高等数学曲线凸性拐点与渐近线

高等数学曲线凸性拐点与渐近线1第1页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四定义：设函数y=f(x)在(a，b)内可导，如果曲线y=f(x)上任意一点的切线都在曲线的上方，则称该曲线为上凸的（凸弧），称区间(a，b)为该曲线的上凸区间；如果曲线y=f(x)上任意一点的切线都在曲线的下方，则称该曲线为下凸的（凹弧）

，称区间(a，b)为该曲线的下凸区间或凹区间。规范的定义：如果函数y=f(x)在(a，b)内任意两点x1，x2都满足：则称该曲线为上凸。如果函数y=f(x)在(a，b)内任意两点x1，x2都满足：则称该曲线为下凸。2第2页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四定理1：设函数y=f(x)在(a，b)内二阶可导,则有(1)若在(a，b)内有

，曲线y=f(x)在(a，b)内下凸。(2)若在(a，b)内有

，曲线y=f(x)在(a，b)内上凸。3第3页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四例1：解：注意到,4第4页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四定义：注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.证：由可导函数取极值的条件.5第5页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四拐点的求法6第6页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四例2：解：凹的凸的凹的拐点拐点7第7页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四注意:曲线的上凸区间为，下凸区间为和，拐点为（0，1）和。8第8页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四例3：解：9第9页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四考研题欣赏（2004年3，4）设，则(A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点。(B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。(C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。(D)x=0不是f(x)的极值点，(0,0)也不是曲线y=f(x)的拐点。答案：(C)10第10页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四4.4.2曲线的渐近线定义:1.垂直渐近线11第11页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四例1:两条有垂直渐近线:

解：12第12页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四2.水平渐近线例2:有两条水平渐近线:解：13第13页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四3.斜渐近线斜渐近线求法:14第14页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四注意:15第15页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四例3：解：16第16页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四17第17页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四考研题欣赏（2000年3，4）曲线（A）仅有水平渐近线。（B）仅有铅直渐近线。（C）既有铅直又有水平渐近线。（D）既有铅直又有斜渐近线。答案：(D)18第18页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四考研题欣赏（2003年3,4）曲线的单调区间、极值、渐近线。19第19页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四4.4.3函数作图利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步20第20页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四第三步第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;第五步21第21页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四例1：解：定义域为x≠0。非奇非偶函数,且无对称性.22第22页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点23第23页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四作图24第24页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四25第25页，共28页，2022年，5月20日，21点28分，星期四例2：解：偶函数,图形关于y轴对称.定义域为R。26第26页，共28页，2022年，5月20日