广东省揭阳市伟群华侨中学2023年高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省揭阳市伟群华侨中学2023年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f(x)=|tanx|,则函数y＝f（x）＋log4x－1与x轴的交点个数是A、1B、2C、3D、4参考答案：C函数与x轴的交点个数，为方程的解的个数，即方程解的个数，也即函数交点个数，作出两个函数图像可知，它们有3个交点．故选C．2.若，则的值为

A．3

B．－3

C．－2

D．参考答案：答案：A3.非零向量使得成立的一个充分非必要条件是A.

B.

C.

D.

参考答案：D4.已知，其中为虚数单位，则（

）A．

B．1

C．2

D．3参考答案：B由题考点：复数的运算，复数相等5.等比数列的前项和为,,则（）A．54 B．48 C．32 D．16参考答案：D6.中，角A、B、C对边a、b、c,若a、b、c成等比数列，且c=2a，则=()A.

B.

C.

D.参考答案：A7.“”是“”的(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件参考答案：B略8.设向量，，且，，则的值等于（

）A．1 B． C． D．0参考答案：C考点：1.向量的坐标运算；2.三角恒等变换；3.三角函数的性质.9.设，，，则（）．

．

．

．参考答案：A,,，所以，选A.10.已知，（其中，，），则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径r的取值范围是

．参考答案：(4,6)平面内到直线的距离等于1的点在与已知直线平行，且距离等于1的两条平行线上，故只需圆与两条平行线有两个公共点即可，由图知，当时满足题意.

12.设向量，不平行，向量与平行，则实数λ=_________．参考答案：因为向量与平行，所以，则所以．考点：向量共线．13.若复数是纯虚数，则实数=

.参考答案：1将复数表示为的形式，然后由即可求；14.设函数是定义在R上的偶函数，且对于任意的恒有，已知当时,.则

①2是的周期；

②函数在(2，3)上是增函数；

③函数的最大值为l，最小值为0；

④直线x=2是函数图象的一条对称轴．

其中所有正确命题的序号是____________________________.参考答案：略15.若，，则使不等式成立的x的取值范围是_________________________.参考答案：答案：16.（文）已知函数如果,求的取值范围为

.参考答案：17.设曲线与轴、轴、直线围成的面积为，若在上单调递减，则实数的取值范围是

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知f（x）=e2x+ln（x+a）．（1）当a=1时，①求f（x）在（0，1）处的切线方程；②当x≥0时，求证：f（x）≥（x+1）2+x．（2）若存在x0∈[0，+∞），使得成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）①求出f（x）的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程即可得到所求切线的方程；②设F（x）=e2x+ln（x+1）﹣（x+1）2﹣x（x≥0），通过两次求导，判断F（x）的单调性，即可得证；（2）由题意可得存在x0∈[0，+∞），使得e﹣ln（x0+a）﹣x02＜0，设u（x）=e2x﹣ln（x+a）﹣x2，两次求导，判断单调性，对a讨论，分①当a≥时，②当a＜时，通过构造函数和求导，得到单调区间，可得最值，即可得到所求a的范围．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=e2x+ln（x+1），f′（x）=2e2x+，①可得f（0）=1，f′（0）=2+1=3，所以f（x）在（0，1）处的切线方程为y=3x+1；②证明：设F（x）=e2x+ln（x+1）﹣（x+1）2﹣x（x≥0），F′（x）=2e2x+﹣2（x+1）﹣1F″（x）=4e2x﹣﹣2=[e2x﹣﹣]+2（e2x﹣1）+e2x＞0，（x≥0），所以，F′（x）在[0，+∞）上递增，所以F′（x）≥F′（0）=0，所以，F（x）在[0，+∞）上递增，所以F（x）≥F（0）=0，即有当x≥0时，f（x）≥（x+1）2+x；（2）存在x0∈[0，+∞），使得成立?存在x0∈[0，+∞），使得e﹣ln（x0+a）﹣x02＜0，设u（x）=e2x﹣ln（x+a）﹣x2，u′（x）=2e2x﹣﹣2x，u″（x）=4e2x+﹣2＞0，可得u′（x）在[0，+∞）单调增，即有u′（x）≥u′（0）=2﹣①当a≥时，u′（0）=2﹣≥0，可得u（x）在[0，+∞）单调增，则u（x）min=u（0）=1﹣lna＜0，解得a＞e；②当a＜时，ln（x+a）＜ln（x+），设h（x）=x﹣﹣ln（x+），（x＞0），h′（x）=1﹣=，另h′（x）＞0可得x＞，h′（x）＜0可得0＜x＜，则h（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．则h（x）≥h（）=0．设g（x）=e2x﹣x2﹣（x﹣），（x＞0），g′（x）=2e2x﹣2x﹣1，g″（x）=4e2x﹣2＞4﹣2＞0，可得g′（x）在（0，+∞）单调递增，即有g′（x）＞g′（0）=1＞0，则g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（x）＞g（0）＞0，则e2x﹣x2＞x﹣＞ln（x+）＞ln（x+a），则当a＜时，f（x）＞2ln（x+a）+x2恒成立，不合题意．综上可得，a的取值范围为（e，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，运用单调性解决，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及转化思想，考查推理能力和运算能力，属于难题．19.（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB。（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值.

参考答案：（1）bsinA=acosB，由正弦定理可得，即得，.（2）sinC=2sinA，由正弦定理得，由余弦定理，，解得，.20.

为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．(Ⅰ)写出这组数据的众数和中位数；(Ⅱ)从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好视力”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列及数学期望．

参考答案：解：(1)由题意知众数为4.6和4.7，中位数为4.75.

------------2分(2)这是一个古典概型，设至少有2人是“好视力”记为事件A，---------3分

则事件A包含的基本事件个数为：

----------5分总的基本事件个数为：

-----------6分

--------------------7分（3）X的可能取值为0,1,2,3.

-------------------8分由于该校人数很多，故X近似服从二项分布B(3，)．P(X＝0)＝()3＝，P(X＝1)＝××()2＝，P(X＝2)＝×()2×＝，P(X＝3)＝()3＝，------------------12分X的分布列为X0123P故X的数学期望E(X)＝3×＝.------------------13分

略21.（坐标系与参数方程）求经过极点三点的圆的极坐标方程.参考答案：略2