机械工程测试技术课后习题

第二章习题解答

2-1.什么是信号？信号处理的目的是什么？

2-2.信号分类的方法有哪些？

2-3.求正弦信号x(f)=Asin(yf的均方值〃：。

解：

」［x2(t)dt=—^A2sin2cotdt

2f%.,2r%\-cos2cot

=—A2sin2a}tdf=—A2--------------dt

7"JoTJo2

_2.2仔sin.T)/

~T17--4M~)^2

1fcoA?

也可先求概率密度函数：pQ)=—/贝iJ："；0=，x20p(x)dx-——。

^A2-X2J"2

2-4.求正弦信号无。)=Asin®t+3)的概率密度函数可幻。

行.xdtIA1

解：cot=arcsin---一=--------1=——/

A公①x尸(0y1A2-x2

代入概率密度函数公式得：

,、「1I£△，［12dt2

p(x)=lim—lim--------------------.r

■TOAt30TdxTcoT^A2-x1

21

2-5.求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱

解在x(t)的一个周期中可表示为

1

x(f)=<

0(<M<T/2

该信号基本周期为T，基频疑尸2加7,对信号进行傅里叶复指数展开。由于x⑺关于仁0对称，我

们可以方便地选取-772WrW772作为计算区间。计算各傅里叶序列系数金

当"=0时，常值分量co：

力=苧

当“M时，

c=-f'e-jnM°'dt=——i—e-"叫"

"THjncoQT।/

最后可得

。加秋）

乙C—Cr.

C=-------------------------

ncooT\_2jJ

注意上式中的括号中的项即sin（〃@7D的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数&可表示为

2sin（〃例）入）2Tl.

%=-------=—smc（no）0rJ,"。0

n瓯TT

其幅值谱为：卜/=%sinc（"（yR）,相位谱为：＜p,,=0,兀，-兀。频谱图如下：

III

0

—71-

2-6.设c“为周期信号x（f）的传里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。

即：若有

±j（ao，＜＞

贝Ux（t±t0）＜r-^ecn

证明：若x⑺发生时移力（周期T保持不变），即信号x（fTo），则其对应的傅立叶系数为

%=3卜壮"'力

令T=f—fo,代入上式可得

g=（卜（7上—,〃

=6-拉咤卜（“初"

—〃一初04八

一ec〃

因此有

%）―^e-胸'。%

FS+j<a，o+j(2>r/T)t

同理可证x(t+ta)<-->e°cne0

证毕！

2-7.求周期性方波的(题图2-5)的幅值谱密度

解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数

C.=.J；e>n^'dt=牛sinc(〃叩)

则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有

002Tl

X(⑼=24Zsinc(Hft；T-neo

~T~0l

M=-<0

此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频以及所有谐频

处，其脉冲强度为4万(/〃被sinc(f)的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在

于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。

2-8.求符号函数的频谱。

1f>0

解：符号函数为x(，)=«—l/<0

0"0

可将符号函数看为下列指数函数当aTO时的极限情况

r-ea,r<0

解x(t)=sgn(r)=<

ec"t>0

X⑺=对16-52型力_e“J2项力

rriiI

+j2冗fa+j2兀f\

j__1

兀fj兀f

2-9.求单位阶跃函数的频谱：

解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即

1f>0

(/)=<1/2f=0

0t<0

)=g[1+sgn(川

所以：

1

-^(/)+—

2词

2-10.求指数衰减振荡信号x(r)=e"'sin?/的频谱。

1

XM万aliM

(=e~sincoat-e~dt

1

解：=万singfd

2〃(a+ja＞『+a)l

2-11.设X(/)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性

即：若

则x(ty^'^^x(f+f0)

证明：因为±i2

F[e^]=3(f+f0)

又因为.小±7%x(/o)*F[产咖]

x(+/0)=X(/+/0)

证毕!

