人教A版高中数学必修5同步数列8课件

2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和2.5等比数列的前n项和人教A版高中数学必修5同步数列8课件等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式【思考】对于等比数列的前n项和Sn=

一定成立吗?提示:不一定,当q=1时不成立.【思考】【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若等比数列的首项a1=1,公比为2,则前n项和Sn=

(

)(2)已知等比数列的a1,q,an,则Sn=

(

)(3)等比数列1,-1,1,-1,…的前n项和等于0. (

)【素养小测】提示:(1)×.Sn=(2)×.Sn=(3)×.Sn=人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列8提示:(1)×.Sn=人教A版高中数学必修5同步数列2.等比数列{an}的各项均为正实数,其前n项和为Sn.若a3=4,a2a6=64,则S5= (

)

A.32 B.31 C.64 D.63人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列82.等比数列{an}的各项均为正实数,其前n项和为Sn.人教【解析】选B.方法一:设首项为a1,公比为q,因为an>0,所以q>0,由条件得,解得所以S5=31;人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列8【解析】选B.方法一:设首项为a1,公比为q,人教A版高中数方法二:设首项为a1,公比为q,由a2a6==64,又a3=4,所以q=2,又因为a1·q2=4,所以a1=1,所以S5=31.人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列8方法二:设首项为a1,公比为q,由a2a6==64,又3.在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,则数列{an}的前n项和Sn=______

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人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列83.在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,则数列{an}【解析】因为a2=1,a5=8,所以a5=a2q3,即q3==8,即q=2,首项a1=,则数列{an}的前n项和Sn=答案:2n-1-人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列8【解析】因为a2=1,a5=8,所以a5=a2q3,人教A版类型一等比数列前n项和的计算【典例】1.(2019·汕头高一检测)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,a1=1,a2a3=-8,则S6= (

)

A.

B.-24 C.-21 D.11人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列8类型一等比数列前n项和的计算人教A版高中数学必修5同步数列2.(2019·广州高一检测)设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3=6,S6=54,则a1=______

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人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列82.(2019·广州高一检测)设Sn是等比数列{an}的前n【思维·引】1.利用项的关系求出公比代入公式求S6;2.先求出数列的公比,代入前n项和公式求首项.人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列8【思维·引】1.利用项的关系求出公比代入公式求S6;人教A版【解析】1.选C.设等比数列{an}公比为q,a1=1,a2a3=-8,则a2a3==q3=-8,解得q=-2,所以S6==-21.【解析】1.选C.设等比数列{an}公比为q,a1=1,2.因为S3==6,S6==54,所以=1+q3=9,解得q3=8,则q=2,所以=6,解得a1=.答案:

2.因为S3==6,S6==【内化·悟】本例2中的消元方法是什么?有什么优点?提示:利用两式相除消元,消去a1的同时起到了降低次数的作用.【内化·悟】【类题·通】等比数列前n项和的运算技巧(1)注意考查条件,公比为1时是否成立.(2)涉及的基本量有a1,q,n,an,Sn共五个,“知三求二”,常常列方程组来求解.(3)消元解方程组的过程中,常常用到两式相除、整体代入的方法.【类题·通】等比数列前n项和的运算技巧【习练·破】1.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=

,则S4=______

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【习练·破】【解析】设等比数列的公比为q,由已知S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=,即q2+q+=0,解得q=-,所以S4=答案:

【解析】设等比数列的公比为q,由已知2.(2019·石景山高一检测)等比数列{an}中a1=2,a4=16,则其前n项和Sn=______

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2.(2019·石景山高一检测)等比数列{an}中a1=2,【解析】设数列{an}的公比为q,因为a1=2,a4=16.所以2q3=16,解得q=2,所以Sn==2n+1-2.答案:2n+1-2【解析】设数列{an}的公比为q,因为a1=2,a4=16.【加练·固】已知单调递增的等比数列{an}其前n项和为Sn,若a2=2,S3=7,则a6= (

)A.26

B.28

C.30

D.32【加练·固】【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,若a2=2,S3=7,则+2+2q=7,解可得q=2或,又由数列{an}为单调递增的数列,则q=2,则a6=a2×q4=32.【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,类型二等比数列前n项和的实际应用【典例】(2019·宜春高二检测)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天类型二等比数列前n项和的实际应用走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天开始,走的路程少于30里 世纪金榜导学号(

