2022版备战老高考一轮复习理科数学课后限时集训35 等比数列及其前n项和 作业

等比数列及其前n项和建议用时：45分钟一、选择题1．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24A[由x，3x＋3，6x＋6成等比数列，知(3x＋3)2＝x·(6x＋6)，解得x＝－3或x＝－1(舍去)．所以此等比数列的前三项为－3，－6，－12.故第四项为－24，选A.]2．(2019·日照一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝eq\f(5,2)，且a2＋a4＝eq\f(5,4)，则eq\f(Sn,an)＝()A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2nD[设等比数列{an}的公比为q，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1（1＋q2）＝\f(5,2),a1q（1＋q2）＝\f(5,4)))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2,q＝\f(1,2)))，∴eq\f(Sn,an)＝eq\f(\f(a1（1－qn）,1－q),a1qn－1)＝eq\f(\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2)),2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up8(n－1))＝2n－1.故选D.]3．(2019·湖南湘东五校联考)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或eq\f(1,2)C[当q＝1时，a3＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q2＝7，,\f(a1（1－q3）,1－q)＝21，))得q＝－eq\f(1,2).综上，q的值是1或－eq\f(1,2)，故选C.]4．等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,9)D．－eq\f(1,9)B[当n＝1时，a1＝S1＝3＋r，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1＝eq\f(8,3)·9n－1，所以3＋r＝eq\f(8,3)，即r＝－eq\f(1,3)，故选B.]5．(2019·鄂尔多斯模拟)中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为()A．6里 B．12里C．24里 D．48里B[记每天走的路程里数为{an}，由题意知{an}是公比为eq\f(1,2)的等比数列，由S6＝378，得S6＝eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，∴a5＝192×eq\f(1,24)＝12(里)．故选B.]二、填空题6．已知1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则eq\f(a1＋a2,b2)的值________．eq\f(5,2)[由题意得a1＋a2＝5，beq\o\al(2,2)＝4，又b2与第一项的符号相同，所以b2＝2.所以eq\f(a1＋a2,b2)＝eq\f(5,2).]7．在14与eq\f(7,8)之间插入n个数组成等比数列，若各项之和为eq\f(77,8)，则此数列的项数为________．5[设此等比数列为{am}，公比为q，则该数列共有n＋2项．∵14≠eq\f(7,8)，∴q≠1.由等比数列的前n项和公式，得eq\f(77,8)＝eq\f(14－\f(7,8)q,1－q)，解得q＝－eq\f(1,2)，∴an＋2＝14×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up8(n＋2－1)＝eq\f(7,8)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up8(n＋1)＝eq\f(1,16)，解得n＝3，∴该数列共有5项．]8．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝________．30[由题意知公比大于0，由等比数列性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…仍为等比数列．设S2n＝x，则2，x－2，14－x成等比数列．由(x－2)2＝2×(14－x)，解得x＝6或x＝－4(舍去)．∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…是首项为2，公比为2的等比数列．又∵S3n＝14，∴S4n＝14＋2×23＝30.]三、解答题9．(2019·全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．[解](1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.解得q＝－2(舍去)或q＝4.因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2.10．(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝eq\f(an,n).(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；(3)求{an}的通项公式．[解](1)由条件可得an＋1＝eq\f(2（n＋1）,n)an.将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得eq\f(an＋1,n＋1)＝eq\f(2an,n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得eq\f(an,n)＝2n－1，所以an＝n·2n－1.1．已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}的前n项和为()A．3n＋1 B．3n－1C.eq\f(3n2＋n,2) D.eq\f(3n2－n,2)C[∵b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，∴a1(b2－b1)＝a2，即a2＝3a1又数列{an}为等比数列，∴数列{an}的公比为q＝3，∴bn＋1－bn＝eq\f(an＋1,an)＝3，∴数列{bn}是首项为2，公差为3的等差数列，∴数列{bn}的前n项和为Sn＝2n＋eq\f(n（n－1）,2)×3＝eq\f(3n2＋n,2).故选C.]2．设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn＝an＋1(n＝1，2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则q等于()A．－eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(3,2) D.eq\f(3,2)C[{bn}有连续四项在{－53，－23，19，37，82}中且bn＝an＋1，即an＝bn－1，则{an}有连续四项在{－54，－24，18，36，81}中．∵{an}是等比数列，等比数列中有负数项，∴q＜0，且负数项为相隔两项，又∵|q|＞1，∴等比数列各项的绝对值递增．按绝对值由小到大的顺序排列上述数值18，－24，36，－54，81，相邻两项相除eq\f(－24,18)＝－eq\f(4,3)，eq\f(36,－24)＝－eq\f(3,2)，－eq\f(54,36)＝－eq\f(3,2)，eq\f(81,－54)＝－eq\f(3,2)，则可得－24，36，－54，81是{an}中连续的四项．∴q＝－eq\f(3,2).]3．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________64[设等比数列{an}的公比为q，则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝eq\f(1,2).又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8.故a1a2…an＝aeq\o\al(n,1)q1＋2＋…＋(n－1)＝23n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up8(\f(（n－1）n,2))＝23n－eq\f(n2,2)＋eq\f(n,2)＝2－eq\f(n2,2)＋eq\f(7,2)n.记t＝－eq\f(n2,2)＋eq\f(7n,2)＝－eq\f(1,2)(n2－7n)，结合n∈N*可知n＝3或4时，t有最大值6.又y＝2t为增函数，从而a1a2…an的最大值为26＝64.4．已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．(1)求证：{an＋1＋2an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解](1)证明：∵an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，∴an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．∵a1＝5，a2＝5，∴a2＋2a1＝15∴an＋2an－1≠0(n≥2)，∴eq\f(an＋1＋2an,an＋2an－1)＝3(n≥2)，∴数列{an＋1＋2an}是以15为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，则an＋1＝－2an＋5×3n，∴an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．又∵a1－3＝2，∴an－3n≠0，∴{an－3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列．∴an－3n＝2×(－2)n－1，即an＝2×(－2)n－1＋3n.1.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为eq\f(\r(2),2)，则其最小正方形的边长为________．eq\f(1,32)[由题意，得正方形的边长构成以eq\f(\r(2),2)为首项，以eq\f(\r(2),2)为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up8(9)＝eq\f(1,32).]2．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1，2进行“扩展”，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；….设第n次“扩展”后得到的数列为1，x1，x2，…，xt，2，并记an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，其中t＝2n－1，n∈N*，求数列{an}的通项公式．[解]an＝log2(1·x1·x2·…·xt·2)，所以an＋1＝log2[1·(1·x1)·x1·(x1·x2)·…·xt·(xt·2)·2]＝log2(12·xeq\