2-12.设X(/)为周期信号X")的频谱，证明傅里叶变换的共轨和共扼对称特性

即：若X(t)<FT〉X(/)

则7)

式中x"⑺为x(f)的共辄。

证明：x(f)=X(/)>2项4

Xt(f)=[f+Xx(t)e-^df

由于Lj」

=Cx^e^'dt

J—00

上式两端用•替代，得

x*(7)=匚x*(f)er物力

上式右端即为x*⑺的傅里叶变换，证毕！

特别地，当x(f)为实信号时，代入/⑺=x(r),可得X(/)共辄对称，即

X(-/)=X*(/)

2-13.设x(y)为周期信号x(f)的频谱，证明傅里叶变换的互易性

即：若x(f)y~>X(/)

则x(r)Q^M-/)

证明：

由于x«)=rX^e^'df

J-00

以-r替换，得

x(T)=j1二X(7)e-，2琬4

上式f与/互换即可得

%(-/)=CX")/2切由

即x(f)»x(-/)

证毕。

特殊情况，当x(f)为偶函数时，

2-14.用傅里叶变换的互易特性求信号gQ)的傅里叶变换G(/),g⑺定义如下:

g小告

且已知

2a

x(t)="小

«2+(2#)2

解：当。=2万，不难看出g⑺与X⑺非常相似。代入a=2为根据傅里叶变逆换有

e-2叩=r—巫幺—/于/=_L.22小

-L(2—+(2疗/-2万跖+/2

等式两端同时乘以2万，并用Y替代变量f得

2加-2昨।=r^_-j^

1U1+/2edt

交换变量f和渭

2症=「二^-J2加力

+广

上式正是g⑺的傅立叶变换式，所以

g(f)=J<->G(f)=2

1+r

2-15.所示信号的频谱

x(f)=—X[(f—2.5)+%2(/—2.5)

式中看⑺，必⑺是如图2-31b),图2-31c)所示矩形脉冲。

解：根据前面例2-15求得x6),X2⑺的频谱分别为

X")=^^和乂2(/)=浊粤

7JJ7g

根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：

4sin/+sin3〃

X(f)=e"

图2-31

2-16.求信号x(r)的傅里叶变换

x(f)=e~u''a>Q

解：由例2-16已知e-a,«(r)<-FT->——J——

a+j27tf

注意到x(f)为实偶函数，t>0时x(f)=,<0时x(f)=e"'〃(T),所以

x(O=e-alu(t)+,根据线性叠加特性

X(/)=F[e%Q)]+F[e，(T)]

又根据时间比例特性有x(-fX(-7),所以

最后得

X(/)=---+---=,2：

a+j2ma-jlnfa-+(2力

在实际应用中，一般。为>0的实数

则工]

aJ

2-17.已知信号试求信号x(0.5r),x(2。的傅里叶变换

工卜|<(

X。)=<[0,卜]>(

解：由例可知X")的傅里叶变换为

X(/)=27；sinc2加

根据傅里叶变换的比例特性可得

如图2-32所示,由图可看出，时间尺度展宽(a<1.0)将导致其频谱频带变窄，且向低频端移动,

F[x(0.5/)]=—2T,sinc[=44sinc(4万4)

F[X(2/)]-sinc(2万，()=7]sinc(7tfTl)

这种情况为我们提高设备的频率分析范围创造了条件，但是以延长分析时间为代价的;反之，时间

尺度压缩(Q1.0)会导致其频谱频带变宽，且向高频端扩展，这种情况为我们提高信号分析速度提

供了可能。

A2T

-----------t---------11

Tv

(t/2)l\

1a=i0L'T

_________

2-20.下面的信号是周期的吗？若是，请指明其周期。

.71,71

(1)f(t)=二。sin—f+bcos—f(30)

53

.t71

(2)/«)=-tzsin—r+/?cos—r（12万）

63

二osin(£+()8)

(3)/(f)=(f—7T)

3

(4)/(f)=acos(j+1)(8)

45

2-21.如图所示，有N=2〃+1个脉宽为7的单位矩形脉冲等间隔（间隔为7〉T）地分

布在原点两侧，设这个信号为x«）,求其FT。

解：由题意，

x（f）=汽/«-〃?7）

其中Xo（f）=Gr（f），其FT为Xo（«o）=Tsinc（岸）。根据FT的时移特性，可以求得

jintoT-j(n+\)o)T

X(0)=X°⑼X°3)•一『L

m=-n

eja,T/2^ejN(oT/2

x0(M・加r/2(,&r/2_0-"4/2)

