常用矢量公式

Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse肂数学准备知识肇§1矢量代数一．二．蒇矢量定义肂垐AAAA,AA,A（单位矢量）A3膂在坐标系中AAeii直角系AAziAyjAzki1蒈方向余弦：袅cosAx,cosAy,cosAz,AcosexcoseycosezAAAAAA(A12A2213Ai2A32)2i1肅二．矢量运算节加法： A B B A 交换律衿(AB)CA(BC)结合律3薇AB(AiBi)ei满足平行四边形法则i1标量积：3袄ABAiBiABcosi1节芀肄矢量积：

AB BA 交换律A(B C) AB AC 分配律e1 e2 e3A B ABsin en A1 A2 A3B1 B2 B3蚃莂莆混合积：

A (B C) A B A C 分配律ABBA不满足交换律A1A2A3A(BC)B(CA)C(AB)B1B2B3C1C2C3螆双重矢积：A(BC)B(AC)C(AB)(AC)B(AB)C蒁（点3乘2，点2乘3）蒂A (B C) (A B) C螇三．矢量微分芄蒄

dA?dA?dAdtAAdtdtd(AB)AdBdABdtdtdt薂d(AB)AdBdABdtdtdt膈四．并矢与张量羆并矢： AB(一般 AB BA)，有九个分量。芃若某个量有九个分量，它被称为张量3 3蚂T AB AiBieeij Tijeeij eeij为单位并矢，张量的九个基。i,j 1 i,j蕿矢量与张量的矩阵表示： AB1莄AB(A1,A2,A3)B2B3T11 T12羂T AB T T21 T22T31 T32

A1Aeii, A A2 或A (A1,A2,A3)A33A1B1 A2B2 A3B3 AiBii 1T13T23T333100单位张量：010螁eieji1001羀张量运算：肆与矢量点乘：肅CAB螁与矢量叉乘：膇两并矢点乘：矢)

TV(TijVij)eeji,jiABC ABC ACB ACBCBA CBABCA BCACAB BCA BAC BACAB C AB C 并矢C AB C AB 并矢AB CD ABCD ABC AD CD AB (并袈两并矢二次点乘： AB:CD BC AD 标量螄与单位张量点乘： C C C袁 AB AB AB薈 :AB AB芆课堂练习（15-20分钟）薃 1．计算 A B A B 2B A羁 2．求证， M bac abc与矢量C垂直。（求M C）。罿3．计算下列各式：羇莁

⑴a(a b) ⑵ a (b a) ⑶ (j i)k ⑷ (k i)j（0， a2b a(ab)， －1， 1）肁4．证明下列各式：荿⑴(ab)(cd)(ac)(bd)(ad)(bc)蒅⑵ a (b c) b (c a) c (a b) 0莄证：⑴(ab)(cd)c[d(ab)]c[(db)a(dab)b]膁蒆

(ca)(db)(cb)(da)(ac)(bd)(bc)(ad)⑵a(bc)b(ca)c(ab)(ac)b (ab)c (ba)c (bc)a膇(cb)a (ca)b 0膃§2. 场的概念和标量场的梯度一、二、芁场的概念：袇描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。蚅描述场用一个空间中和时间坐标的函数：标量场(x,y,z,t)(x,t)袂A(x,y,z,t)A(x,t)矢量场莀当 ,A与t无关时称为稳恒场 （稳定场、静场），有关则称为变化场 （时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质： 如 ,A随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。芈二、标量场的梯度莇在M,M两点全微分： d dx dy dzx y z羅d dxex dyey dzez莀d ex ey ez d dx y zd（ed方向上的单位矢量）虿el，ddd螅cos（为与d之间的夹角）蚄在M点方向上导致有无穷多个，其中有一个最大，即d,定义梯度grad蒀0,dmax肀意义：空间某点上标量场函数的最大变化率，刻画了标量场的空间分薇布特征。已知梯度即可求出 沿任一方向的方向导致。蒃 等值面： (x) 常数的曲面称为等值面。薀 梯度与等值面的关系：梯度 等值面。膇 证： 对等值面上一点，沿等值的方向导数为零。羅 即cos 的 为 ，所以 与等值面垂直。2节三、 矢量微分算子 （直角坐标系中的表示形式）蚀 ex ey ez 具有矢量性质，分量是微分符号。x y z薈exeyez，，不能互换xyz蚆它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。芅AxAyAAexxeyyezzexAxeyAyezAzzxyzAAyAAAyAAexzeyxzezxyzzxxyex ey ez螀x y zAx Ay Az羈四、举例（1）求半径r的数值rr22212xxyyzz的梯度。膄此例中P,P点均可变动。一般称P为源点（一后电场中电荷所在点）。P为场点（观测点）。肃解：固有两个变量x,y,z和x,y,z我们可求r和rr11xx而ryy,rzz袀2(xx)x2rryrzrxxyyzzr荿rexeyezrrrr袆（2）求 ( )。袂解：()，()，xxxyyy( )羀z z z螀( ) exxeyyezz exxeyyezz芄§3. 高斯定理与矢量场的散度袅一、 矢量场的通量罿1．矢量族：在矢量场中对于给定的一点，有一个方向，它沿某一曲线的切线方向，这条曲线形成一条矢量线，又叫场线（对静电场称为电力线） ，无穷多条这样的曲线构成一个矢量族。羇2．通量：Ads称为A通过面元ds的通量，记作dAds，记作dAds，有限面积S，通量上Ads，闭合曲面S，通量上Sds，ds方向，由面内指向面外。S肆 >0，场线进入的少，穿出得多，称 S面内有源。蚄 =0，场线进入的与穿出得同样多，称 S面内无源。聿 <0，场线进入的少，穿出得少，称 S面内有负源。莈意义： 用来描述空间某一范围内场的发散或会聚，它只具有局域性质，不螈能反映空间一点的情况。莃二、高斯定理AdsAdVAxAyAzdxdydzxyzSVV腿一种面积分与体积分的变换关系，有时称为高斯公式（证明略）蝿三、矢量场的散度膆 为了反映空间某一点发散与会聚的情况，

