3.3能量量子化、声子

第三节能量量子化、声子3.3.1能量量子化本节主要内容:3.3.2声子第三节能量量子化、声子3.3.1能量量子化本节主要内晶格振动格波简谐近似独立的振动模式由B--K边界条件q分立值声子晶格振动能量量子化晶格振动格波简谐近似独立的振动模式由B--Kq分立值声子晶格3.3.1能量量子化xn一维单原子链的情况由玻恩-卡门周期性边界条件：q可以取N个值。§3.3能量量子化声子3.3.1能量量子化xn一维单原子链的情况由玻恩-卡门周根据经典力学，系统的总能量为势能U和动能T之和。则：令拉格朗日函数：推导略根据经典力学，系统的总能量为势能U和动能T之和。则：令拉格朗Xn(t)是实数，(1)证明：Xn(t)是实数，(1)证明：(2)证明：若均为整数。(2)证明：若均为整数。333广义动量：哈密顿函数：又：谐振子的振动方程广义动量：哈密顿函数：又：谐振子的振动方程据量子力学，频率为i的谐振子的振动能：由N个原子组成的一维单原子链的振动等价于N个谐振子的振动，谐振子的振动频率就是晶格振动频率。晶格振动能量：三维晶格振动的总能量为：其中N为晶体中的原胞个数,n为每个原胞中的原子个数。据量子力学，频率为i的谐振子的振动能：由N个原子组格波(晶格振动)的能量量子------声子。晶格振动的能量是量子化的，能量单位为。3.3.2声子声子不是真实的粒子，称为“准粒子”，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。声子只存在于晶体中，脱离晶体后就没有意义了。1.声子是晶格振动的能量量子，其能量为，“准动量”为。2.一个格波(一种振动模式)，称为一种声子(一个，q就是一种声子)，当这种振动模式处于本征态时，称为有ni个声子，ni为这种声子的声子数。格波(晶格振动)的能量量子------声子。晶格振动的能量是3.由于晶体中可以激发任意个相同的声子，所以声子是玻色型的准粒子，遵循玻色统计。4.当电子(或光子)与晶格振动相互作用时，交换能量以为单位，若电子从晶格获得能量，称为吸收一个声子，若电子给晶格能量，称为发射一个声子。在简谐近似下，声子是理想的玻色气体，声子间无相互作用。而非简谐作用可以引入声子间的相互碰撞，正是这种非简谐作用保证了声子气体能够达到热平衡状态。3.由于晶体中可以激发任意个相同的声子，所以思考题2：温度一定，一个光学波的声子数目多，还是声学波的声子数目多？对同一个振动模式，温度高时的声子数目多，还是温度低时的声子数目多思考题1：什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？思考题3：在绝对0度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗思考题2：温度一定，一个光学波的声子数目多，还是声学波的声子思考题1：什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？解答：为使问题简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互相作用力的泰勒级数中的非线性项忽略掉的近似为简谐近似。在简谐近似下，由N个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N个独立的谐振子的振动。每个谐振子的振动模式成为简正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动形式。原子的振动，或者说格波的振动通常是这3N个简正振动模式的线性叠加。简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶格中所有原子的自由度之和，级等于3N。思考题1：什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振思考题2：温度一定，一个光学波的声子数目多，还是声学波的声子数目多？解答：频率为ω的格波的平均声子数为因为光学波的频率ωO比声学波频率ωA高，大于因此在温度一定的情况下，一个光学波的声子数目少于一个光学波的声子数目。思考题2：温度一定，一个光学波的声子数目多，还是声学波的声子思考题2：对同一个振动模式，温度高时的声子数目多，还是温度低时的声子数目多解答：设温度TH>TL，由于小于所以对同一个振动模式，温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目。思考题2：对同一个振动模式，温度高时的声子数目多，还是温度低思考题3：在绝对0度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗解答：频率为ωi的格波的振动能为其中是由个声子携带的热振动能，是零点振动能，声子数绝对零度时，频率为ωi的格波的振动能只剩下零点振动能。