《导数在研究函数中的应用》 市赛获奖 市一等奖 教学课件

【满分指导】导数在函数中的应用题的规范解答【典例】(12分)(2012·江西高考)已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在［0,1］上单调递减且满足f(0)=1，f(1)=0.(1)求a的取值范围.(2)设g(x)=f(x)-f′(x)，求g(x)在［0,1］上的最大值和最小值.已知条件条件分析f(0)=1,f(1)=0将f(x)用含a的代数式表示出来f(x)=(ax2+bx+c)ex在［0,1］上单调递减得出f′(x)≤0在x∈［0,1］上恒成立且f′(x)=0不恒成立，然后通过分类讨论求得a的取值范围g(x)=f(x)-f′(x)化简g(x)=f(x)-f′(x)后，再对g(x)求导，最后分类讨论求最值【规范解答】(1)由f(0)=1,f(1)=0,得c=1,a+b=-1,则f(x)=［ax2-(a+1)x+1］ex，f′(x)=［ax2+(a-1)x-a］ex,①…………2分依题意对于任意x∈［0,1］,有f′(x)≤0.当a>0时,因为二次函数y=ax2+(a-1)x-a的图象开口向上,而f′(0)=-a<0,所以需f′(1)=(a-1)e<0,即0<a<1;②………………3分当a=1时,对于任意x∈［0,1］,有f′(x)=(x2-1)ex≤0,且只在x=1时f′(x)=0,f(x)符合条件;当a=0时,对于任意x∈［0,1］,f′(x)=-xex≤0,且只在x=0时，f′(x)=0，f(x)符合条件;当a<0时,因f′(0)=-a>0,f(x)不符合条件.故a的取值范围为0≤a≤1.………………5分(2)因g(x)=(-2ax+1+a)ex,g′(x)=(-2ax+1-a)ex,(ⅰ)当a=0时,g′(x)=ex>0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1,在x=1处取得最大值g(1)=e.………………6分(ⅱ)当a=1时,对于任意x∈［0,1］有g′(x)=-2xex≤0,g(x)在x=0处取得最大值g(0)=2.在x=1取得最小值g(1)=0.………7分(ⅲ)当0<a<1时,由g′(x)=0得若≥1,即0<a≤时,③g(x)在［0,1］上单调递增,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a,在x=1处取得最大值g(1)=(1-a)e.………………9分若<1,即<a<1时,③g(x)在x=处取得最大值g()在x=0或x=1处取得最小值,而g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e,……10分由g(0)-g(1)=1+a-(1-a)e=(1+e)a+1-e=0,得则④g(0)-g(1)≤0,g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a;当④,g(0)-g(1)＞0,g(x)在x=1处取得最小值g(1)=(1-a)e.……12分【失分警示】(下文①②③④见规范解答过程)1.(2012·陕西高考)设函数f(x)+lnx，则()(A)为f(x)的极大值点(B)为f(x)的极小值点(C)x=2为f(x)的极大值点(D)x=2为f(x)的极小值点【解析】选D.∵f(x)=+lnx，∴f′(x)令f′(x)=0，即解得x=2.当0＜x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，所以x=2为f(x)的极小值点.2.(2012·福建高考)已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a＜b＜c,且f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论：①f(0)f(1)＞0;②f(0)f(1)＜0;③f(0)f(3)＞0;④f(0)f(3)＜0.其中正确结论的序号是()(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④【解析】选C.f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),函数f(x)在(-∞,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，又因为f(a)=f(b)=f(c)=0，所以f(x)=0有三个实数根，故f(x)极大值=f(1)＞0,f(x)极小值=f(3)＜0,又f(0)=-abc=f(3)，故f(0)＜0,故②③正确.3.(2013·珠海模拟)已知函数f(x)=x2+3x-2lnx，则函数f(x)的单调递减区间为()(A)(-2,)(B)(+∞)(C)(-∞,-2)(D)(0,)【解析】选D.函数f(x)=x2+3x-2lnx的定义域为(0,+∞).因为f′(x)=令即2x2+3x-2＜0，解得又x＞0，所以故函数f(x)的单调递减区间为(0,).4.(2013·佛山模拟)若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是()(A)［1，+∞)(B)［2)(C)［1，2)(D)［1，)【解析】选D.因为f′(x)=所以由f′(x)=0得当时，f′(x)<0;当x>时，f′(x)>0，因此是函数的极小值点.又函数在(k-1,k+1)内不是单调函数，故∈(k-1,k+1)，即5.(2013·汕尾模拟)若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是______.【解析】f′(x)＝3x2－6b.当b≤0时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)无极值．当b>0时，令3x2－6b＝0得x＝由函数f(x)在(0,1)内有极小值，可得0<<1，∴答案：(0，)1.已知函数f(x)(x∈R)的图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x02－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调递减区间是()(A)［－1，＋∞)(B)(－∞，2］(C)(－∞，－1)，(1,2)(D)［2，＋∞)【解析】选C.根据函数f(x)(x∈R)的图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x02－1)(x－x0)，可知其导数f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)(x－1)(x－2)，令f′(x)<0得x<－1或1<x<2.因此f(x)的单调递减区间是(－∞，－1)，(1,2)．2．函数f(x)＝的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是()【解析】选D.f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(－2)f(1)<0，即(1)(＋1)<0，解得3.已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在