小学数学解题方法：和倍问题差倍问题

和倍问题差倍问题和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。解答和倍应用题的最好助手是，采用画线段图的方法来表示两种量间的数量关系，以便找到解题的途径；理解和倍问题中各个量之间的关系。和倍问题 和土（倍数-1）=小数 小数乂倍数=大数差倍问题 差+（倍数-1）=小数 小数'倍数=大数一、和倍问题例题例1： 甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？集体讨论：甲班和己班各占多少分，你能不能画出倍数图线？分析与解答：设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：乙班〕?本位3倍 口本甲班（ ，.. •， 1T本解：乙班：160・（3+1）=40（本）甲班：40X3=120（本）或160-40=120（本）答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。这道应用题解答完了，怎样验算呢？可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160本；再把甲班的本数除以乙班本数，看是不是等于3倍.如果与条件相符，表明这题作对了.注意验算决不是把原式再算一遍。验算：120+40=160（本）120+40=3（倍）。例2：汽车运输场有大小货车115辆，大货车比小货车的5倍多7辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？分析：大货车比小货车的5倍还多7辆，这7辆也在总数115辆内，为了使总数与（5+1）倍对应，总车辆数应（115-7）辆。列式为（115-7）+（5+1）=18（辆）18X5+7=97（辆）例3：甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？集体讨论：你能画出图线来表示题中甲班和己班的倍数的关系吗？工班1二p题本 甲班（ ：_ 、120本分析与解答：解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图）。解：①甲、乙两班共有图书的本数是：30+120=150（本）②甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：2+1=3（倍）③乙班现有的图书本数是：150+3=50（本）④甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本）综合算式：（30+120）+（2+1）=50（本）50-30=20（本）答：甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。验算：（120-20）+（30+20）=2（倍）（120-20）+（30+20）=150 （本）。例4：光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？分析与解答：把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。1男生解：①女生人数：（760+40）+（3+1）=200（人）②男生人数：200X3-40=560（人）或760-200=560（人）答：男生有560人，女生有200人。验算：560+200=760（人）（560+40）+200=3（倍）。例5： 果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？分析与解答：下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍。梨树I 12倍 、桃树♦ ；匕W52棵萃果树I j 因棵/如棵解：①梨树的棵数：(552+20-12)+(1+1+2)=560+4=140(棵)②桃树的棵数：140X2+12=292(棵)③苹果树的棵数：140-20=120(棵)答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。例6： 549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2,乙数减少2,丙数乘以2,丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多少？分析与解答：上图可以看出，丙数最小.由于丙数乘以2和丁数除以2相等，也就是丙数的2倍和丁数的一半相等，即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根据这些倍数关系，可以先求出丙数，再分别求出其他各数。解：①丙数是：(549+2-2)+(2+2+1+4)=549+9=61②甲数是：61X2-2=120③乙数是：61X2+2=124④丁数是：61X4=244验算：120+124+61+244=549120+2=122124-2=12261X2=122244+2=122答：甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.例7：甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？解析：(2600+1200)+(1+4)=760…变甲(2600-760)+23=80分钟例8.花园里的菊花、月季花、杜鹃花共1200棵，其中月季花是菊花的2倍，杜鹃花是菊花的3倍，求三种花各多少棵?分析：看图：菊花—2倍月季花（ ^ >1200棵3倍杜鹃花（「2।勺j我们把菊花看作1份，总棵数是菊花的（2+3+1）份，所以菊花的棵数是1200+（2+3+1）=200棵，月季花的棵数是200x2=400棵，杜鹃花的棵数是200x3=600棵。解：1200+（2+3+1）=200（棵）200x2=400（棵）200x3=600（棵）例9学校购买840本图书，分给高、中、低三个年级，高年级分得的是低年级的3倍多5本，中年级分得的是低年级的2倍多1本，问：高、中、低三个年级各分到多少本图书？(840-5-1)+(1+3+2)=139……低139x3+5=422 高139x2+1=269 中二、和倍问题训练1、典型基础题（1）、甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？（例1）（2）、汽车运输场有大小货车115辆，大货车比小货车的5倍多7辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？（例2）（3）、甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？（例3）（4）、光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人?（例4）（5）、果园里一共种340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？2、提高练习（1）、甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？（例7）3、奥数练习（1）、果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？（例5）（2）、549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2,丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多少？（例6）（3）、花园里的菊花、月季花、杜鹃花共1200棵，其中月季花是菊花的2倍，杜鹃花是菊花的3倍，求三种花各多少棵？（例8）（4）、学校购买840本图书，分给高、中、低三个年级，高年级分得的是低年级的3倍多5本，中年级分得的是低年级的2倍多1本，问：高、中、低三个年级各分到多少本图书？（例9）三、差倍问题例题例1、光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍，比踢踺子的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？解析：36+(3—1)=18人； 18X3=54人。例2、已知两个数相除的商为4,相减的差是39,者两个数分别为多少？解析：39+(4-1)=13…除数 13+39=52…被除数例3、仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。仓库有大米和面粉各多少千克？解析： (3900—100)+(2—1)=3800千克…大米3800+3900=7700千克…面粉例4、甲乙两根绳子，甲绳长63米，乙绳长29米，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳长的3倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？各减去多少米？分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的3倍，实比乙绳多(3-1)倍，以乙绳的长度为标准数。列式(63-29)+(3-1)=17(米)…乙绳剩下的长度，17X3=51(米)…甲绳剩下的长度，29-17=12(米)…剪去的长度。例5、有两个自然数相除，商是17,余数是13,已知被除数、除数、商与余数之和等于2113,则被除数是多少？(2003奥数初赛A卷)解析：(2113-17-13-13)+(17+1)=115 115X17+13==1968例6、甲仓库存粮104吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库是乙仓库的3倍，那么必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库？(长春南关区86年6年级数学竞赛)解析：(104+140)+(3+1)=61…变乙140-61=79例7、甲、乙两桶油重量相等，甲桶取走16千克油，乙桶加入14千克油后，乙桶油的重量是甲桶油的重量的4倍，甲桶原来有油多少千克？（南京2届兴趣杯邀请赛预赛A卷）解析：（14+16）・（4-1）=10千克16+10=26千克例8、有大、小两个水池，大水池里已有水300立方米，小水池里已有水70立方米，现在往两个水池里注同样多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍，问每个水池注入了多少立方米的水。解析： （300-70）+（3-1）=115立方米要注入的量：115-70=45立方米四、差倍问题训练差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。解题规律：两个数的差♦（倍数一1）=标准数标准数又倍数=另一个数。1、典型基础题（1）、光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍，比踢踺子的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？（例1）（2）、已知两个数相除的商为4,相减的差是39,者两个数分别为多少？（例2）（3）、仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。仓库有大米和面粉各多少千克？（例3）2、提高练习（1）、甲乙两根绳子，甲绳长63米，乙绳长29米，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳长的3倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？各减去多少米？（例4）（2）、有大、小两个水池，大水池里已有水300立方米，小水池里已有水70立方米，现在往两个水池里注同样多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍，问每个