(评M12_e-jNcoT/2^

(〃s/2—/W/2)

.「NafT、

sin(一)

X0(M・一会

如(一)

下面分析一下所求的结果。

sin（^

9）

当3=3竺时，由罗彼塔法则可以求得------2_-=N，因此X（0）=NX0（①），是单

./(dT、

2

个矩形脉冲频谱（⑼的倍，这是个矩形脉冲的谱相互叠加的结果；而当丝

X.NN0=2（加不

°NT

.,N（yT、

sin（---）

是N的倍数）时，------2=o,这是N个谱相互抵消的结果。见图（b）。

..CDT.

sm\）

可以看出，如果N不断增大，这些等间隔分布的矩形脉冲的频谱能量逐渐向离散点

0=网生处集中，而且幅度也越来越大。特别地，当N.8时，时域信号变成了周期矩形脉

T

冲信号，而频域则变成了只在离散点切=二竺处有值的离散谱，在这些点处的频谱幅度变成

T

了冲激信号（因为能量趋于无穷大）。这也应验了：借助于冲激信号，周期信号也存在FT。

2-22.“时域相关性定理”可描述如下

F[Rxy(r)]=X(f)-Y(f)

试证明。

下面给出两种证明方法。

证明1：

FK,(T)]=「[[x(t)-y\t-T)dty-^dr

'JJ-00LJ-8

=fxQ)[[—工)e"4rd汇dt

J-00LJ-co

=j：x(f){[j：y*Q—r)e-J2次IH«T)力卜2加

=fXx(t)e-j21frdt]「/(-(r-Ok-72¥(r-,)</(r-/)

J-SLJ-O0

=x(/)・y*(/)

这里利用式：F[y\-t)]=Y\fy是FT的“反褶共知”性质。

证明2：

根据相关运算与卷积运算之间的关系

&、,⑺=x(T)*y(t)

利用FT的“反褶共筑”性质，可以直接得到结论。

在式中，令x=y，则可得

自相关的傅里叶变换

F[Rx(r)]=X(f)-X\f)=\X(f)f

式中说明，“函数相关的FT是其幅度谱的平方“，换句话说，“函数的自相关函数与其幅度谱的

平方是一对傅里叶变换对”。

利用FT的奇偶虚实性，若y(f)是实偶函数，那么丫(/)也是实偶函数。这样我们就得到了

一个特例结论，

F&⑺]=x(/).丫*⑺=x⑺♦y(f)

即当y«)是实偶函数时，相关性定理与卷积定理是一致的。

2-24.帕斯瓦尔定理

匚即)「力=匚区(*4

证明：

2

£|/(0|dt=x(t)x\t)dt

=X(/)/磔/']dt("T定义)

=匚必)•(匚X*(/)e-”胡0)力

=匚X*(/)・(J：x"，2切4(交换积分次序)

=fX*(/)X(/)#(FT定义)

J-00

2

=-X⑺Idf

第三章习题及题解

1试说明二阶装置的阻尼比，多采用(=(0.6-0.7)的原因

答：二阶系统的阻尼比，多采用，=(0.6-0.7)的原

因，可以从两个主要方面来分析，首先，根据系统不

失真传递信号的条件，系统应具有平直的幅频特性和

具有负斜率的线性的相频特性，右图所示为二阶系统

的幅频特性和相频特性曲线，严格说来，二阶系统不

满足上述条件，但在一定的范围内，近似有以上关系。

在特性曲线中可以看出，当3<0.33“时，4对幅频

特性影响较小，力(3)—3曲线接近直线。A(3)在该

范围内的变化不超过10%,可作为不失真的波形输

出。在3>(2.5-3.0)3“范围内。(3)接近180°,且

差值甚小，如在实际测量或数据处理中用减去固定相

位差的方法，则可以接近不失真地恢复被测输入信号

波形。若输入信号的频率范围在上述两者之间，由于系统的频率特性受C的影响较大，因而需

作具体分析。分析表明，当g=0.6〜0.7时，在3=(0-0.58)3“的频率范围中，幅频特性A(3)

