位.解答离散型随机变量的均值与方差实际应用题时，要注意以下两点：【典例】(2018·湖南十校联考)为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在地处山区的A县推行光伏发电项目.在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表.以样本的频率作为概率.【典例】(2018·湖南十校联考)为响应国家“精准扶贫，产业(1)在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望.用电量(单位：度)(0，200](200，400](400，600](600，800](800，1000]户数51510155用电量(0，200](200，(400，(600，(800，(2)已知该县某山区自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？(2)已知该县某山区自然村有居民300户.若计划在该村2020届高中数学一轮复习人教A版离散型随机变量分布列PPT课件(98张)【解析】(1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A，则P(A)=.由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，X服从二项分布，即X～B故E(X)=10×=6.【解析】(1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，(2)设该县山区居民户年均用电量为E(Y)，由抽样可得E(Y)=100×+300×+500×+700×+900×=500(度).则该自然村年均用电量约150000度.(2)设该县山区居民户年均用电量为E(Y)，又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度，能为该村创造直接收益150000×0.8=120000(元).又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，【技法点拨】解离散型随机变量的均值和方差应用问题的方法(1)求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算.【技法点拨】(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单.(3)在实际问题中，若两个随机变量X1，X2，有E(X1)=E(X2)或E(X1)与E(X2)较为接近时，就需要用D(X1)与D(X2)来比较两个随机变量的稳定程度.(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用【即时训练】某商店举行三周年店庆活动，每位会员交会员费50元，可享受20元的消费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6的6只均匀小球的抽奖箱中，有放回地抽两次球，抽得的两球标号之和为12，【即时训练】则获一等奖价值为a元的礼品，标号之和为11或10，获二等奖价值100元的礼品，标号之和小于10不得奖.(1)求各会员获奖的概率.(2)设商店抽奖环节收益为ξ元，求ξ的分布列；假如商店打算不赔钱，a最多可设为多少元？则获一等奖价值为a元的礼品，标号之和为11或10，获二等奖价【解析】(1)抽两次得标号之和为12的概率为P(A)=

抽两次得标号之和为11或10的概率为P(B)=2×

所以各会员获奖的概率为P(C)=P(A)+P(B)=.

【解析】(1)抽两次得标号之和为12的概率为(2)随机变量ξ的所有可能取值为：30-a，-70，30，ξ的分布列为：ξ30-a-7030P

(2)随机变量ξ的所有可能取值为：30-a，-70，30，ξ由E(ξ)=(30-a)×+(-70)×+30×≥0，得a≤580元.所以a最多可设为580元.由E(ξ)=(30-a)×+(-70)×+30×2020届高中数学一轮复习人教A版离散型随机变量分布列PPT课件(98张)【知识梳理】1.离散型随机变量X的均值与方差已知离散型随机变量X的分布列为，则有X=kx1x2…xi…xnP(X=k)p1p2…pi…pn【知识梳理】X=kx1x2…xi…xnP(X=k)p1p2…(1)均值(数学期望)：计算公式：EX=_______________________.

作用：反映了离散型随机变量取值的_________.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn平均水平(1)均值(数学期望)：x1p1+x2p2+…+xipi+…

(2)方差：计算公式：DX=_____________.作用：刻画了随机变量X与其均值EX的_____________.(3)标准差：_____.平均偏离程度(2)方差：平均偏离程度2.几个特殊分布的期望与方差分布期望方差两点分布EX=pDX=p(1-p)二项分布EX=npDX=np(1-p)2.几个特殊分布的期望与方差分布期望方差两点分布EX=pDX【常用结论】均值与方差(1)均值EX=xipi.(2)方差DX=(xi-EX)2pi=EX2-E2X.【常用结论】(3)若X服从两点分布，则(DX)max=，此时p=.(4)若a，b为常数，X是随机变量，则E(aX+b)=aEX+b，D(aX+b)=a2DX.(3)若X服从两点分布，则(DX)max=，此时p=【基础自测】题组一：走出误区1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数学期望是算术平均数概念的推广，与概率无关. (

