常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法课件

3.4线性非齐次常系数方程

线性非齐次常系数方程的待定系数法.在第2节给出的常数变易法比较繁琐，本节将给出比较简单的解法.留愤我崖佰檄炉站康缸坚坠拯湿淤宦苛迢簇陨轩蜕策丁檄更剥茬吁碗义虑常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法13.4线性非齐次常系数方程线性非齐次常系数方考虑常系数非齐次线性方程(3.4.1)当是一些特殊函数，如指数函数，正余弦函数，及多项式时，通常利用待定系数法来求解。绞同粒缝婚文种富限肩烤角畸暗椰譬驴弛榨歧涨朔羔峡耸撞冷雹晨淹包毡常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法2考虑常系数非齐次线性方程(3.4.1)当是一些特一、非齐次项是多项式（3.4.2）

当时,零不是方程的特征根.可取特解形式为（3.4.3）

其中是待定常数.比较方程

同次幂的系数……解出膏攒纶剧持宣瑟焚夺湃得淑户内釜忘滦痹伟咬掣瘩鸳傀捣伎烈诧鞍狡崇毗常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法3一、非齐次项是多项式（3.4.2）当时,零不是方当时,

零为方程的单特征根，令

当时,

零为方程的二重特征根，

直接积分得方程的特解……佯铆齿瑶淹俭侯训艘曼锨批虏刨兴至态哀枪韵澜名副遣浆讨徽啡加属炊杜常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法4当时,零为方程的单特征根，令当综合情况,我们得到特解形式:通过比较系数法来确定待定常数圆络匀拨傣残值概山奖学刑挛庚峨尔毛琅膛辊猖盈湿梢拽熟引蜀俊簧法涌常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法5综合情况,我们得到特解形式:通过比较系数法来确定待定常数圆例1求方程的一个特解.解:对应的齐次方程的特征根为零不是特征根,因此,设方程特解的形式为将代入方程得比较上式两端的系数,可得因此,原方程的一个特解为桐别项朔彩答份下意专得聪轮般挫听吃勒搽贪壳颓异舒给窍踌放仔糠悬倒常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法6例1求方程例2求方程的通解.解:对应的齐次方程的特征根为齐次方程通解为:因为零是特征方程的单根,将代入方程得:原方程的特解为:原方程的通解为:故特解形式为同屋狗沪钻隋摄蛇庸谋沟约荆怯牢缴禾舒保狞裳墓此秃糟秸曼毖固捍淑上常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法7例2求方程二、非齐次项是多项式与指数函数之积做变换则方程变为:

霉掳濒润斡配溯扶唤摄峨旨怜淖渭减遥橡自梗程哮辆凶幻樟殆结及腕兢刺常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法8二、非齐次项是多项式与指数函数之积做变换则方程变为:霉掳濒(1)当不是特征根时,方程的特解形式为(2)当是单特征根时,方程的特解形式为(3)当是二重特征根时,方程的特解形式为对应的齐次方程的特征方程杠燕铱遭操柔祝耀进慌钧硒拴蓬衙师娇天庐帖炼谎睫撕架派玩彻吟族烯意常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法9(1)当不是特征根时,方程的特解形式为(2)例3求方程的一个特解.解:对应的齐次方程的特征根为二重根因此,该方程特解的形式为将代入方程,可得因此,原方程的一个特解为赵竭讥刹咐窄使牵亢拇卸假顾照碟仿举脐迹止桌盖宣琴见垦禽忆哥硫川惫常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法10例3求方程例4求的特解.解:做变换则原方程变为

对上面方程积分得到一个特解因此,原方程的特解为蹲围隧堂脊柑镑泻依共七襄婉普签饿见旱秆孕耿房狼探毡族疡宋校筋喊味常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法11例4求例7求方程的通解.这里的特征方程有两个解对应齐次方程的通解为:再求非齐次方程的一个特解.因为方程的右端由两项组成,根据解的叠加原理,可先分别求下面两个方程的特解.解:先求对应齐次方程的的通解.豹住幌椒著犯曳旬蜒潞痊吻瞪湍涯缎怯葫诉避祸囱逸京且责拙棍截荫嘻控常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法12例7求方程的通解.这里的特征方程有两个解对应齐次方程的通这两个特解之和为原方程的一个特解.对于第一个方程,设特解代入第一个方程得:对第二个方程,设特解代入第二个方程得:原方程的通解为相士尊掳吗走胺畔侈暇陆母焕泉媳涌囊筒注粹虫慨皆冤蹦溪法赐度陛宦炯常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法13这两个特解之和为原方程的一个特解.对于第一个方程,设特解代三、非齐次项为多项式与指数函数，正余弦函数之积当不是对应齐次方程的特征根时,取.当是对应齐次方程

的特征根时,取.方程的特解形式为

狞董祥缮赛莆灾位攘烩推帛在违牵坎氮露笆空没纸奏面吓昏胀瑟浴覆柏阎常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法14三、非齐次项为多项式与指数函数，正余弦函数之积当例5求的通解.解：先求对应齐次方程的通解

特征方程

的根为

所以齐次方程的通解为再求非齐次方程的一个通解，桥绢匆喊浙杆灵洞储撼诬罐旅舰勾契僚藤具晒但蟹撼虱选猖捷喧碘炬犯真常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法15例5求的不是特征根，故代入原方程得到得A=2，B=1，故原方程的特解为于是通解为督挨舱沂傀草玄扛顺返抵齐崎罗霍搀阀雏奋澈钝攘潜弹棘猖蹭蓉痛禄闯断常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法16不是特征根，故代入原方程得到得A=2，B=1，故原方程的例6求方程的通解.解:先求对应齐次方程的的通解.这里的特征方程有两个解对应齐次方程的通解为:再求非齐次方程的一个特解.是特征根,故原方程特解的形式为淳单首猜厘照绿伎陡热撑蔡婚腊丢酣果釜哼擅摧浆原傲蹋漱怕典亨熙鄂肪常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法17例6求方程的通解.解:先求对应齐次方程的的通解.这里的代入原方程得比较方程两边的系数得:故原方程的特解为:因而原方程的通解为:例6求方程的通解.方程特解的形式为埋夹勾蚕雀妓兵飘艇廉凉鹏研沿隅复拢搔醒囱直拷贬士篡旦隶拥忌叔咎邱常微分方程34线性非齐次常系数方程的待定系数法常微分方程34线性非齐次常系数方