专升本中值定理与导数的应用学习教案课件

会计学1专升本中值定理与导数的应用会计学1专升本中值定理与导数的应用§1微分中值定理1.1罗尔(Rolle)定理21.2拉格朗日(Lagrange)中值定理

1.3柯西(Cauchy)中值定理微分中值定理函数的性态导数的性态第1页/共79页§1微分中值定理1.1罗尔(Rolle)定理21.2拉格朗日1.1罗尔(Rolle)定理

使得

图1在定理的条件下,区间内至少存在一点，使得曲线在点具有水平切线。

几何意义：定理1(Rolle)若函数满足条件：(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导；(3)则至少存在一点第2页/共79页1.1罗尔(Rolle)定理使得图1在定理有且仅有两个实根，并指出根存在的区间.例1设，证明证

方程有解在区间和上用定理1，可知

使得

有且仅有两个根，且分别位于和内。又为二次函数，最多有两个实根，故第3页/共79页有且仅有两个实根，并指出根存在的区间.例1设，证明证方程1.2拉格朗日中值定理或写成

上述公式称为拉格朗日中值公式。（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得定理2(Lagrange)设函数满足条件：也成立.且对于第4页/共79页1.2拉格朗日中值定理或写成上述公式称为拉格朗日中值公式。0ABNM几何意义:如果连续曲线上除端点外处处具有不垂直于轴的切线,则图2推论设函数即其中C为常数.在开区间内可导,且为常数.则在内第5页/共79页0ABNM几何意义:如果连续曲线上除端点外处处具有不垂直于轴例2

验证函数

在区间上满足拉证为二次函数，故在上连续,满足定理2的条件，从而

使得由得格朗日中值定理的条件,并求出定理中的值.在内可导,第6页/共79页例2验证函数在区间上满足拉证为二次函数，故在上连续,满足例3证明证令,即所以又第7页/共79页例3证明证令,即所以又第7页/共79页证由上式得例4证明:当时,第8页/共79页证由上式得例4证明:当时,第8页/共79页§2洛必达法则定义第9页/共79页§2洛必达法则定义第9页/共79页函数之商的极限

导数之商的极限

转化(或型)洛必达法则本节研究:第10页/共79页函数之商的极限导数之商的极限转化(或2.1型未定式

定理1设满足条件:(2)在点内可导,且的某个去心邻域(3)存在或为则存在(或为),且第11页/共79页2.1型未定式定理1设满足条件:(2)在点内例1求解例2求解第12页/共79页例1求解例2求解第12页/共79页例3求解注意:

不是未定式不能用洛必达法则!第13页/共79页例3求解注意:不是未定式不能用洛必达法则!第13页/2.2型未定式

定理2

设满足条件:

(3)存在或为

(2)在点内可导,且的某个去心邻域则存在(或为),且第14页/共79页2.2型未定式

定理2设例4求解例5求,得解令第15页/共79页例4求解例5求,得解令第15页/共79页2.3其它类型的末定式提示:对型，再利用洛必达法则求值。

,先将其转化为解决方法:转化取倒数即第16页/共79页2.3其它类型的末定式提示:对型，再利用洛必达法则求值。例7求解若遇有对数函数或反三角函数,取倒数时一般应将对数函数或反三角函数保留在分子.提示第17页/共79页例7求解若遇有对数函数或反三角函数,取倒数时一般应将对例8求解一般是通过通分或有理化的方法将其化为型.解决方法:第18页/共79页例8求解一般是通过通分或有理化的方法将其化为型.解决方先取对数,将其转化为再转化为

型.

解决方法:第19页/共79页先取对数,将其转化为再转化为型.解决方法:第19页/共7例9求解设于是,取对数得第20页/共79页例9求解设于是,取对数得第20页/共79页10第21页/共79页10第21页/共79页例11求提示:先作一个等价无穷小代替，再用洛必达法则.

解第22页/共79页例11求提示:先作一个等价无穷小代替，再用洛必达法则.例如,而用洛必达法则1)

在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决计算问题.说明:第23页/共79页例如,而用洛必达法则1)在满足定理条件的某些情况下洛必达法例12极限不存在2)若第24页/共79页例12极限不存在2)若第24页/共79页§3利用导数研究函数的性质3.1函数的单调性

第25页/共79页§3利用导数研究函数的性质3.1函数的单调性例1判定函数解函数的定义域为.又均为弧立点,

在内,函数单调增加

.的单调性。第26页/共79页例1判定函数解函数的定义域为.又均为弧立点,在导数等于零的点(驻点)和不可导点，可能是单调区间的分界点．问题:如上图，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.方法:用方程f

′(x)=0的根及f

′(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,然后判断区间内导数的符号。

第27页/共79页导数等于零的点(驻点)和不可导点，可能是单调区间的分界点．问例确定函数f(x)=2x3–9x2+12x–3的单调区间.