)A.3 B.4 C.5 D.6【思维·引】首先判断数列类型,其次确定数列的基本量计算.走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天【解析】选B.此人每天走的步数构成以为公比的等比数列,所以=378,解得a1=192,所以an=192×=384×,【解析】选B.此人每天走的步数构成以为公比因为384×<30,所以2n>12.8,经验证可得n≥4,即从第4天开始,走的路程少于30里.因为384×<30,【内化·悟】从本例条件中可以提取哪些等比数列的基本量?提示:Sn=378,q=,n=6.【内化·悟】【类题·通】解答数列应用问题的方法(1)判断、建立数列模型①变化“量”是同一个常数:等差数列;②变化“率”是同一个常数:等比数列.【类题·通】(2)提取基本量从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,an,Sn,列出方程(组)求解.(2)提取基本量【习练·破】古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,该女子第二天织布多少尺? (

)【习练·破】古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善【解析】选B.等比数列{an}中,公比q=2,S5=5,S5==(25-1)a1=5,所以a1=所以a2=a1·q=【解析】选B.等比数列{an}中,公比q=2,S5=5,【加练·固】一个热气球在第一分钟上升了30m的高度,在以后的每一分钟内,它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的

.这个热气球上升的高度能超过150m吗?【加练·固】【解析】用an表示热气球在第n分钟内上升的高度,由题意,数列{an}是首项a1=30,公比q=的等比数列.热气球在前n分钟内上升的总高度Sn=a1+a2+…+an==150×<150,即这个热气球上升的高度不可能超过150m.【解析】用an表示热气球在第n分钟内上升的高度,类型三等比数列前n项和的简单性质角度1前n项和公式的函数特征【典例】(2019·桂林高一检测)已知等比数列{an}的前n项和Sn=λ·3n-1-1(λ∈R),则

世纪金榜导学号(

)

A.

B.3 C.6 D.9类型三等比数列前n项和的简单性质【思维·引】利用前n项和公式的结构特征求出λ及公比,再利用Sn的表达式计算;也可由Sn表示出a1,a2,a3后求λ及公比,再利用Sn的表达式计算.【思维·引】利用前n项和公式的结构特征求出λ及公比,再利用S【解析】选D.方法一:Sn=λ·3n-1-1=·3n-1,所以=1,λ=3且q=3,又a1=S1=3·3n-1-1=2,【解析】选D.方法一:Sn=λ·3n-1-1=·3n-1方法二:等比数列{an}满足Sn=λ·3n-1-1,当n=1时,有a1=S1=λ-1,有a2=S2-S1=(3λ-1)-(λ-1)=2λ,a3=S3-S2=(9λ-1)-(3λ-1)=6λ,则有6λ×(λ-1)=(2λ)2,解可得λ=3或0(舍),首项a1=2,则方法二:等比数列{an}满足Sn=λ·3n-1-1,【素养·探】等比数列的前n项和公式实质是关于n的函数,再利用其结构特征可以确定系数之间的关系,这用到了核心素养中的数学抽象.将本例中的条件变为“Sn=3×2n+a”,则S5=______

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【素养·探】【解析】数列{an}是等比数列,①若q=1,显然Sn=3×2n+a,不成立.②故数列{an}的公比q≠1,所以Sn=故q=2,=-3,故a=-3.【解析】数列{an}是等比数列,所以S5=3×25-3=93.答案:93所以S5=3×25-3=93.角度2前n项和的性质【典例】设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S3=8,S6=7,则a7+a8+a9= 世纪金榜导学号(

)【思维·引】利用S3,S6-S3,S9-S6的关系求值.角度2前n项和的性质【解析】选A.方法一:由等比数列前n项和的性质知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,又a7+a8+a9=S9-S6,则S3,S6-S3,a7+a8+a9成等比数列,从而a7+a8+a9=【解析】选A.方法一:由等比数列前n项和的性质知S3,方法二:因为S6=S3+S3q3,所以q3=所以a7+a8+a9=S9-S6=S3q6=8×方法二:因为S6=S3+S3q3,【类题·通】1.等比数列前n项和公式的特征数列{an}是非常数数列的等比数列⇔Sn=-Aqn+A(A≠0,q≠0,1,n∈N*).即指数式的系数与常数项互为相反数,其中A=