的变化不超过5%,此时的相频特性曲线也接近于直线，所产生的相位失真很小。

其次其他工作性能综合考虑，单位阶跃信号输入二阶系统时，其稳态输出的理论误差为零。

阻尼比将影响超调量和振荡周期。421,其阶跃输出将不会产生振荡，但需要经过较长时间才

能达到稳态输出。4越大，输出接近稳态输出的时间越长。4<1时,系统的输出将产生振荡。

。越小，超调量会越大，也会因振荡而使输出达到稳态输出的时间加长。显然，4存在一个比

较合理的取值，C一般取值为0.6〜0.7。

另外，在斜坡输入的情况下，4俞小，对斜坡输入响应的稳态误差2/3.也俞小，但随着

。的减小，超调量增大，回调时间加长，当U=0.6〜0.7时,有较好的响应特性。

综上所述，从系统不失真传递信号的条件和其他工作性能综合考虑，只有4=0.6~0.7时,

才可以获得最佳的综合特性。

2试述信号的幅值谱与系统的幅频特性之间的区别(1)对象不同，前者对象是信号；

后者的对象是系统；(2)前者反映信号的组成，后者反映系统对输入信号不同频率成分的幅值

的缩放能力(3)定义不同：处理方法各异：前者是对信号付氏变换的模，后者是输出的付氏变

换与输入的付氏变换之比的模

3已知信号x(t)=5sin10t+5cos(100t-7t/4)-t4sin(200t+n/6).通过传递函数为

H(s)=——--的测试系统，试确定输出信号的频率成分并绘出输出信号的幅值谱。

0.0055+1

解：将输入信号的各次谐波统一写成XiSingit+cpG的形式

x(t)=5sin10t+5sin(100t+7i/4)+4sin(200t+7r/6)

信号x(t)由三个简谐信号叠加而成，其频率、幅值、相位分别为

频率幅值Xi相位9xi

(D|=10AI=5<Pxl=O

CD2=100Ao=5(Px2=r/4

A=4(PX35/6

W3=2003

设输出信号为y(t),根据频率保持特性，y(t)的频率成分应与x(t)的频率成分相同，各频率成分

的幅值和相位可由输入信号的幅值和相位与测试系统频率响应特性H((o)确定，根据题设条件，

可得系统的频率响应函数

1

H(co)=

0.005勾+1

系统的幅频特性

1

4口)=

11+(0.0050)2

。(。)=-arctg0.005co

输出信号y(t)的频率、幅值、初相位分别为

频率幅值Y=A(g)Xi相位(pyi=(p(G)i)+(pXi

C0|=10Y1=4.99(py|=-0.05

a)2=100Y2=4.47(py2=0.32

-

O>3=200Y3=2.83(py3=0.26

绘出y(t)的幅值谱如右图。

4s在对某压力传感器进行校准时，得到一组输入输出的数据如下:

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

正行程平均值220.2480.6762.4992.31264.51532.81782.52012.42211.6

反行程平均值221.3482.5764.2993.91266.11534.11784.12013.62212.1

试计算该压力传感器的最小二乘线性度和灵敏度。

解由校准数据得知，该压力传感器近似线性特性，迟滞误差较小，可用平均校准曲线来计算

根据3—14式

数据序号1234567892

阳0.10.2030.40.50.60.70.80.94.5

%220.75481.55763.3993.101265301533.45178332013.02211.8511265.6

20.010.040.090.160.250.360.490.640.812.85

22.089631228.99397.24632.65920.071248.311610.41990.667146.71

x=—Vx,==4.5=0.5

〃乙，9

-1vU265.6„

y==1251.73

22

Lxx-Z(x,-x)(x,-x)=Z》，-nx=2.85—9x0.5=0.6

Lrv=EX^<=7146.71-9x0.5x1251.73=1513.93

i=\

1513.93cccc

in===-------=2523.2

Lxx0.6

ft==1251.73-2523.2x0.5=-9.87

最小二乘拟合直线方程式为

y=2523.2x-9.87-

再将各个输入值Xi代入上式，依次找出输出一输入校正值与拟合直线相应点数值之间的最大偏

差(见表？？？？)，根据式(3T0),

AZ.4916

线性度=±―^xlOO%=---------x100%=—2.2%

A2211.85

压力传感器的平均灵敏度用输出量和输入量的测量范围之比表示,

0.10.20.30.40.50.60.70.80.9

%220.75481.55763.3993.101265.301533.45178332013.02211.85

yi-y242.45494.77747.09999.411251.731504.051756.372008.692261.01

%-21.7-13.2216.21-6.3113.5729.426.934.31-49.16

„y2211.85—220.75.、_1...._

S=—=----------------mv■(kPa)=248o8o.8o8o〃?v/kPa

x0.9-0.1

也可以由拟合直线方程的斜率得到

S=k=2523.2mv/kPa

5试证明由若干个子系统串联而成的测试系统的频率响应函数为

"3)=在",3)

1=1

由若干个子系统并联而成的测试系统的频率响应函数为

”(⑼这修(⑼

1=1

证明：图示为两个频率响应函数各为修(。)和”2(。)串联而成的测试系统，假设两个子系统之

间没有能量交换，系统在稳态时的输入和输出分别为x(t)、y(t),显然，根据频率响应函数的定

义，有

〃/八、一y（⑼一y（O）z（。）

n\CD）-----------------------♦-----------

X（（y）Z（（y）X（（y）

即

"（©）="］（0）♦”2（⑼

对于n个子系统串联而成的测试系统，可以将前（n-1）个子系统视为一个子系统，而把第n个子

系统视为另•个子系统，应用两个子系统串联时频率响应函数的结论并递推可得

"（⑼=口",3）

/=1

对于n个子系统并联而成的测试系统，如图所示，系统的稳态输出

y。)=%0)+为“)+•••+%«)

Y(ty)匕(①)+%(。)+…+工(。)

H(①)

X(。)X(o)Z=1

证毕。

6某一阶温度传感器，其时间常数T=3.5（s）,试求：（1）将其快速放入某液体中测得温度误差

在2%范围内所需的近似时间。2）如果液体的温度每分钟升高5℃,测温时传感器的稳态误

差是多少？

解：（1）将温度传感器快速放入某液体中测量温度，属于其实质是阶跃输入

根据阶跃输入状态下，一阶系统的响应特征，当t约为4T时，其输出值为输入值的98.2%,

（2）如果液体的温度每分钟升高5℃,传感器的输入信号为斜坡输入

x（t）=5t/60其拉氏变换为X（s）=5/60s2

一阶系统的传递函数

H〃(,s、)=-丫---⑸--=----1---

X(s)TS+1

y(s)=H(s).X(s)端]

52(»+1)

60

测温时传感器的稳态误差

e=5T/60=0.29

7试述线性系统最主要的特性及其应用

线性系统最主要的特性是线性特性频率保持特性。

根据式3-2,线性特性表明，对于线性系统，如果输入放大，则输出将成比例放大；同时作

用于线性系统的两个输入所引起的输出，等于两个输入分别作用于该系统所引起的输出的和，

当多个输入作用于线性系统时，也有类似的关系。据此，在分析线性系统多输入同时作用下的

总输出时，人们常常将多输入分解成许多单独的输入分量，先分析各分量单独作用于系统所引

起的输出，然后将各分量单独作用的输出叠加起来便可得到系统总输出。

频率保持特性指线性系统的稳态输出y（t）,将只有和输入频率相同的频率成份，既

若x«)=£x,.网

/=1

则y⑺=丑匕・/即4)

f=l

也就是说，输出y(t)与输入x(t)保持相同的频率成分，由线性系统的叠加特性可知，多个

简谐信号叠加的输入，其输出必然有也只能有有与输入频率相同的频率成分。在测试工作中，

人们常利用该性质，判断输出信号的信源，分析系统的传递特性，改善系统的信噪比，例如，

一个系统如果处于线性工作范围内，当其输入是正弦信号时，它的稳态输出一定是与输入信号

同频率的正弦信号，只是幅值和相位有所变化。若系统的输出信号中含有其他频率成份时，可

以认为是外界干扰的影响或系统内部的噪声等原因所至，应采用滤波等方法进行处理，予以排

除。

8试求由两个传递函数分别为———和工~生色-----r的两个子系统串联而成的测

2

3.6s+0.4s+1.3。“S+con~

试系统的总灵敏度(不考虑负载效应)