)【基础自测】(2)在投篮比赛中，投中1次得1分，不中得0分.如果某运动员投篮命中的概率为0.6，那么他投篮1次的得分X的均值为0.6. (

)(3)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事. (

)(2)在投篮比赛中，投中1次得1分，不中得0分.如果某运动员提示：(1)×.数学期望与概率有关.(2)√.X服从两点分布，均值为0.6.(3)×.均值反映平均水平，方差反映稳定性.提示：2.某班有14名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出5名学生，其中数学成绩优秀的学生数X～B则E(2X+1)= (

)A.

B.

C.3

D.

2.某班有14名学生数学成绩优秀，若从该班随机找出【解析】选D.因为X～B，所以E(X)=，所以E(2X+1)=2E(X)+1=2×+1=.【解析】选D.因为X～B，所以E(X)=，3.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ=0)=，E(ξ)=1，则D(ξ)=_______.

【解析】设ξ=1时的概率为p，则E(ξ)=0×+1×p+2=1，解得p=.故D(ξ)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=.答案：

3.随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ=0)=，E题组二：走进教材1.(选修2-3P61·例3)已知随机变量ξ的分布列是：则D(ξ)= (

)A.0.6 B.0.8 C.1 D.1.2ξ123P0.40.20.4题组二：走进教材ξ123P0.40.20.4【解析】选B.E(ξ)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2，则D(ξ)=(1-2)2×0.4+(2-2)2×0.2+(3-2)2×0.4=0.8.【解析】选B.E(ξ)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2.(选修2-3P62·A组T3)已知某离散型随机变量ξ的数学期望E(ξ)=，ξ的分布列如下，则a=_______.

ξ0123Pa

b2.(选修2-3P62·A组T3)已知某离散型随机变量ξ的数【解析】因为E(ξ)==0×a+1×+2×+3b，所以b=.因为P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1，所以a+++=1，所以a=.答案：

【解析】因为E(ξ)==0×a+1×+2×考点一均值与方差的计算【题组练透】1.已知某离散型随机变量X服从的分布列如表，则随机变量X的方差D(X)等于 (

)X01Pm2m考点一均值与方差的计算X01Pm2m【解析】选B.方法一：由m+2m=1得m=，所以E(X)=0×+1×=，D(X)=【解析】选B.方法一：由m+2m=1得m=，方法二：由m+2m=1得m=，根据两点分布的期望和方差公式可得E(X)=，D(X)=方法二：由m+2m=1得m=，2.有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是 (

)A.7.8 B.8 C.16 D.15.62.有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中任【解析】选A.X的取值为6，9，12，相应的概率P(X=6)=P(X=9)=P(X=12)=E(X)=6×+9×+12×=7.8.【解析】选A.X的取值为6，9，12，相应的概率3.已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b∈{-3，-2，-1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，若随机变量ξ=|a-b|，则D(ξ)= (

)A. B. C. D.

3.已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)的对称轴在y轴的左侧【解析】选A.对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有18条，ξ的可能取值为0，1，2.P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，则E(ξ)=，所以D(ξ)=【解析】选A.对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物4.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，这两个同学各猜1次，则他们的得分之和X的数学期望为 (

)A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.14.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张【解析】选A.由题意，X=0，1，2，则P(X=0)=0.6×0.5=0.3，P(X=1)=0.4×0.5+0.6×0.5=0.5，P(X=2)=0.4×0.5=0.2，所以E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9.【解析】选A.由题意，X=0，1，2，则P(X=0)=0.6

【规律方法】求均值与方差的方法技巧技巧方法适用题型巧用特殊分布列利用相应公式直接求解两点分布、二项分布巧借性质利用E(aX+b)=aE(X)+bD(aX+b)=a2D(X)两随机变量有明确的线性关系利用公式D(X)=E(X2)-[E(X)]2计算复杂的方差【规律方法】求均值与方差的方法技巧技巧方法适用题型巧用特殊考点二二项分布的均值与方差【典例】(1)(2017·全国卷Ⅰ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)=_______.

