五年级奥数等差数列、三阶幻方、分数的拆分专题

选讲1等差数列求和一、知识要点若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项;数列中,项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。通项公式：第n项二首项+（项数一1）义公差项数公式：项数=（末项一首项）♦公差+1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4,10,16,22…，52.这个数列共有多少项？练习1：1.等差数列中,首项=1.末项=39,公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2,5,8,11一・，101.这个等差数列共有多少项?3.已知等差数列11,16,21,26,…，1001.这个等差数列共有多少项?【例题2】有一等差数列：3,7,11,15,……，这个等差数列的第100项是多少？练习2：1.一等差数列,首项=3.公差=2.项数=10,它的末项是多少？2.求1.4,7,10……这个等差数列的第30项。3.求等差数列2.6，10,14……的第100项。【例题3】有这样一个数列：1,2,3,4,…，99,100。请求出这个数列所有项的和。练习3：计算下面各题。(1)1+2+3H——(1)1+2+3H——H49+50(2)6+7+8H——H74+75(3)100+99+98H——H61+60【例题4】求等差数列2,4,6,…，48,50的和。练习4：计算下面各题。(1)2+6+10+14+18+22(2)5+10+15+20H——+195+200(1)2+6+10+14+18+22(3)9+18+27+36H——H261+270【例题5】计算(2+4+6H——H100)—(1+3+5H——H99)练习5：用简便方法计算下面各题。(1)(2001+1999+1997+1995)—(2000+1998+1996+1994)(2)(2+4+6H——+2000)—(1+3+5+——+1999)(3)(1+3+5+…+1999)—(2+4+6+…+1998)三、课后作业1、张师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，做了30天刚好做完，则这批零件一共有多少个？2、在一次同学聚会中，一共到了45位同学和2位老师，每位同学或老师都要和其他所有人握一次手，那么一共握手了几次？3、新星幼儿园304个小朋友围成若干个圆圈（一圈套一圈）做游戏，已知最里面的圈有24人，最外面的圈有52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻两圈相差多少人？选讲2三阶幻方的性质一、知识点整理：性质1：能组成幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加都相等且等于中间数两倍的九个数数列；性质2：幻方的中心数为数列的中间数；性质3：幻方中关于中心对称的两个数均为数列中首尾相对应的配对；性质4：幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的3倍；性质5：数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方中的四角，即只能出现在中间位置，第二大与第二小的配对只能出现在四角；性质6：幻方中四角的数等于与它不相邻的两个行列中间数的平均数；性质7：具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等。二、精讲精练例1：请你将210这9个自然数填入下图中的空格内，使每行、每列、每条对角线上的3个数之和相等。

练习1在下图的9个方格中填入不大于12且互不相同的9个自然数(其中已填好一个数)，使得任一行、任一列及两条对角线上的3个数之和都等于21.例2：在下面方阵中已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。⑴如下左图所示，求x；(2)如果中间的空格内填入100，如下右图所示，试在(1)的基础上完成填图下图是一个三阶幻方，那么标有☆的方格中所填的数是多少?选讲3分数的拆分1.概念单位分数:分子为1、分母为自然数的分数叫单位分数。分数的分拆：把一个分数分拆成几个分数相加的和，叫做分数的分拆2．解题方法与技巧。(1)把单位分数拆分成单位分数相加的和方法一：先扩分：同剩以分母的约数的和再拆分：拆分成约数作分子的分数。后约分：约分成最简分数方法二：分子、分母同剩以大于分母，小于分母两倍的自然树(2)把真分数分拆成单位分数相加的和。把一个真分数拆成两个单位分数相加的和，先给要分拆的分数分子和分母同剩以分母除以分子的整数商加1的和，再给分子加上分母，要使分数大小不变，同时应减去这个数，然后再分拆并约分。(3)把假分数分拆成单位分数相加的和方法：先把这个假分数分拆成真分数，再按真分数的分拆方法去分。例题一在・二二-二的括号里填入适当的自然数，使等式成立。8(.j(J分析一：从式子的左边往右边看，是分数的分拆；才有便往左边看，则是分数的加法，可见分数的分析与分数的加法过程刚好相反。分数加法主要步骤是通分、合并、约分，因此分数的分拆可按先扩分，再拆分，最后约分的步骤来做。分析二：根据把单位分数分拆成单位分数相加的和的方法二：分子、分母同剩以大于分母8，小于分母8的2倍(16)的自然数分别求解。解析一：8的约数有1、2、4、8。会1lX(l+2)1,21,1①-=：=1=1S3x1白月324122=卫区=L十士=二十二S3x(l+4]3xS3x5401£>1_lX（l+8）33X（l+8）3X9-3X9-7Z31lX1lX（2+4）S-9x（2+4]工+士=三十上

3x68舛6241211X（2+S）11X（2+S）9-3x（2+5]3x10+3x10TOC\o"1-5"\h\z1_1X（4+8）_4+3_1133X（4+8）3X123X122412以上六种分析方法，其中①、④、⑥相同，②和⑤相同。如果两个约数相同时，可以得到:==：一二,共有四组解。解法二：|=1X9_解法二：|=1X9_1+33X98X9=--=-—二（像解法二这样的拆分方法不止8X9SX9729一种．同学们，你们愿意研究吗？）练习一将下列各分数写成两个单位分数：2.3.4.2.3.4.5.：=，一6例题二:将二分拆成三个单位分数之和（任求一解）。10思路导航分析一可以先把:拆成两个单位分数之和，再拆成三个单位分数之和。分析二：任取分母10的三个约数之和进行扩分。解法一：10的约数有1、2、5、10，任取两个约数之和进行扩分，就能得到一种拆分TOC\o"1-5"\h\z1_1+2_121110—10X(1+2)—10X3+10X3-304153904S1__工3904S3030X(l+2)30X3'30X3-…1111所以一二一—一—一ID1S4590方法二：任取10的三个约数1、2、5。1_1黑（142+5〕_1।2।510—10X（1+2-F5）-10X8+10X8+10X8-80+40+16练习二：将下列各分数分拆成三个单位分数之和。例题三在下面的括号里面填上适当的数字。

思路导航根据题意，已知该题是要把三分拆成四个单位分数之和。可以先把分拆成两个单3位分数之和，再把这两个单位分数分拆成四个单位分数之和；或者可以取8的四个公约数1、2、4、8之和扩分解答。解:1_lx（n-l）解:TOC\o"1-5"\h\z33X（H-2）3X33X324121_lX（l+2）_12_112424X（l+2）24X124X17236同时］=lX（2+3）_2+3_11同时］=12.X（2+3i）12X512X53020所以;=;一£一口_二练习三在下列等式中的括号填上适当的各不相同的自然数，使等式成立。例题四：若A,8是自然数，求符合条件二=二-二的A和B的值（求出两组即可）AB思路导航：

分母