第34讲　一元二次不等式及其解法

第34讲一元二次不等式及其解法考试大纲1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.——知识聚焦——1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式叫作一元二次不等式．2．一元二次不等式与相应的二次函数以一元二次方程的关系如下表判别式Δ＝b2－4Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集________________________一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集________________________——正本清源——►链接教材1．[教材改编]不等式－x2－x＋2≥0的解集是________．2．[教材改编]已知集合A＝{x|3x－2－x2＜0}，B＝{x|x－a＜0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________．3．[教材改编]若关于x的不等式m(x－1)>x2－x的解集为{x|1<x<2}，则实数m的值为________．4．[教材改编]若关于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一负根，则a的取值范围为________．►易错易混5．解不等式的两个易错点：二次项系数为负；二次项系数为0.(1)不等式x(1－2x)＞0的解集是________；(2)不等式(ax－1)(x＋2)＜0(－eq\f(1,2)<a≤0)的解集是________．►通性通法6．求一元二次不等式中参数的值的两个方法：判别式；根与系数的关系．(1)若关于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集为R，则常数a的取值范围是________．(2)若关于x的不等式ax2＋3x＋c≥0的解集为[1，2]，则a＝________，c＝________．7．一元二次不等式的两个应用：不等式在R上恒成立；不等式的解集为R.(1)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________(2)若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围________．►探究点一一元二次不等式的解法例1(1)[2014·珠海二检]不等式－2x2＋x＋3<0的解集是()A．{x|x<－1} B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(3,2)))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(3,2))))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(3,2)))))(2)[2014·山东文登期末]已知一元二次不等式f(x)<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(1,2)))))，则f(10x)>0的解集为________．[思路点拨](1)把不等式化为ax2＋bx＋c>0(a>0)的形式，求出相应二次方程的两根，从而得出不等式的解集；(2)由已知得到不等式f(x)＞0的解集，即得到10x的取值范围，从而得出原不等式的解集．[总结反思]解一元二次不等式的一般步骤是：①化为标准形式(a>0)；②确定判别式Δ的符号；③若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；④结合二次函数的图像得出不等式的解集．【配例1使用】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．变式题解关于x的不等式：x2－(3＋a)x＋3a►探究点二一元二次不等式恒成立问题►考向一形如f(x)≥0(x∈R)例2(1)[2014·武汉调研]若一元二次不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A．(－3，0] B．[－3，0)C．[－3，0] D．(－3，0)(2)[2014·泉州四校联考]设a为常数，∀x∈R，ax2＋ax＋1＞0，则a的取值范围是()A．(0，4) B．[0，4)C．(0，＋∞) D．(－∞，4)[总结反思]解决含参一元二次不等式恒成立问题，通常有两种方法：一是函数性质法，借助相应的函数图像，构造含参数的不等式(组)；二是分离参数法，把不等式等价转化，使之转化为求函数的最值问题．►考向二形如f(x)≥0(x∈[a，b])例3(1)在R上定义运算：xy＝x(1－y)．若对任意x＞2，不等式(x－a)x≤a＋2都成立，则实数a的取值范围是()A．[－1，7] B．(－∞，3]C．(－∞，7] D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)(2)[2014·郑州模拟]设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3,4)))，feq\f(x,m)－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是________．[思路点拨](1)先由定义得到一元二次不等式，讨论其相应的二次函数在区间(2，＋∞)上的最小值都不小于0，从而确定参数的范围；(2)把变量与参数分离，将问题转化eq\f(1,m2)－4m2≤－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1，再求－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1在区间[－eq\f(3,2)，－eq\f(3,4)]上的最小值．【配例3使用】已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．►考向三形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])例4[2014·云南联考]已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，求x[思路点拨]可把x当作a的系数，把不等式化为关于a的不等式，则问题转化为一次函数在区间[－1，1]恒成立．►探究点三一元二次不等式的应用例5某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，则售出商品数量就增加eq\f(8,5)x成，要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y元，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；(2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围．[思路点拨](1)根据商品的原售价及销售量表示出降价后的售价及销售量，进而求得函数关系式；(2)可根据营业额的取值范围，列出不等式，解不等式得x的取值范围．[总结反思]解不等式应用题，一般可按如下四步进行：①阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；②引进数学符号，用不等式表示不等关系；③解不等式；④回答实际问题．【配例5使用】行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足关系式：s＝eq\f(nv,100)＋eq\f(v2,400)(n为常数，且n∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6<s1<8，,14<s2<17.))(1)求n的值．(2)要使刹车距离不超过12.6m变式题国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约销售100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元，则每年的销售量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税的金额不少于112万元，求R的取值范围．创新应用4.一元二次不等式与二次函数、二次方程的交汇问题【典例】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且满足a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0.(1)证明：y1＝－a或y2＝－a；(2)证明：函数f(x)的图像必与x轴有两个不同的交点；(3)若关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|x>m或x<n，n<m<0}，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．[思路](1)分解因式求解；(2)利用图像求得；(3)根据解集的端点值与对应方程根的关系求解．[方法解读]一元二次不等式与一元二次方程以及二次函数图像之间存在着紧密的联系，利用数形结合