采样系统分析

采样系统分析1第1页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三第8章采样系统理论8-1采样过程与采样定理基本要求8-2信号的恢复与零阶保持器8-3z变换与z反变换8-4脉冲传递函数8-5采样系统的性能分析8-6采样系统的数字校正返回主目录第2页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三基本要求正确理解采样过程，采样定理，信号复观和零阶保持器的作用,了解采样系统与连续系统的区别与联系。Z变换和Z反变换，熟练掌握几种典型信号的Z变换和通过部分分式分解进行反变换,了解用Z变换法解差分方程的主要步骤和方法。正确理解脉冲传递函数的概念，熟练掌握简单采样系统开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的计算方法,掌握典型闭环采样系统输出的Z变换表达式。返回子目录3第3页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三熟练掌握Z域稳定性的判别方法。熟练掌握采样瞬时的稳态误差的计算方法，正确理解终值定理的使用条件、积分环节与系统的型别的关系。熟练掌握瞬态响应与极点分布的对应关系。掌握最小拍采样系统的设计步骤。4第4页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三8-1采样过程与采样定理一、采样过程——将连续信号转换成离散信号的过程该过程可以看成是一个信号的调制过程，如图8-3所示，其中载波信号是一个周期为T，宽度为)，的脉冲序列，如图8-3（b）所示。幅值为幅值正比于采样瞬时值的脉冲序列，如图8-3（c）所示。

调制后得到的采样信号是一个周期为T，宽度为返回子目录(5第5页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三图8-3信号的采样过程6第6页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三实现上述采样过程的装置称为采样开关可用图8-3（d）所示的符号表示。（8-1）由于载波信号是周期函数，故可以展成如下Fourier级数（8-2）7第7页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三则采样信号可以表示为（8-4）（8-3）其中，为采样频率，Fourier系数由下式给出8第8页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三若连续信号的Fourier变换为，则采样信号的Fourier变换为连续信号与离散信号的频谱曲线如图8-4所示。（8-5）9第9页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三图8-410第10页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三香农（Shannon）采样定理若存在一个理想的低通滤波器，其频率特性如图8-5所示，便可以将采样信号完全恢复成原连续信号。由此可得如下著名的：图8-5）香农（Shannon）采样定理11第11页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三如果采样频率满足以下条件式中为连续信号频谱的上限频率则经采样得到的脉冲序列可以无失真地恢复为原连续信号。（8-6）12第12页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三二、理想采样过程为了简化采样过程的数学描述，引入如下理想采样开关的概念。载波信号可以近似成如下理想脉冲序列（）（8-7）13第13页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三再设当时，则采样过程的数学描述为此时，采样过程如图8-6所示。理想采样开关的输出是一个理想脉冲序列。（8-8）14第14页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三图8-6理想采样开关的采样过程15第15页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三同样，可以展成如下Fourier级数其中（8-10）则有（8-11）和（8-12）16第16页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三图8-7连续信号和采样信号的频谱17第17页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三注意：上述香农采样定理要求满足以下两个条件：频谱的上限频率是有限的；存在一个理想的低通滤波器。但可以证明理想的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际应用中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器；18第18页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三8-2信号的恢复与零阶保持器信号的恢复是指将采样信号恢复为连续信号的过程，能够实现这一过程的装置称为保持器。可将展成如下泰勒级数时，（8-13）返回子目录19第19页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三各阶导数的近似值由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1个采样时刻的瞬时值。若式（8-13）的右边只取前n+1项，便得到n阶保持器的数学表达式。（8-14）20第20页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三图8-8信号的采样与保持过程零阶保持器的数学表达式为（8-16）21第21页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三理想采样开关的输出Laplace变换为零阶保持器的输出为(8-17)(8-18)22第22页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三由上式可知零阶保持器的(8-20)(8-19)传递函数23第23页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三零阶保持器的频率特性为相频特性为(8-22)(8-23)其幅频特性为24第24页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三其中零阶保持器的频率特性曲线如图8-9所示，对比图8-4可知零阶保持器是一个低通滤波器，但不是理想的低通滤波器，它除了允许信号的主频谱分量通过外，还允许部分高频分量通过。25第25页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三图8-9零阶保持器的频率特性曲线26第26页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三8-3z变换与z反变换一、z变换连续信号经采样后得到的脉冲序列为对上式进行Laplace变换，得（8-25）（8-26）返回子目录27第27页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三引入一个新的复变量将式上式代入式（8-26）可得z变换的定义式如下称为的z变换，记作或由此可看出是关于复变量的幂级数。（8-28）28第28页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三例8-1

