高三数学一轮复习大题专练《立体几何中的探索性问题（二）》突破解析

一轮复习大题专练46—立体几何（探索性问题2）1．如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且．（1）证明：平面；（2）在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论．解：（1）证明：，，，可得为的等边三角形，由，，，，可得，，而，可得平面；（2）在棱上存在一点，且，使平面．证明：连接，交于，连接，交于，连接，过作，交于，由于，所以，，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面．2．如图，在三棱锥中，平面，（1）若，．求证：；（2）若，分别在棱，上，且，，问在棱上是否存在一点，使得平面．若存在，则求出的值；若不存在，请说明理由．证明：（1）平面，平面，，又，，平面，平面，，，，平面，平面，．（2）存在，且，理由如下：如图，作的中点，连接，，由，得，又，，平面，平面，平面，又，分别为，的中点，，平面，平面，平面，，平面，平面，平面平面，平面，平面．3．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是正三角形，为线段的中点，．（1）求证：平面平面；（2）是否存在点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（3）若平面平面，在平面内确定一点，使的值最小，并求此时的值．（1）证明：是正三角形，为线段的中点，．是菱形，．又，是正三角形，，而，平面．又，平面．平面，平面平面；（2）解：由，知．，又，因此，的充要条件是，．即存在满足的点，使得，此时；（3）解：延长到，使得，由（1）知平面，则是点关于面的对称点，在平面中，过点作，垂足为，交于，则点是使的值最小的点．设，则，平面平面，平面平面，，平面，平面，，得，，，得．4．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是的中点．（1）证明：平面；（2）点为线段上一点，设，若平面，试确定的值．解：（1）证明：取的中点，记，连接，，，在中，，分别是，的中点，所以，同理可得，又因为，，所以平面平面，又平面，所以平面；（2）解：因为底面是菱形，所以，因为，，所以，则，又因为是的中点，所以，因为，所以平面，则，因为，，所以，则，则，所以，又因为，所以平面，若平面，则与重合．故．5．如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：（1）正四棱锥的表面积；（2）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值：若不存在，试说明理由．解：（1）正四棱锥中，，，侧面的高，正四棱锥的表面积．（2）在侧棱上存在一点，使平面，满足．理由如下：取中点为，因为，则，过作的平行线交于，连接，．在中，有，平面，平面，平面，又由于，平面，平面，平面，，平面平面，得平面，由于，．6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为，的中点．设平面与平面的交线为．（1）求证：平面；（2）求证：；（3）在棱上是否存在点（异于点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：（1）证明：因为底面为平行四边形，所以为中点，又为中点，所以，又平面，平面，所以平面．（2）证明：因为底面为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又平面，又平面平面，所以．（3）假设存在上存在点（异于点，使得平面，在平行四边形中，，