典例解析：空间几何体的表面积和体积1

PAGE13典例解析：空间几何体的表面积和体积题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为cm、ycm、cm、lcm依题意得：由（2）2得：2y222y2y2=36（3）由（3）－（1）得2y22=16即l2=16所以l=4cm．点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察．我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系．

例2．如图1所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。

图1图2解析：（1）如图2，连结A1O，则A1O⊥底面ABCD．作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A1M，A1N．由三垂线定得得A1M⊥AB，A1N⊥AD．∵∠A1AM=∠A1∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N从而OM=ON．∴点O在∠BAD的平分线上．（2）∵AM=AA1cos=3×=∴AO==．又在Rt△AOA1中，A1O2=AA12–AO2=9－=，∴A1O=，平行六面体的体积为．

题型2：柱体的表面积、体积综合问题例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（）A．2 B．3 C．6 D．解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝，c＝，则对角线l的长为l=；答案D．点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长．例4．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2=解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1V2＝Sh．∵E、F分别为AB、AC的中点，∴S△AEF=S,V1=hSS=ShV2=Sh-V1=Sh，∴V1∶V2=7∶5．点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系．最后用统一的量建立比值得到结论即可。

题型3：锥体的体积和表面积22侧左视图22222侧左视图222正主视图【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为所以该几何体的体积为答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出几何体的体积

练习1：如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是（）ABC直线∥D直线所成的角为45°【答案】D【解析】∵AD与是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于答案：8π解析：本题考查立体几何球面知识，注意结合平面几何知识进行运算，由

例6某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥EE中,由于ME=1,—ABCD又—BCF=VC－BEF=VC－BEA=VE－ABC多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD＋VE—BCF=

例10．（1）如图，在长方形中，，，为的中点，为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面平面．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是．

答案：【解析】此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，，随着F点到C点时，因平面，即有，对于，又，因此有，则有，因此的取值范围是

例11．若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是．【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图，通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求，与表面积和体积结合的考查方法．【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为，上面的长方体体积为，因此其几何体的体积为18例12．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于．解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为

例13．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积。解：设截面圆心为，连结，设球半径为，则，在中，，∴，∴，∴．点评：正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系．

例14．如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积．

解析：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d．在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′．由正弦定理，得=2r,∴r=a．又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，∴P、O、O′共线，球的半径R=．又PO′===a，∴OO′=R－a=d=,R－a2=R2–a2，解得R=a,∴S球=4πR2=3πa2．点评：本题也可用补形法求解．将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a,下略．题型9：球的面积、体积综合问题

例15．（1）表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积．（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积．解：（1）设球半径为，正四棱柱底面边长为，

则作轴截面如图，，，又∵，∴，∴，∴，∴（2）如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H

由题设∵△AOF∽△AEG∴，得∵△AO1H∽△AOF∴，得∴

点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等．

题型4：球的经纬度、球面距离问题例19．（1）我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少（地球半径大约为）

（2）在半径为的球面上有三点，，求球心到经过这三点的截面的距离．解：（1）如图，是北纬上一点，是它的半径，∴，设是北纬的纬线长，∵，∴

答：北纬纬线长约等于．（2）解：设经过三点的截面为⊙，设球心为，连结，则平面，∵，∴，所以，球心到截面距离为．例16．在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为（为地球半径），求两点间的球面距离．解：设北纬圈的半径为，则，设为北纬圈的圆心，，∴，∴，∴，∴，∴中，，所以，两点的球面距离等于．点评：