考点二二项分布的均值与方差(2)(2018·湖北荆州中学模拟)为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”.其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；(2)(2018·湖北荆州中学模拟)为响应绿色出行，某市在推②行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时，超出部分按0.20元/分计费.已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(分)是一个随机变量.现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：②行驶时间不超过40分时，按0.12元/分计费；超过40分时将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(20，60]分.时间t/分(20，30](30，40](40，50](50，60]频数2182010将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车①写出王先生一次租车费用y(元)与用车时间t(分)的函数关系式；②若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列和期望；①写出王先生一次租车费用y(元)与用车时间t(分)的函数关系③若公司每月给1000元的车补，请估计王先生每月(按22天计算)的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由.(同一时段，用该区间的中点值作代表) 世纪金榜导学号③若公司每月给1000元的车补，请估计王先生每月(按22天【解析】(1)X～B(100，0.02)，所以D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.答案：1.96【解析】(1)X～B(100，0.02)，(2)①当20<t≤40时，y=0.12t+15，当40<t≤60时，y=0.12×40+0.20×(t-40)+15=0.2t+11.8，所以y=

(2)①当20<t≤40时，y=0.12t+15，②王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率P=ξ可取0，1，2，3.P(ξ=0)=

②王先生租用一次新能源分时租赁汽车，P(ξ=1)=

P(ξ=2)=

P(ξ=3)=

ξ的分布列为ξ0123P

P(ξ=1)=ξE(ξ)=0×+1×+2×+3×=1.2或依题意ξ～BE(ξ)=3×=1.2，③王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间t=25×+35×+45×+55×=42.6(分钟)，E(ξ)=0×+1×+2×+3×每次上下班租车的费用约为0.2×42.6+11.8=20.32(元)，一个月上下班租车费用约为20.32×22×2=894.08<1000.估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用.每次上下班租车的费用约为【规律方法】与二项分布有关的期望、方差的求法(1)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)=np，D(ξ)=np(1-p)求解，可大大减少计算量.【规律方法】(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b)，同样还可求出D(aξ+b).(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一【对点训练】一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图.如图所示.

【对点训练】将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率.(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，【解析】(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6，P(A2)=0.003×50=0.15，P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为P(X=0)=·(1-0.6)3=0.064，P(X=1)=·0.6(1-0.6)2=0.288，因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50P(X=2)=·0.62(1-0.6)=0.432，P(X=3)=·0.63=0.216.X的分布列为因为X～B(3，0.6)，所以期望E(X)=3×0.6=1.8，方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.X0123P0.0640.2880.4320.216P(X=2)=·0.62(1-0.6)=0.432，X考点三离散型随机变量均值、方差的求法及应用【明考点·知考法】在高考题中，离散型随机变量均值、方差是必考的考点，试题常以解答题形式出现，考查与互斥事件、相互独立事件概率的计算、离散型随机变量分布列、离散型随机变量的均值和方差的计算及其意义的实际应用.解题过程中常渗透分类与整合思想.考点三离散型随机变量均值、方差的求法及应用命题角度1求离散型随机变量均值、方差【典例】(2018·安徽八校联考)已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加某大型户外竞技类闯关活动，活动共有四关，设男生闯过命题角度1求离散型随机变量均值、方差第一至第四关的概率依次是女生闯过第一至第四关的概率依次是第一至第四关的概率依次是女生闯过第一至(1)求男生闯过四关的概率.(2)设X表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量X的分布列和期望. 世纪金榜导学号(1)求男生闯过四关的概率.【解析】(1)记男生四关都闯过为事件A，则P(A)=(2)记女生四关都闯过为事件B，则P(B)=由题意，知X的所有可能取值为0，1，2，3，4.【解析】(1)记男生四关都闯过为事件A，因为P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=因为P(X=0)=P(X=3)=P(X=4)=所以X的分布列为所以E(X)=X01234P

