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文档简介
2023学年高考数学模拟测试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在边长为2的菱形中,,将菱形沿对角线对折,使二面角的余弦值为,则所得三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.2.已知为定义在上的奇函数,若当时,(为实数),则关于的不等式的解集是()A. B. C. D.3.如图,在中,,是上的一点,若,则实数的值为()A. B. C. D.4.已知双曲线的右焦点为,若双曲线的一条渐近线的倾斜角为,且点到该渐近线的距离为,则双曲线的实轴的长为A. B.C. D.5.已知等比数列的前项和为,且满足,则的值是()A. B. C. D.6.是虚数单位,则()A.1 B.2 C. D.7.已知命题:是“直线和直线互相垂直”的充要条件;命题:函数的最小值为4.给出下列命题:①;②;③;④,其中真命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.48.已知,若方程有唯一解,则实数的取值范围是()A. B.C. D.9.已知向量,,=(1,),且在方向上的投影为,则等于()A.2 B.1 C. D.010.已知函数的图像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图像上,则实数的取值范围是()A. B. C. D.11.下列几何体的三视图中,恰好有两个视图相同的几何体是()A.正方体 B.球体C.圆锥 D.长宽高互不相等的长方体12.已知集合,集合,则等于()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,对于任意都有,则的值为______________.14.若,则=____,=___.15.“学习强国”学习平台是由中宣部主管,以深入学习宣传新时代中国特色社会主义思想为主要内容,立足全体党员、面向全社会的优质平台,现已日益成为老百姓了解国家动态,紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中,将六大板块依次各完成一次,则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种.16.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则的最小值为.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的中心为坐标原点焦点在轴上,右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若是椭圆上关于轴对称的任意两点,设,连接交椭圆于另一点.求证:直线过定点并求出点的坐标;(3)在(2)的条件下,过点的直线交椭圆于两点,求的取值范围.18.(12分)我国在2018年社保又出新的好消息,之前流动就业人员跨地区就业后,社保转移接续的手续往往比较繁琐,费时费力.社保改革后将简化手续,深得流动就业人员的赞誉.某市社保局从2018年办理社保的人员中抽取300人,得到其办理手续所需时间(天)与人数的频数分布表:时间人数156090754515(1)若300名办理社保的人员中流动人员210人,非流动人员90人,若办理时间超过4天的人员里非流动人员有60人,请完成办理社保手续所需时间与是否流动人员的列联表,并判断是否有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.列联表如下流动人员非流动人员总计办理社保手续所需时间不超过4天办理社保手续所需时间超过4天60总计21090300(2)为了改进工作作风,提高效率,从抽取的300人中办理时间为流动人员中利用分层抽样,抽取12名流动人员召开座谈会,其中3人要求交书面材料,3人中办理的时间为的人数为,求出分布列及期望值.附:0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87919.(12分)在综合素质评价的某个维度的测评中,依据评分细则,学生之间相互打分,最终将所有的数据合成一个分数,满分100分,按照大于或等于80分的为优秀,小于80分的为合格,为了解学生的在该维度的测评结果,在毕业班中随机抽出一个班的数据.该班共有60名学生,得到如下的列联表:优秀合格总计男生6女生18合计60已知在该班随机抽取1人测评结果为优秀的概率为.(1)完成上面的列联表;(2)能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与测评结果有关系?(3)现在如果想了解全校学生在该维度的表现情况,采取简单随机抽样方式在全校学生中抽取少数一部分来分析,请你选择一个合适的抽样方法,并解释理由.附:0.250.100.0251.3232.7065.02420.(12分)自湖北武汉爆发新型冠状病毒惑染的肺炎疫情以来,武汉医护人员和医疗、生活物资严重缺乏,全国各地纷纷驰援.截至1月30日12时,湖北省累计接收捐赠物资615.43万件,包括医用防护服2.6万套N95口軍47.9万个,医用一次性口罩172.87万个,护目镜3.93万个等.中某运输队接到给武汉运送物资的任务,该运输队有8辆载重为6t的A型卡车,6辆载重为10t的B型卡车,10名驾驶员,要求此运输队每天至少运送720t物资.已知每辆卡车每天往返的次数:A型卡车16次,B型卡车12次;每辆卡车每天往返的成本:A型卡车240元,B型卡车378元.