格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的。绝对零度时，声子消失，格波间不再交换能量。思考题3：在绝对0度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量第三节能量量子化、声子3.3.1能量量子化本节主要内容:3.3.2声子第三节能量量子化、声子3.3.1能量量子化本节主要内晶格振动格波简谐近似独立的振动模式由B--K边界条件q分立值声子晶格振动能量量子化晶格振动格波简谐近似独立的振动模式由B--Kq分立值声子晶格3.3.1能量量子化xn一维单原子链的情况由玻恩-卡门周期性边界条件：q可以取N个值。§3.3能量量子化声子3.3.1能量量子化xn一维单原子链的情况由玻恩-卡门周根据经典力学，系统的总能量为势能U和动能T之和。则：令拉格朗日函数：推导略根据经典力学，系统的总能量为势能U和动能T之和。则：令拉格朗Xn(t)是实数，(1)证明：Xn(t)是实数，(1)证明：(2)证明：若均为整数。(2)证明：若均为整数。333广义动量：哈密顿函数：又：谐振子的振动方程广义动量：哈密顿函数：又：谐振子的振动方程据量子力学，频率为i的谐振子的振动能：由N个原子组成的一维单原子链的振动等价于N个谐振子的振动，谐振子的振动频率就是晶格振动频率。晶格振动能量：三维晶格振动的总能量为：其中N为晶体中的原胞个数,n为每个原胞中的原子个数。据量子力学，频率为i的谐振子的振动能：由N个原子组格波(晶格振动)的能量量子------声子。晶格振动的能量是量子化的，能量单位为。3.3.2声子声子不是真实的粒子，称为“准粒子”，它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。声子只存在于晶体中，脱离晶体后就没有意义了。1.声子是晶格振动的能量量子，其能量为，“准动量”为。2.一个格波(一种振动模式)，称为一种声子(一个，q就是一种声子)，当这种振动模式处于本征态时，称为有ni个声子，ni为这种声子的声子数。格波(晶格振动)的能量量子------声子。晶格振动的能量是3.由于晶体中可以激发任意个相同的声子，所以声子是玻色型的准粒子，遵循玻色统计。4.当电子(或光子)与晶格振动相互作用时，交换能量以为单位，若电子从晶格获得能量，称为吸收一个声子，若电子给晶格能量，称为发射一个声子。在简谐近似下，声子是理想的玻色气体，声子间无相互作用。而非简谐作用可以引入声子间的相互碰撞，正是这种非简谐作用保证了声子气体能够达到热平衡状态。3.由于晶体中可以激发任意个相同的声子，所以思考题2：温度一定，一个光学波的声子数目多，还是声学波的声子数目多？对同一个振动模式，温度高时的声子数目多，还是温度低时的声子数目多思考题1：什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？思考题3：在绝对0度时还有格波存在吗？若存在，格波间还有能量交换吗思考题2：温度一定，一个光学波的声子数目多，还是声学波的声子思考题1：什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？解答：为使问题简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互相作用力的泰勒级数中的非线性项忽略掉的近似为简谐近似。在简谐近似下，由N个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N个独立的谐振子的振动。每个谐振子的振动模式成为简正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动形式。原子的振动，或者说格波的振动通常是这3N个简正振动模式的线性叠加。简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶格中所有原子的自由度之和，级等于3N。思考题1：什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振思考题2：温度一定，一个光学波的声子数目多，还是声学波的声子数目多？解答：频率为ω的格波的平均声子数为因为光学波的频率ωO比声学波频率ωA高，大于因此在温度一定的情况下，一个光学波的声子数目少于一个光学波的声子数目。思考题2：温度一定，一个光学波的声子数目多，还是声学波的声子思考题2：对同一个振动模式，温度高时的声子数目多，还是温度低时的声子数目多解答：设温度TH>TL，由于小于所以对同一个振动模式，温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目。思考题2：对同一个振动模式，温