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文档简介
式中:Ke=Ke+/r(G)=fE/(N:Jdx+E/fd(x)(w;jN:dx,I式中:单元的外力功为冷f斤+竽層)心扣"冗才+折%詔・(75.3)式中:K2=f(N;)'N;dx,K:严f(N;y(从〃)N;dx,Qx/1=(Qx/l)+Qx^x)/1,p为任一随机变量据此集成结构总能竜和总外力功,利用Hamilton原理『5(7一U)dt+『8Wcdt=0,即対总位移向炭q取变分,考虑到q的任意性,可得系统运动方程,进而得到如I、•特征问题方程:[-s2M+(-K)+pKGc+QKgd]q=0(7.5.4)式中,刚度系数匕=心+心(。),其中你•是确定性分量,Rj=Ei(:N:a)N:a)dx,而随机扰动项:k/G)=刖:d(x)N:(x)N;(x)dx°丁•是可以写出刚度系数、质耄系数以及儿何刚度系数的均值和方差的表达式匕役在总刚度矩阵中两个刚度系数血和也的互协方差,当单元尺寸相等时,利用方差函数可作进一步简化。利用局部平均理论,在每个单元上E、m、Q的均值为零,方差为:畑(d)=<ri/£(/J=况0/le%"血.)=0计”仏)=<?0„,/le(7.5.5)畑(2)=亿式中,人几(。、人(/丿和©£、%、色分别为随机变量a(x)、b(x)和p(x)的方差函数和相关偏度。利用协方差函数写出两刚度系数或两质最系数的互协方差。
最后,特征值问题的方程可表达为(K+K(Q)+PKgg+PKgc(Q)+QKgd+QKgd(Q)]x=2[A/+;W(Q)>(7.5.6)或Kx=XM*x。相应平均问题的方程为R4-PKCC+QKgd\x=IMx(7.5.7)利用单元刚度、质最和几何刚度Z间的协方差的表达式,等效刚度矩阵K*的协方差矩阵能用独立的a(x)、b(x)和p(x)來表示。解未扰动的特征值问题(平均值问题)可得特征值的均值。対满足小扰动情况,可推导出求两个特征值Z间的协方差公式。在建立了材料特性和儿何尺寸有随机扰动的梁-柱的随机特征值问题的随机有限元公式后,利用局部平均理论,随机过程由均值、方差和相关偏度来定义。上述公式可推广到二维或三维血。•线性结构系统的瞬态响应设结构系统的质届矩阵M是确定性的,阻尼、刚度和外力的概率分布由广义协方差矩阵Cov(bi,bj)(i,j二1,2,…,q)表示,线性结构系统的运动方程为M.f(bj)+C(b)f(b,/)+K(b)x(b,f)=F(/?,/)(7.5.8)式中,质量阵M、阻尼阵C(b)和刚度阵K(b)都是n阶方阵,位移向量x和荷载向量F为n阶列阵。用Taylor级数对•随机向鼠b展开,并保留二阶项,则位移向屋x(b,t)关丁万的二_q—]r勺_阶摄动式为x(b,t)=x(f)+/工皿(/)△$+—Y2工农沏(/)△$△/?」(7.5.9)i=i2;,;=!其中,Y是小参数;万是b的均值;1(f)、云&)和云问(/)分别表示位移向量的均值、位移向鼠相刈・j:b,的一阶差商并在乙处取值和位移向鼠相刈•j:bi.bj的二阶差商并在万处取值;△bi是bi与b之差。同样可以对C⑹、K(b)和F(b,t)写出关rbi的二阶摄动展开式O将这些展开式代入运动方程(7.5.8)式中,归并Y和厂项后,得到零阶方程:+Ci(/)+Kx(t)=F(Z)(7.5.10)求解递归微分方程组(7.5.10)〜(7.5.15)式,可同时得至(/)、&(/)。为节省计算量,可利用特征正交性将协方差矩阵Cov(b,bJ转化成不和关的方差对角阵Var(cJ。在得到零阶方程的振型矩阵后,可使上述递归方程解耦。-阶方程:Mxhi(t)+Cxhi(t)+Kxhi(t)=尸血-阶方程:Mxhi(t)+Cxhi(t)+Kxhi(t)=尸血CM)(/=h2、…,q)式中,Fihi^xJ)=Fbi(t)-\Cbix(<t)+KhiX(t)(/=t2,…,q)二阶方程:Mx2(z)+Cx2(r)+Kx2(r)=?2(x,Xb^t)式中:耳(x,Xhi,0=X|I2FbibiQ)Co\(bi,bJ-1+ChibiX(t)+^Ki>ihiX(t)+Chixbi(f)+Kb<xbi(/)|Coi(b.,bJ〜]4_(0=-^Xbibi⑴Cov&,bj)(7.5.11)(7.5.12)(7.5.13)(7.5.14)(7.5.15)假定阻尼与刚度成正比,炖应J:k阶模态的阻尼比是§’,则各阶解耦的递归方程组为零阶方程:xk+2^kcokxk+co[xk=fkk=1,2,…川(7.5.16)一阶方程:xkci+2^cokxkci+co^xkl.=fkcik=l,2,/=1,2,--,r(7.5.17)式中,xkci是Xci的第k个分量;fkci是fci的第k个分量,且几=①'Fki(f),i=l,2,…,r二阶方程:xk2+2^ka)kxk2+co;xk2=fk2k=1,2,…,"(7.5.18)式中,X&2是尤2的第k个分量;几2是几的第k个分量,且几二①‘心⑴。由递归方程组(7.5.16)〜(7.5.18)式解得X、心和x2,再变换成1(f)、乙(/)和〈(f),然后得到位移、应变和应力的概率分布、均值、方差和互协方差。•随机有限元法的计算机实施不确定结构系统动力响应分析的随机有限元法的计算机实施过程,包含对前而导出的一系列递归方程组的时间积分,可用Newmark-B法、W订son-()法的直接积分法计算。为了给出均值和方差,需要积分的方程数目共有(q+2)个。所有积分过程都用了相同的有效刚度矩阵,对运用并行计算方法十分有利,也说明随机有限元法在动力分析中的效用。対J:概率非线性系统,仍可采用隐式或显式的时域直接积分法。対均值方程求解,可用Newton-Raphson迭代进行。结构在具有时间随机性荷载作用I、•的动力响应分析,具有重要的现实意义,如受地震荷载、风荷载或车辆荷载作用,在某给定时刻荷载的一些物理参数还存在不确定性,因此有必要在n
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