求每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆,运输队所花的成本最低?21.(12分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系;曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=1,曲线C2的参数方程为(θ为参数).(Ⅰ)求曲线C1和C2的极坐标方程:(Ⅱ)设射线θ=(ρ>0)分别与曲线C1和C2相交于A,B两点,求|AB|的值.22.(10分)已知函数,.(1)当时,①求函数在点处的切线方程;②比较与的大小;(2)当时,若对时,,且有唯一零点,证明:.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【答案解析】
取AC中点N,由题意得即为二面角的平面角,过点B作于O,易得点O为的中心,则三棱锥的外接球球心在直线BO上,设球心为,半径为,列出方程即可得解.【题目详解】如图,由题意易知与均为正三角形,取AC中点N,连接BN,DN,则,,即为二面角的平面角,过点B作于O,则平面ACD,由,可得,,,即点O为的中心,三棱锥的外接球球心在直线BO上,设球心为,半径为,,,解得,三棱锥的外接球的表面积为.故选:D.【答案点睛】本题考查了立体图形外接球表面积的求解,考查了空间想象能力,属于中档题.2、A【答案解析】
先根据奇函数求出m的值,然后结合单调性求解不等式.【题目详解】据题意,得,得,所以当时,.分析知,函数在上为增函数.又,所以.又,所以,所以,故选A.【答案点睛】本题主要考查函数的性质应用,侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.3、B【答案解析】
变形为,由得,转化在中,利用三点共线可得.【题目详解】解:依题:,又三点共线,,解得.故选:.【答案点睛】本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数.思路是(1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.(2)直线的向量式参数方程:三点共线⇔(为平面内任一点,)4、B【答案解析】
双曲线的渐近线方程为,由题可知.设点,则点到直线的距离为,解得,所以,解得,所以双曲线的实轴的长为,故选B.5、C【答案解析】
利用先求出,然后计算出结果.【题目详解】根据题意,当时,,,故当时,,数列是等比数列,则,故,解得,故选.【答案点睛】本题主要考查了等比数列前项和的表达形式,只要求出数列中的项即可得到结果,较为基础.6、C【答案解析】
由复数除法的运算法则求出,再由模长公式,即可求解.【题目详解】由.故选:C.【答案点睛】本题考查复数的除法和模,属于基础题.7、A【答案解析】
先由两直线垂直的条件判断出命题p的真假,由基本不等式判断命题q的真假,从而得出p,q的非命题的真假,继而判断复合命题的真假,可得出选项.【题目详解】已知对于命题,由得,所以命题为假命题;关于命题,函数,当时,,当即时,取等号,当时,函数没有最小值,所以命题为假命题.所以和是真命题,所以为假命题,为假命题,为假命题,为真命题,所以真命题的个数为1个.故选:A.【答案点睛】本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用,以及复合命题的真假的判断,注意运用基本不等式时,满足所需的条件,属于基础题.8、B【答案解析】
求出的表达式,画出函数图象,结合图象以及二次方程实根的分布,求出的范围即可.【题目详解】解:令,则,则,故,如图示:由,得,函数恒过,,由,,可得,,,若方程有唯一解,则或,即或;当即图象相切时,根据,,解得舍去),则的范围是,故选:.【答案点睛】本题考查函数的零点问题,考查函数方程的转化思想和数形结合思想,属于中档题.9、B【答案解析】
先求出,再利用投影公式求解即可.【题目详解】解:由已知得,由在方向上的投影为,得,则.故答案为:B.【答案点睛】本题考查向量的几何意义,考查投影公式的应用,是基础题.10、A【答案解析】
可将问题转化,求直线关于直线的对称直线,再分别讨论两函数的增减性,结合函数图像,分析临界点,进一步确定的取值范围即可【题目详解】可求得直线关于直线的对称直线为,当时,,,当时,,则当时,,单减,当时,,单增;当时,,,当,,当时,单减,当时,单增;根据题意画出函数大致图像,如图:当与()相切时,得,解得;当与()相切时,满足,解得,结合图像可知,即,故选:A【答案点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题,导数研究函数增减性,找准临界是解题的关键,属于中档题11、C【答案解析】
根据基本几何体的三视图确定.【题目详解】正方体的三个三视图都是相等的正方形,球的三个三视图都是相等的圆,圆锥的三个三视图有一个是圆,另外两个是全等的等腰三角形,长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形.故选:C.【答案点睛】本题考查基本几何体的三视图,掌握基本几何体的三视图是解题关键.12、B【答案解析】
求出中不等式的解集确定出集合,之后求得.【题目详解】由,所以,故选:B.【答案点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题,涉及到的知识点有一元二次不等式的解法,集合的运算,属于基础题目.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【答案解析】