求单位脉冲信号的z变换。

解：设，则由于在时刻的脉冲强度为1，其余时刻的脉冲强度均为零，所以有29第29页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三例8-2

求单位阶跃信号的z变换。

解：设，则

该级数的收敛域为，在该收敛域内，上式可以写成如下闭合形式30第30页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三例8-3

求单位斜坡信号的z变换。

设，则上式两边对z求导数，并将和式与导数交换，得上式两边同乘，便得单位斜坡信号的z变换解：31第31页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三例8-4求指数函数的z变换。解：设，则32第32页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三例8-5设，求的z变换。解：上式两边求Laplace反变换，得再由例8-2和例8-4有33第33页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三注意：不能直接将代入来求，因为是针对采样信号进行z变换。34第34页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三二、z变换的基本定理其中和为任意实数。1．线性定理：（8-30）若和z变换为和，则35第35页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三证明：36第36页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三2．实数位移定理若的z变换为，则（8-31）（8-32）37第37页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三证明：证明式（8-31）由于当时，，所以有38第38页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三证明式（8-32）39第39页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三3．复位移定理已知的z变换函数为，则证明：40第40页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三4．Z域尺度定理若已知的z变换函数为，则证明：其中，为任意常数。（8-34）41第41页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三三、z反变换z反变换是z变换的逆运算。其目的是由象函数求出所对应的采样脉冲序列（或），记作（8-35）

z反变换只能给出采样信号，而不能给出连续信号。注意42第42页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三1部分分式法若象函数是复变量z的有理分式，且的极点互异，则可展成如下形式：上式两边同乘z，再取z反变换得（8-36）（8-37）（8-38）43第43页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三例8-6已知z变换函数求其z反变换。44第44页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三解：首先将展成部分分式45第45页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三2长除法对比式（8-29）可知若z变换函数是复变量z的有理函数，则可将展成的无穷级数，即（8-40）（8-41）46第46页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三例8-7已知z变换函数为求其z反变换。47第47页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三解：由运用长除法得由此得于是脉冲序列可以写成48第48页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三3留数计算法由z变换的定义可知（8-43）49第49页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三设的极点为，则包围了的所有极点

（8-48）50第50页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三例8-8已知z变换函数为试用围线积分方法求z反变换。51第51页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三解：上式有两个极点和，且所以52第52页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三四初值定理和终值定理1初值定理：

设的z变换为，并且有极限存在，则

（8-49）53第53页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三2终值定理：

设的z变换为，且的极点均在z平面的单位圆内，则（8-50）54第54页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三五、用z变换法解线性常系数差分方程1差分的定义假设在图8-1所示的采样系统中，模拟—数字转换器在离散时间对误差信号进行采样，并将瞬时值记为或，则的一阶前项差分定义为55第55页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三二阶前向差分定义为n阶前向差分定义为n阶后向差分定义为56第56页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三8-4脉冲传递函数一、脉冲传递函数的定义脉冲传递函数定义为输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之比（8-59）图8-10返回子目录57第57页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三系统输出的采样信号为经虚设采样开关得到的脉冲序列反映的是连续输出在采样时刻的瞬时值。58第58页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三二、开环脉冲传递函数1．开环脉冲传递函数的推导59第59页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三（8-66）由此60第60页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三求该开环系统的脉冲传递函数。例8-11系统结构如图8-10所示，其中连续部分的传递函数为61第61页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三解：连续部分的脉冲响应函数为脉冲传递函数为62第62页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三或由得查表得63第63页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三2．串联环节的脉冲传递函数（1）串联环节间无采样开关时的脉冲传递函数图8-11（8-67）64第64页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三例8-12系统结构如图8-11所示，其中求开环脉冲传递函数。65第65页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三解：66第66页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三(2)串联环节间有采样开关时的脉冲传递函数如图8-12所示，其脉冲传递函数为各个连续环节z变换的乘积，记为图8-12串联环节间有采样开关的开环系统（8-68）67第67页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三例8-13系统结构如图8-12所示，其中求开环脉冲传递函数。68第68页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三解：所以由于69第69页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三（3）有零阶保持器时的脉冲传递函数开环脉冲传递函数为