可以将S面缩小到体元

V

，体元仅包围一个点，此时，高斯定理可以改为

Ads

AV，我们S用单位体积的通量来描述，则有ASAds膂，取极限VAlimSAds称为矢量A的散度。（>0,有源；=0,无源，<0,负V0V源）。有时表示成divA（divergence）。若空间各点处处A0，则称为无源场。艿例题：膀1.求r，其中rxxexyyeyzzez羈rx3xr2212.求yy22膅3，rxxzz(r0)rrxxyyzz荿3xr3yr3zr3r芇3xx3xx3yyr3r4yyr40rr莅3. 求证： A A A。羄证：AAxAyAzxyzAxAyAzxAxyAyzAzAA葿蚇肇螂螃肈§4斯托克斯公式与矢量场的旋度一、二、 薅矢量场的环量（环流）螅矢量A沿任一闭合曲线L的积分AdlL袃0表明在区域内无涡旋状态，不闭合，葿0表明在区域内有涡旋状态存在，闭合，芇意义：用来刻画矢量场在空间某一范围内是否有涡旋存在，具有局域性质。薄二、斯托克斯公式（定理）羃AdlAdS（证明略）LS袀三、矢量场的旋度蚅当L无限缩小，它用的面积化为 S时，芃AdlASAS，LnAAn，nLAdl肂AlimSSn，n为法线上单位矢。SnS0肇定义 A为矢量场的旋度，它在 S法线方向上的分量为单位面积上的环量。刻画矢量场场线在空间某点上的环流特征。若空间各点0，则A称为无旋场。r蒇例：1.r3肂解：它的x分量为zzyyyr3zr3zz13yyzz膂zzr3yr3r5yyy13yyzz蒈yyzr3zr3r5r0，同理，rr0袅r3xr3yr3z肅2.证明AAA节证：AAzAyyzxAzAzAyAy衿薇AAzAyAAxyzxx袄AAexAeyAezAexxA A节芀§5. 常用的运算公式肄一、 复合函数的“三度”运算公式fudfAudAAudA蚃u，u，udududu莂二、 积分变换公式莆高斯公式：AdsAdVdVASVV螆斯托克斯公式：AdlAdSdSALSS蒁格林公式：第一公式2dS蒂dVVS螇第二公式22dVdSVSdV dSV S芄一般规则dS dlS L蒄其他规则dV dSV S薂 dV A dS AV SdV T dSTV SdS dSV LdS A dl AS LdS T dl TS L膈dVTdSTdSTdlTVSSL羆一般变换规则证明：芃1.dVAdSAVS蚂证：任取常矢量C点乘上式两端蕿左dVCAdVAC用VV莄ABABAB羂 dS A C C dS A 用混合积公式S S螁2.dSAdlASL羀证：左CdSAdSACSS肆ACdlCdlALL肅三． 算符常用公式螁1.膇2. A A A袈3. A A A螄4. A B A B B A袁5. AB AB A B薈6.ABBABAABAB芆7.ABABABBABA8.A1A2AA薃A2羁9.AA2A罿10.0,A0羇证：莁6．ABABCACB微分运算肁ABABCACB去掉角标。荿7． AB A B A B B A B A蒅利用abcacbabc莄ABABCACB微分运算膁 用AC代替a， 代替b， B代替cAC B AC B AC B蒆 矢量运算ACB AC B AC B膇同样ABCBCABCABCA膃 AB A B A B B A B A芁袇§6. 有关矢量场的一些定理蚅一、关于散度旋度的四个定理1.2.袂标量场的梯度必为无旋场， 即 =03.4.莀矢量场的旋度必为无散场， 即 A 05.6.芈无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。莇 即若 A 0，则A ， 称为无旋场 A的标势函数。7.8.羅无源场必可表示为某个矢量场的旋度。