【类题·通】2.等比数列前n项和公式的性质等比数列的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.2.等比数列前n项和公式的性质【习练·破】在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.【习练·破】【解析】因为{an}为等比数列,显然公比不等于-1,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列,所以(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n),所以S3n=【解析】因为{an}为等比数列,显然公比不等于-1,【加练·固】一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.【加练·固】【解析】因为S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…+a2n-1q=(a1+a3+…+a2n-1)q=S奇·q.所以q=又Sn=85+170=255,据Sn=得=255,【解析】因为S偶=a2+a4+…+a2n=a1q+a3q+…所以2n=256,所以n=8.即公比q=2,项数n=8.所以2n=256,所以n=8.2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和2.5等比数列的前n项和人教A版高中数学必修5同步数列8课件等比数列的前n项和公式等比数列的前n项和公式【思考】对于等比数列的前n项和Sn=

一定成立吗?提示:不一定,当q=1时不成立.【思考】【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若等比数列的首项a1=1,公比为2,则前n项和Sn=

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)(2)已知等比数列的a1,q,an,则Sn=

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)(3)等比数列1,-1,1,-1,…的前n项和等于0. (

)【素养小测】提示:(1)×.Sn=(2)×.Sn=(3)×.Sn=人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列8提示:(1)×.Sn=人教A版高中数学必修5同步数列2.等比数列{an}的各项均为正实数,其前n项和为Sn.若a3=4,a2a6=64,则S5= (

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A.32 B.31 C.64 D.63人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列82.等比数列{an}的各项均为正实数,其前n项和为Sn.人教【解析】选B.方法一:设首项为a1,公比为q,因为an>0,所以q>0,由条件得,解得所以S5=31;人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列8【解析】选B.方法一:设首项为a1,公比为q,人教A版高中数方法二:设首项为a1,公比为q,由a2a6==64,又a3=4,所以q=2,又因为a1·q2=4,所以a1=1,所以S5=31.人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列8方法二:设首项为a1,公比为q,由a2a6==64,又3.在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,则数列{an}的前n项和Sn=______

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人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列83.在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,则数列{an}【解析】因为a2=1,a5=8,所以a5=a2q3,即q3==8,即q=2,首项a1=,则数列{an}的前n项和Sn=答案:2n-1-人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列8【解析】因为a2=1,a5=8,所以a5=a2q3,人教A版类型一等比数列前n项和的计算【典例】1.(2019·汕头高一检测)已知Sn为等比数列{an}的前n项和,a1=1,a2a3=-8,则S6= (

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B.-24 C.-21 D.11人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列8类型一等比数列前n项和的计算人教A版高中数学必修5同步数列2.(2019·广州高一检测)设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3=6,S6=54,则a1=______

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人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列82.(2019·广州高一检测)设Sn是等比数列{an}的前n【思维·引】1.利用项的关系求出公比代入公式求S6;2.先求出数列的公比,代入前n项和公式求首项.人教A版高中数学必修5同步数列8人教A版高中数学必修5同步数列8【思维·引】1.利用项的关系求出公比代入公式求S6;人教A版【解析】1.选C.设等比数列{an}公比为q,a1=1,a2a3=-8,则a2a3==q3=-8,解得q=-2,所以S6==-21.【解析】1.选C.设等比数列{an}公比为q,a1=1,2.因为S3==6,S6==54,所以=1+q3=9,解得q3=8,则q=2,所以=6,解得a1=.答案:

2.因为S3==6,S6==【内化·悟】本例2中的消元方法是什么?有什么优点?提示:利用两式相除消元,消去a1的同时起到了降低次数的作用.【内化·悟】【类题·通】等比数列前n项和的运算技巧(1)注意考查条件,公比为1时是否成立.(2)涉及的基本量有a1,q,n,an,Sn共五个,“知三求二”,常常列方程组来求解.(3)消元解方程组的过程中,常常用到两式相除、整体代入的方法.【类题·通】等比数列前n项和的运算技巧【习练·破】1.(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=

,则S4=______

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【习练·破】【解析】设等比数列的公比为q,由已知S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=,即q2+q+=0,解得q=-,所以S4=答案:

【解析】设等比数列的公比为q,由已知2.(2019·石景山高一检测)等比数列{an}中a1=2,a4=16,则其前n项和Sn=______

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2.(2019·石景山高一检测)等比数列{an}中a1=2,【解析】设数列{an}的公比为q,因为a1=2,a4=16.所以2q3=16,解得q=2,所以Sn==2n+1-2.答案:2n+1-2【解析】设数列{an}的公比为q,因为a1=2,a4=16.【加练·固】已知单调递增的等比数列{an}其前n项和为Sn,若a2=2,S3=7,则a6= (

)A.26

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D.32【加练·固】【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,若a2=2,S3=7,则+2+2q=7,解可得q=2或,又由数列{an}为单调递增的数列,则q=2,则a6=a2×q4=32.【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,类型二等比数列前n项和的实际应用【典例】(2019·宜春高二检测)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行数里,请公仔细算相还”.其意思为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天类型二等比数列前n项和的实际应用走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天开始,走的路程少于30里 世纪金榜导学号(

)A.3 B.4 C.5 D.6【思维·引】首先判断数列类型,其次确定数列的基本量计算.走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,请问从第几天【解析】选B.此人每天走的步数构成以为公比的等比数列,所以=378,解得a1=192,所以an=192×=384×,【解析】选B.此人每天走的步数构成以为公比因为384×<30,所以2n>12.8,经验证可得n≥4,即从第4天开始,走的路程少于30里.因为384×<30,【内化·悟】从本例条件中可以提取哪些等比数列的基本量?提示:Sn=378,q=,n=6.【内化·悟】【类题·通】解答数列应用问题的方法(1)判断、建立数列模型①变化“量”是同一个常数:等差数列;②变化“率”是同一个常数:等比数列.【类题·通】(2)提取基本量从条件中提取相应数列的基本量a1,q(d),n,an,Sn,列出方程(组)求解.(2)提取基本量【习练·破】古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,该女子第二天织布多少尺? (

)【习练·破】古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善【解析】选B.等比数列{an}中,公比q=2,S5=5,S5==(25-1)a1=5,所以a1=所以a2=a1·q=【解析】选B.等比数列{an}中,公比q=2,S5=5,【加练·固】一个热气球在第一分钟上升了30m的高度,在以后的每一分钟内,它上升的高度都是它在前一分钟内上升高度的

.这个热气球上升的高度能超过150m吗?【加练·固】【解析】用an表示热气球在第n分钟内上升的高度,由题意,数列{an}是首项a1=30,公比q=的等比数列.热气球在前n分钟内上升的总高度Sn=a1+a2+…+an==150×<150,即这个热气球上升的高度不可能超过150m.【解析】用an表示热气球在第n分钟内上升的高度,类型三等比数列前n项和的简单性质角度1前n项和公式的函数特征【典例】(2019·桂林高一检测)已知等比数列{an}的前n项和Sn=λ·3n-1-1(λ∈R),则

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B.3 C.6 D.9类型三等比数列前n项和的简单性质【思维·引】利用前n项和公式的结构特征求出λ及公比,再利用Sn的表达式计算;也可由Sn表示出a1,a2,a3后求λ及公比,再利用Sn的表达式计算.【思维·引】利用前n项和公式的结构特征求出λ及公比,再利用S【解析】选D.方法一:Sn=λ·3n-1-1=·3n-1,所以=1,λ=3且q=3,又a1=S1=3·3n-1-1=2,【解析】选D.方法一:Sn=λ·3n-1-1=·3n-1方法二:等比数列{an}满足Sn=λ·3n-1-1,当n=1时,有a1=S1=λ-1,有a2=S2-S1=(3λ-1)-(λ-1)=2λ,a3=S3-S2=(9λ-1)-(3λ-1)=6λ,则有6λ×(λ-1)=(2λ)2,解可得λ=3或0(舍),首项a1=2,则方法二:等比数列{an}满足Sn=λ·3n-1-1,【素养·探】等比数列的前n项和公式实质是关于n的函数,再利用其结构特征可以确定系数之间的关系,这用到了核心素养中的数学抽象.将本例中的条件变为“Sn=3×2n+a”,则S5=______

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【素养·探】【解析】数列{an}是等比数列