图8-13带零阶保持器的开环采样系统70第70页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三例8-14系统结构如图8-13所示，其中采样周期s求其开环脉冲传递函数。71第71页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三解：由于所以72第72页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三三、闭环脉冲传递函数图8-14闭环采样系统73第73页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三采样开关的输入和系统的输出分别为74第74页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三整理得于是闭环系统的脉冲传递函数为75第75页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三例8-15闭环采样系统的结构如图8-14所示，其中采样周期秒，求闭环脉冲传递函数，若，求。76第76页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三解：对于阶跃输入函数有77第77页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三则输出信号的z变换为于是78第78页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三注意有些闭环采样系统不可能求出形式的闭环脉冲传递函数，而只能求出输出信号的表达式。如图8-15所示的闭环采样系统（8-15）79第79页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三

8-5采样系统的性能分析一、稳定性1从s平面到z平面的影射关系由Z变换的定义（8-80）若令（8-81）则有（8-82）返回子目录80第80页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三左半s平面上的带称为主带，其它称为次带。图8-16从s平面到z平面的影射81第81页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三2Z域的稳定条件和稳定性判据在z平面上系统稳定的充分必要条件是，系统的特征根必须全部位于z平面的单位圆内。设采样系统的闭环脉冲传递函数为则闭环特征方程为（8-84）82第82页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三(1)朱利（Jury）稳定判据且，根据特征方程的系数构造朱利阵列，则特征方程的根均位于单位圆内的充分必要条件为共（n-1）个约束条件（8-86）（8-87）83第83页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三例8-16已知采样系统的闭环特征方程为试判断该系统的稳定性。解：84第84页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三朱利阵列行数1-0.1250.75-1.5121-1.50.75-0.1253-0.981.41-0.564-0.561.41-0.96系统是稳定的85第85页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三(2)劳思(Routh)稳定判据在分析连续系统时，曾应用Routh稳定判据判断系统的特征根位于s右半平面的个数，并依此来判断系统的稳定性。对于采样系统，也可用Routh判据分析其稳定性，但由于在z域中稳定区域是单位圆内，而不是左半平面，因此不能直接应用Routh判据。86第86页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三引入如下双线性变换此时可用Routh判据判断采样系统的稳定性。87第87页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三(3)z平面的根轨迹方法以上述例8-15所示的闭环采样系统为例，其特征方程为可知使系统稳定的最大K值为4.33。例8-16的根轨迹图88第88页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三二、闭环极点与瞬态响应之间的关系设采样系统的闭环传递函数为（8-91）若输入信号为单位阶跃，则89第89页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三将按部分分式展开，得上式中第一项为稳态分量，第二项为瞬态分量，显然瞬态分量的变化规律取决于极点在z平面中的位置。90第90页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三图8-18不同极点所对应的瞬态响应91第91页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三三、稳态误差图8-19单位负反馈采样系统（8-97）在输入信号作用下，误差的z变换表达式为92第92页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三1当输入为阶跃函数时定义静态位置误差系数为则根据终值定理，有93第93页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三2当输入是斜坡函数时定义静态速度误差系数为稳态误差为94第94页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三3当输入是等加速信号时定义静态加速度误差系数为稳态误差为95第95页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三例8-17已知采样系统的结构如图所示，其中，，采样周期s，求在输入信号的作用下，系统的稳态误差。图8-2196第96页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三解：采样系统的闭环特征方程为采样系统的开环脉冲传递函数为97第97页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三该采样系统稳定在阶跃和斜坡函数作用下的稳态误差为零静态加速度误差系数为因此，在输入作用下的稳态误差为98第98页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三8-6采样系统的数字校正如图所示的闭环采样系统闭环脉冲传递函数为图8-21含数字校正装置的采样系统返回子目录99第99页，共107页，2022年，5月20日，21点15分，星期三系统的误差为其中为的有限次多项式，若能选择合适的，使其中