解：在不考虑负载效应的条件下，由题给传递函数的两个子系统串联而成的测试系统的频率响

应函数为

2.428。；

//(«)=22

3.60+0.4-GJ+1.3仍〃可+公〃

系统的总灵敏度为

2啊

S="(⑼|=———4二22.4

降°0.4

9对某静态增益为3.0的二阶系统输入一单位阶跃信号后，测得其响应的第一个峰值的超调量

为1.35,同时测得其振荡周期为6.28s,试求该测试系统的传递函数和系统在无阻尼固有频

率处的频率响应。

解：据题意，被测二阶系统是•个欠阻尼二阶系统，其最大超调量Mi和阻尼比4的关系式

将Mi=1.35/3.0=0.45代入上式，可得C=0.24

其有阻尼固有频率为0d=2工=①小Y

式中Td为振荡周期，由题设条件Td=6.28,解出3n=1.316

该系统的传递函数为

5.20

"(s)=2c”2

S+2Qa)nS+CDn1+o.63s+1.73

系统的频率响应函数

9

"3)=

(药产+23M+①：

3%2

H3)|一.=6.25J

初)2+2,3,®+叫2

10试述脉冲响应函数与频率响应函数、传递函数之间的联系。

当输入信号的作用时间小于0.1T(T为一阶系统的时间常数或二阶系统的振荡周期)时，

则可以近似地认为输入信号是单位脉冲信号5(t),其响应则称为单位脉冲响应函数，又称为权函

数，根据B(t)函数的筛选性质：

x(M="(归”力=1

立即有y(«y)="(⑼X(M=W(cy)

对上式两边求付氏逆变换：

以上推导可以看出在单位脉冲信号输入的时候，系统输出的频域函数Y(s),就是系统的频率响

应函数H(G>),而其时域响应函数y(t),就是脉冲响应函数h(t),它表示测试系统在时域内的动

态传递特性。

第四章习题与题解

1、余弦信号被矩形脉冲调幅,其数学表达式为

cos2机r

加0

试求其频谱

解:设xv(/)=cos2小1•w(r)

fl\t\<T

其中w(r)=\

[o\t\<T

"cos2矶〃=；3(/+/°)+J6(/—/o)

F[w(/)]=「w⑴=[:e_2m力二2Tsinc2^fT

“4(f)]=2Tsinc24T*[；5(/+J。)+；b(/-f())]

=Tsinc[17c{f+f0)T]+Tsinc[2万(/-70)T]

2、已知余弦信号％”)=以为2胡/,载波)=cos2/f,求调幅信号x,“(f)=xQ)-z(f)的频

谱。

解：

W)]=1^(/-/o)+^(/+/o)

“(6=](/-力)+](/+力

X,"(7)=[；//—/o)+；b(/+/o)]*弓3(/—1)+；//+力)]

+

=^WA+/o)+^(/+A-/o)+^(/-A-/o)+^/-/；+4)]

3、求余弦偏置调制信号x,"(f)=(1+cos2^(/)cos27tf.t

解：

X,"(/)=网cos2/]]+尸[cos2/cos2/7]

=如"力+演〜口+E"A+/°)+W/°)

4、已知理想低通滤波器

W\f\<f.

|o其它

试求当b函数通过此滤波器以后的时域波形。

解：根据线性系统的传输特性，将3函数通理想滤波器时.，其脉冲响应函数力(f)应是频率

响应函数”(/)的逆傅里叶变换，

由此有：

J-00

j2j21tf

=^Aoe-^°e'df1

=2Aofcsinc[2^fc(t-ro)]

第五章习题解

5-1.画出信号数字分析流程框图，简述各部分的功能。

解：下图为信号数字分析流程框图，整个系统由三部分组成：模拟信号予处理，模数转换和数

字运算分析。

模拟信号予处理模拟数字转换数字分析

抗

幅

亚

幅

采

运

频

值

示

值

样

算

混

量

输

适

保

分

滤

化

出

调

持

析

波

珀）