南方医大医学统计学讲义04抽样误差与可信区间

第四章抽样误差与可信区间一、抽样误差与标准误(一)、均数的抽样误差概念由于总体中存在个体变异，所以由抽样得到的样本均数与总体均数之间存在差异，这种差异称均数的抽样误差。在抽样研究中，抽样误差是不可避免的，但可以估计其大小。(二)、中心极限定理

1、在正态总体中，随机抽取例数为n的样本，样本均数X服从正态分布；

2、在偏态总体中随机抽样，当n足够大时（n>50)，X也近似正态分布；

3、从均数为μ，标准差为σ的正态或偏态总体中，抽取例数为n的样本，样本均数X的总体均数仍为μ，标准差为σx(三)、标准误意义及其计算方法

1、意义：说明均数抽样误差大小的指标，用σx表示。σx越大，均数抽样误差越大；反之，σx越小，均数抽样误差越小。2、计算公式：

.........（理论值)

...........（估计值)与

成正比，与成反比，可以通过增加n减小。3.均数标准误的用途：(1)说明均数抽样误差大小，反映均数的可靠性。σx

越大，用样本均数推论总体均数越可靠，反之亦然(2)估计总体均数的可信区间(3)用于进行假设检验二、t分布（一)t分布含义：由于呈正态分布N(、)，则可以将一般正态变量变换成标准正态变量：

将一般的正态分布变换为标准正态分布N(0、1)。在实际应用中，往往未知，用代替，则只能对做t变换而不是变换：

=每个可以算出一个t值，t值的分布称t分布。(二)

t分布特征：1、以0为中心，左右对称的单峰分布；2、t分布的形态与自由度ν有关:1)

ν越小，t分布曲线峰部越低平而尾部翘得越高；（t分布与u分布相差较大，即相同的曲线下面积，t值>u值)2)

ν逐渐增大，t分布逼近标准正态分布；3)

ν＝∞，t分布＝标准正态分布。（同样的曲线下面积，t值=u值)4)

自由度不同，t分布曲线形态就不相同，因此t分布是一簇曲线，则就是说，自由度不同，相同的t值所对应的面积不同，或说，出现该t值的概率不同。

(三)

t界值表对应于每一自由度取值，就有一条t分布曲线，每条曲线都有自身曲线下t值的分布规律，相同曲线下面积所对应的t值不同，计算t值较为繁杂。为此，统计学家已制成t值表，通过查表即获得相应的t值。查表须注意：1、\t"/kecheng/2013/_blank"/zhicheng/横标目(左边第一列)为自由度（),纵标目为概率（P或)，也就是t界值以外单侧或双侧尾部的面积占总面积的百分比，表中的数字就是对应于和的t界值，用tα,ν表示；2、t值有正负值，由于t分布是以0为中心的对称分布，故表中只列正值，查表时，不管t值正负只用绝对值；3、当ν一定时，t值越大，Ｐ越小；4、当Ｐ一定时，ν越大，t值越小；ν＝∞时，t＝u；5、当ν和t值一定时，双侧Ｐ＝2倍单侧Ｐ。即

双侧tα,ν＝单侧tα/2,ν。例

ν=10时：单侧

=1.812即

P(t≤-1.812)=0.05

或P(t≥1.812)=0.05

双侧

=2.228即

P(t≤-2.228)+P(t≥2.228)=0.05三、总体均数的估计（一)估计方法：1、点值估计：用样本均数（率)直接作为总体参数的估计值。2、区间估计：（二)总体均数的区间估计

1、定义：按一定的概率（1－α)确定包含未知总体均数的可能范围。所确定的范围称为总体均数的可信区间（或置信区间，CI)；1－α称可信度，最常用双侧95%。

2、估计方法：(1)当σ未知，而且样本例数n较小（n<60)时，按t分布原理估计：

±tα,ν.

(2)当σ已知，或σ未知但样本例数足够大（n≥60)时，按标准正态分布原理估计：A．σ已知：

（－uα.

,＋uα.)

uα为u界值，

uα.B．σ未知但n足够大(n≥60)：（－uα.

,

＋uα.

)

uα.按标准正态分布原理估计总体均数可信区间时，熟记下列常用区间：\t"/kecheng/2013/_blank"/yishi/

95%总体均数可信区间：

1.96

或

1.96

99%总体均数可信区间：

2.58

或

2.58例

n=20,

=118.4mmHg,

s=10.8mmHg,估计其95%可信区间。

（－tα,ν.

,

＋tα,ν.

)

t0.05,19=2.093

==2.41

（118.4－2.093×2.41,118.7+2.093×2.41)

（113.3，123.5)mmHg例

n=200,

=3.64mmol/L,s=1.20mmol/L,估计其95%可信区间。

uα.

（3.64-1.96×

,3.64+1.96×)

（3.47，3.81)mmol/L

3、可信区间的涵义

以95%总体均数可信区间为例：

有95%的可能所计算出的区间包含了总体均数，即估计正确的概率为95%，错误5%。

4、可信区间两个要素：

（1)准确度：反映在可信度（1-α)的大小。1-α越接近1，越准确。

如可信度99%比95%准确。

（2)精确度：反映在区间范围宽窄。范围越摘越好。95%可信区间精度优于99%。

在n确定的情况下，准确度↑，精确度↓;

在兼顾准确度和精确度时，一般取95%可信区间;

在可信度确定的情况下，增加样本例数，可提高精确度。

5、可信区间与正常值范围区别：

（1)意义不同：正常值范围是指绝大多数观察值在某个范围；可信区间是指按一定的可信度估计总体参数（均数)可能所