高等数学之多元函数积分学

高等数学之多元函数积分学第1页，共20页，2022年，5月20日，21点22分，星期四设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD一、格林公式1.单连通域与复连通域第2页，共20页，2022年，5月20日，21点22分，星期四定理12、格林公式第3页，共20页，2022年，5月20日，21点22分，星期四边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.第4页，共20页，2022年，5月20日，21点22分，星期四第5页，共20页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例1.计算解:令故L为以和为边的三角形的正向闭曲线.第6页，共20页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例2.

计算其中D是以O(0,0),A(1,1),

B(0,1)为顶点的三角形闭域.解:令,则利用格林公式,有机动目录上页下页返回结束第7页，共20页，2022年，5月20日，21点22分，星期四解第8页，共20页，2022年，5月20日，21点22分，星期四xyoLyxo第9页，共20页，2022年，5月20日，21点22分，星期四xyo(注意格林公式的条件)第10页，共20页，2022年，5月20日，21点22分，星期四计算平面面积例如,椭圆所围面积第11页，共20页，2022年，5月20日，21点22分，星期四GyxoBA如果在区域G内有二、曲线积分与路径无关的条件1、曲线积分与路径无关的定义二、平面曲线积分与路径无关的条件第12页，共20页，2022年，5月20日，21点22分，星期四定理2.设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(1)沿D中任意光滑闭曲线

L,有(2)对D中任一分段光滑曲线L,曲线积分(3)(4)在D内每一点都有与路径无关,只与起止点有关.函数则以下四个条件等价:在D内是某一函数的全微分,即

第13页，共20页，2022年，5月20日，21点22分，星期四说明:根据定理2,若在某区域内则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,3)可用积分法求du=

Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;定理2目录上页下页返回结束第14页，共20页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例4.计算其中解:由于因此所给曲线积分与路径无关，由图形可知为圆周在第一象限内的弧段.

因为在上，第15页，共20页，2022年，5月20日，21点22分，星期四因为在上，第16页，共20页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例5.

计算其中L为上半从O(0,0)到

A(4,0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L所围原式圆周区域为D,

则第17页，共20页，2022年，5月20日，21点22分，星期四例6.

验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.

证:

设则由定理2可知,存在函数u(x,y)使。。机动目录上页下页返回结束第18页，共20页，2022年，5月20日，21点22分，星期四内容小结1.格林公式2.等价条件在D内与路径无关.在

D

内有对D内任意闭曲线L有在D

内有设P,Q在D内具有一