由条件得到函数的对称性,从而得到结果【题目详解】∵f=f,∴x=是函数f(x)=2sin(ωx+φ)的一条对称轴.∴f=±2.【答案点睛】本题考查了正弦型三角函数的对称性,注意对称轴必过最高点或最低点,属于基础题.14、12821【答案解析】
令,求得的值.利用展开式的通项公式,求得的值.【题目详解】令,得.展开式的通项公式为,当时,为,即.【答案点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式,考查赋值法求解二项式系数有关问题,属于基础题.15、【答案解析】
先分间隔一个与不间隔分类计数,再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果.【题目详解】若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻,则学习方法有种;若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有种;因此共有种.故答案为:【答案点睛】本题考查排列组合实际问题,考查基本分析求解能力,属基础题.16、.【答案解析】.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)证明详见解析,;(3).【答案解析】
(1)根据题意列出关于的等式求解即可.(2)先根据对称性,直线过的定点一定在轴上,再设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,进而求得的方程,并代入,化简分析即可.(3)先分析过点的直线斜率不存在时的值,再分析存在时,设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入求解出关于的解析式,再求解范围即可.【题目详解】解:设椭圆的标准方程焦距为,由题意得,由,可得则,所以椭圆的标准方程为;证明:根据对称性,直线过的定点一定在轴上,由题意可知直线的斜率存在,设直线的方程为,联立,消去得到,设点,则.所以,所以的方程为,令得,将,代入上式并整理,,整理得,所以,直线与轴相交于定点.当过点的直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时,当过点的直线斜率存在时,设直线的方程为,且在椭圆上,联立方程组,消去,整理得,则.所以所以,所以,由得,综上可得,的取值范围是.【答案点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及定值和范围的问题,需要分析直线的斜率是否存在的情况,再联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理以及所求的解析式,结合参数的范围进行求解.属于难题.18、(1)列联表见解析,有;(2)分布列见解析,.【答案解析】
(1)根据题意,结合已知数据即可填写列联表,计算出的观测值,即可进行判断;(2)先计算出时间在和选取的人数,再求出的可取值,根据古典概型的概率计算公式求得分布列,结合分布列即可求得数学期望.【题目详解】(1)因为样本数据中有流动人员210人,非流动人员90人,所以办理社保手续所需时间与是否流动人员列联表如下:办理社保手续所需时间与是否流动人员列联表流动人员非流动人员总计办理社保手续所需时间不超过4天453075办理社保手续所需时间超过4天16560225总计21090300结合列联表可算得.有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.(2)根据分层抽样可知时间在可选9人,时间在可以选3名,故,则,,,,可知分布列为0123可知.【答案点睛】本题考查独立性检验中的计算,以及离散型随机变量的分布列以及数学期望,涉及分层抽样,属综合性中档题.19、(1)见解析;(2)在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测评结果有关系”(3)见解析.【答案解析】
(1)由已知抽取的人中优秀人数为20,这样结合已知可得列联表;(2)根据列联表计算,比较后可得;(3)由于性别对结果有影响,因此用分层抽样法.【题目详解】解:(1)优秀合格总计男生62228女生141832合计204060(2)由于,因此在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“性别与测评结果有关系”.(3)由(2)可知性别有可能对是否优秀有影响,所以采用分层抽样按男女生比例抽取一定的学生,这样得到的结果对学生在该维度的总体表现情况会比较符合实际情况.【答案点睛】本题考查独立性检验,考查分层抽样的性质.考查学生的数据处理能力.属于中档题.20、每天派出A型卡车辆,派出B型卡车辆,运输队所花成本最低【答案解析】
设每天派出A型卡车辆,则派出B型卡车辆,由题意列出约束条件,作出可行域,求出使目标函数取最小值的整数解,即可得解.【题目详解】设每天派出A型卡车辆,则派出B型卡车辆,运输队所花成本为元,由题意可知,,整理得,目标函数,如图所示,为不等式组表示的可行域,由图可知,当直线经过点时,最小,解方程组,解得,,然而,故点不是最优解.因此在可行域的整点中,点使得取最小值,即,故每天派出A型卡车辆,派出B型卡车辆,运输队所花成本最低.【答案点睛】本题考查了线性规划问题中的最优整数解问题,考查了数形结合
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