莀即若B0，则BA，A称为无源场B的矢量势函数。虿二、亥姆霍兹定理螅任意的矢量场（ F 0, F 0）均可以分解为无旋场 F1和无源蚄场F2之和，即FF1F2，F10,F20。F1又称为F的横场部分，可引入标势，F1。F2又称为F的纵场部分，可引入矢势A，F2A。蒀三、一个矢量场被唯一确定的条件——唯一性定理肀定理： 在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及矢量场在区域边界上的法线分量，则该矢量场在区域内是唯一确定的。(x)在V内薇A(x)AnS f(S) 在S面上蒃证明： 假定有两个矢量场 F1 F2均满足上述条件薀即F1,F2,F1,F2,膇F1nf(S),F2nf(S),羅 则 F1 F2, F1 F2, F1n F2n节 引入 F F1 F2，蚀则 F F1 F2 0, F F1 F2 0薈∵ F 0，引入 ，F ，蚆F20,FnF1nF2n0（在S面上）。芅根据格林第一公式（含 ）22dS螀dVVS2FndS（∵在S面上Fn0）羈得dVVS20，即膄由于被积函数0，故上式成立，必有F 0,F1 F2。肃注：方程组若有解，则该解在上述条件下不必唯一，但该方程组是否有解与,和f(S)有关，只有当它们满足下述条件时才有解存在，袀由A0及AdVAdSVS荿得：0,dVfSdSVS袆§7. “三度”在各种坐标系中得表示式袂一、 矢量微分算子（哈密顿算子）羀直角坐标exxeyyezz螀柱坐标erreezz球坐标er11芄eerrrsin袅二、柱坐标、球坐标与直角坐标的关系xrcosrx2y2罿1.柱坐标与直角坐标yrsinzzzztgyxere,eer,ez0ercosexsineyereez羇esinexcosey0rrrezezereez0zzzxrsinrx2y2z2cosz肆2.球坐标与直角坐标yrsinsincos1rzrcos1ytgxersincosexsinsineycosez蚄ecoscosexcossineysinezesinexcoseyere,eer,e0聿ereez0rrrersinecose,esinercosee,莈三、“三度”在三种坐标系中的表示形式螈1．直角坐标系：exxeyyezzAAxAyAzxyzexeyez莃AzAyAxAzAyAxAeeexyzyzxzxyxyzAxAyAz2222x2y2z2腿2．柱坐标系：ere1ezzrr1rAr1AAzArrzrereez蝿2

1ArzrArrAAz1122rrr22z2rr膆3.球坐标系：ere1e1rrrsinA1r2Ar1sinA1Arrrsinrsin膂errersine1A2sinrrArrArsinA21112rsinr2rr2sinr2sin2r艿§8. 函数及其性质膀一、 函数定义x0xaaxa羈一维：xaaxadx1dxaxx0xx0yy0zz0膅三维：1rr00zz0r1r0r2r00sin荿xx0dV1（x在V内），导数xxxx。V0limxx0芇例如对于点电荷密度分布xx00xx0dVQx0V莅xx0xx00xx0V羄∴xx0Qxx0葿二、几个常用的性质b蚇ab肇a螂螃三、肈

f x x x0dx f x x0 a,b，f x为连续函数。f x x x0dx f x0x x ax x a函数的几种具体形式x1alima22a0xx1sinkxlimxax1sin2kxlim2kxx 1 eikxdk 1 coskxdk40薅电动力学中一个重要的函数形式为：螅rxx1211r3,rxx,rxx4r4r袃证明：①r21即r1,r0r3rr3r葿（∵1dr11rrrdr,rr2rr3）芇②r0，显然1r