解：f′(x)=

6x2–18x+12

=6(x–1)(x–2)

令

f′(x)=0，得x=1，x=2，

xf′(x)f(x)12(–∞,1)(1,2)(2,+∞)+

–

+

0021故

f(x)的单调增区间为(–∞,1)，(2,+∞)；单调减区间为(1,2).列表讨论第28页/共79页例确定函数f(x)=2x3–9x2+(1)单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点。例如，(2)如果函数在某驻点两边导数同号，则不改变函数的单调性。例如，说明：第29页/共79页(1)单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点。例例1解第30页/共79页例1解第30页/共79页列表可使问题明朗化第31页/共79页列表可使问题明朗化第31页/共79页

函数的单调性在证明中的应用1.利用函数的单调性证明不等式例3证明：当证取在区间上单调增加，从而即当时,有第32页/共79页函数的单调性在证明中的应用1.利用函数的单调性证明不等式小结

利用函数增减性证明函数不等式（在某指定区间内）的步骤为:(1)移项，使不等式一边为0,另一边设为函数；

作比较即得所证。(2)求在所指定区间的增减性；,并验证(3)求出区间端点的函数值，然后由单调性第33页/共79页小结利用函数增减性证明函数不等式（在某指定区间内）的步骤为2.利用函数的单调性证明方程根的唯一性

例1试证方程有且仅有一个根。

证令,有轴最多有一个交点，即

与在上单调增加，因此曲线有一个实根.又

最多即c为上方程的根。故方程有且只有一个根.

在由零点定理可知，

,使上连续,第34页/共79页2.利用函数的单调性证明方程根的唯一性例1试证方程有且36由连续函数的零点存在定理知，利用函数的单调性讨论方程的根。例2证第35页/共79页36由连续函数的零点存在定理知，利用函数的单调性讨论方程的根3.2函数的极值定义1设函数在区间内有定义,

如果存在点的某个邻域

,使得对于

,有,则称为的极小值.

称为的极小值点;,则称若对的极大值.

称为的极大值点.

为极大值和极小值统称为极值;极大值点和极小值点统称为极值点。第36页/共79页3.2函数的极值定义1设函数在区间3.2函数的极值

第37页/共79页3.2函数的极值第37页/共79页第38页/共79页第38页/共79页第39页/共79页第39页/共79页第40页/共79页第40页/共79页(是极值点情形)(不是极值点情形)+

–

+

+

+

–

–

–

第41页/共79页(是极值点情形)(不是极值点情形)+–+及不存在的点。第42页/共79页及不存在的点。第42页/共79页解

函数的定义域为

令,得驻点

.例5求函数的极值。+0－0+↗有极大值↘有极小值↗1列表讨论:

在处取得极大值在处取得极小值第43页/共79页解函数的定义域为令,得驻点解在内连续.当

时,例6求函数的极值。当时,不存在.令,有.第44页/共79页解在内连续.当时,例6求函数的列表讨论如下:

不存在0↘极小值—2↗极大值0↘极小值－2↗(0,1)01++－－0在处取得极大值

.可知在处取得极小值

,第45页/共79页列表讨论如下:

不存↘极小↗极大↘极小值↗(0,1)01++第46页/共79页第46页/共79页定理4(第二充分条件)设在处具有二阶导数,且,那末(3)当时,

可能是极值,也可能不是极值.(2)当时,函数在处取得极小值.

(1)当时,函数在处取得极大值;第47页/共79页定理4(第二充分条件)设在处具有二阶导数,且,解令是函数的极大值点,为极大值;

是函数的极小值点,为极小值.例7求函数的极值。第48页/共79页解令是函数的极大值点,为列表讨论单调性,判别极值:例5解第49页/共79页列表讨论单调性,判别极值:例5解第49页/共79页极小极小极大自己总结求极值的步骤第50页/共79页极小极小极大自己总结求第50页/共79页例6解第51页/共79页例6解第51页/共79页在工程技术和生产实践中,常常需要考虑在一定条件下,怎样才能使用料最少、费用最省,而效率和效益最高等问题.这些问题反映到数学上就是最优化问题.

优化技术应用价值很大三、函数的最大、最小值第52页/共79页在工程技术和生产实践中,常常需要考虑在一定条件下,怎求最值的几个特殊情况极大(小)值点,则该点就是函数的最大(小)值点.第53页/共79页求最值的几个特殊情况极大(小)值点,则该点就是函数的最实际判断原则第54页/共79页实际判断原则第54页/共79页计算函数值:(端点值)例8解第55页/共79页计算函数值:(端点值)例8解第55页/共79页没有什么新的东西第56页/共79页没有什么新的东西第56页/共79页4.3函数的最大值和最小值求最值的一般步骤:2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值;设在上连续.1.求驻点和不可导点:;上的最大值,最小者为最小值.即

3.比较它们的大小,其中最大者为在第57页/共79页4.3函数的最大值和最小值求最值的一般步骤:2.求区间端点及例8求函数在上的最大值、最小值.解不予考虑.又

上的最大值和最小值.故和分别为在第58页/共79页例8求函数在上的最大值、最小值.解不予考虑.又第59页/共79页第59页/共79页dhb解

由,得及令,得例9把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁,问矩形截面的高h和宽d应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大？(抗弯截面模量为第60页/共79页dhb解由,得及令,得例9把一根直径为d的圆木锯成由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，又在内只有一个根

得的值最大。由时,从而有

第61页/共79页由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，又在内只有一个根(k

为某一常数)AC⊥

AB,要在AB

线上选定一点D

向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应如何选取?20解:

设则总运费物从B运到工厂C的运费最省,问km,公路,例10铁路上AB段的距离为120km,工厂C

距A处20第62页/共79页(k为某一常数)AC⊥AB,要在AB线上选定一令得又所以为唯一的极小点,故AD=15km时运费最省.从而为最小点,第63页/共79页令得又所以为唯一的极小点,故AD65