P(X=3)=X01234P【答题模板微课】本例的模板化过程：扫码听名师讲解建模板：【答题模板微课】【解析】(1)记男生四关都闯过为事件A，则P(A)=【解析】(1)记男生四关都闯过为事件A，(2)记女生四关都闯过为事件B，则P(B)=由题意，知X的所有可能取值为0，1，2，3，4.因为P(X=0)=P(X=1)=(2)记女生四关都闯过为事件B，P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)= ………求概率P(X=2)=所以X的分布列为………………求分布列所以E(X)=……………………求均值X01234P

所以X的分布列为X01234P套模板：(2018·益阳市、湘潭市高三调考)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.规定一名运动员出线记1分，未出线记0分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为他们出线与未出线是相互独立的.套模板：(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率.(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率.【解析】(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D，则P(D)=1-P()=【解析】(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事(2)由题意可得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，则P(ξ=0)=P()=P(ξ=1)=P(A)+P()+P(C)(2)由题意可得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ξ=3)=P(ABC)= ………………求概率所以ξ的分布列为：ξ0123P

P(ξ=2)=P(AB)+P(AC)+P(………………求分布列E(ξ)=…………………求均值………………求分布列【状元笔记】均值与方差的一般计算步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能取的值.(2)求X取各个值的概率，写出分布列.(3)根据分布列，由均值的定义求出均值EX，进一步由公式DX=(xi-E(X))2pi求出DX.【状元笔记】命题角度2离散型随机变量均值、方差的实际应用【典例】(2018·芜湖模拟)某市疾控中心流感监测结果显示，自2017年11月起，该市流感活动一度出现上升趋势，尤其是12月以来，呈现快速增长态势，截至目前流感病毒活动度仍处于较高水平，为了预防感冒快速扩散，某校医务室采取积极方式，对感染者进行命题角度2离散型随机变量均值、方差的实际应用短暂隔离直到康复.假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定感染的同学，血液化验结果呈阳性即为感染，呈阴性即未被感染.下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定感染同学为止；方案乙：先任取3个同学，将他们的血液短暂隔离直到康复.假设某班级已知6位同学中有1位同混在一起化验，若结果呈阳性则表明感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定感染同学为止；若结果呈阴性则在另外3位同学中逐个检测.混在一起化验，若结果呈阳性则表明感染同学为这3位中的1位，后(1)求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率.(2)η表示依方案甲所需化验次数，ξ表示依方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验方案最佳. 世纪金榜导学号(1)求依方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率.【解析】(1)设Ai(i=1，2，3，4，5)表示依方案甲需化验为第i次，Bj(j=2，3)表示依方案乙需化验为第j次，P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=，P(A5)=，P(B2)=P(B3)=1-P(B2)=，【解析】(1)设Ai(i=1，2，3，4，5)表示依方案A表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数.P(A)=P(A2B2+A3B3)=P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=A表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数.(2)η的可能取值为1，2，3，4，5.ξ的可能取值为2，3.P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=，P(A5)=，Eη=1×+2×+3×+4×+5×=(次)，P(ξ=2)=P(B2)=，(2)η的可能取值为1，2，3，4，5.ξ的可能取值P(ξ=3)=P(B3)=，所以Eξ=2×+3×=(次)所以方案乙更佳.P(ξ=3)=P(B3)=，【状元笔记】(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度.【状元笔记】(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了【对点练·找规律】某投资公司在2017年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；【对点练·找规律】项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，也可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合适的项目，并说明理由.项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，【解析】若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为所以E(X1)=300×+(-150)×=200(万元).X1300-150P

【解析】若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为X2500-3000P

若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为X250所以E(X2)=500×+(-300)×+0×=200(万元).D(X1)=(300-2