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第三章离散系统时域分析3.1LTI离散系统响应

一、差分与差分方程二、差分方程经典解三、零输入响应和零状态响应3.2单位序列响应和阶跃响应

一、单位序列响应二、阶跃响应3.3卷积和

一、序列分解与卷积和二、卷积图解三、不进位乘法四、卷积和性质第1页CompanyName3.1LTI离散系统响应一、差分与差分方程设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等称为f(k)移位序列。仿照连续信号微分运算，定义离散信号差分运算。1.差分运算离散信号改变率有两种表示形式：第2页CompanyName3.1LTI离散系统响应（1）一阶前向差分定义：f(k)=f(k+1)–f(k)（2）一阶后向差分定义：f(k)=f(k)–f(k–1)式中，和称为差分算子，无标准区分。本书主要用后向差分，简称为差分。（3）差分线性性质：

[af1(k)+bf2(k)]=af1(k)+bf2(k)（4）二阶差分定义：

2f(k)=[f(k)]=[f(k)–f(k-1)]=f(k)–f(k-1)=f(k)–f(k-1)–[f(k-1)–f(k-2)]=f(k)–2f(k-1)+f(k-2)（5）m阶差分:

mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+…+bmf(k-m)所以，可定义：第3页CompanyName3.1LTI离散系统响应2.差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得普通形式y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)

差分方程本质上是递推代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。例：若描述某系统差分方程为y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k),求y(k)。解：y(k)=–3y(k–1)–2y(k–2)+f(k)y(2)=–3y(1)–2y(0)+f(2)=–2y(3)=–3y(2)–2y(1)+f(3)=10……普通不易得到解析形式(闭合)解。

第4页CompanyName3.1LTI离散系统响应二、差分方程经典解y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)与微分方程经典解类似，y(k)=yh(k)+yp(k)

1.齐次解yh(k)

齐次方程y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0其特征方程为1+an-1λ–1+…+a0λ–n=0

，即

λn+an-1λn–1+…+a0=0其根λi(i=1，2，…，n)称为差分方程特征根。齐次解形式取决于特征根。当特征根λ为单根时，齐次解yn(k)形式为：Cλk当特征根λ为r重根时，齐次解yn(k)形式为：(Cr-1kr-1+Cr-2kr-2+…+C1k+C0)λk

第5页CompanyName3.1LTI离散系统响应2.特解yp(k):特解形式与激励形式雷同(r≥1）

。（1）激励f(k)=km(m≥0）

①全部特征根均不等于1时;yp(k)=Pmkm+…+P1k+P0

②有r重等于1特征根时;yp(k)=kr[Pmkm+…+P1k+P0]（2）激励f(k)=ak

①当a不等于特征根时;yp(k)=Pak

②当a是r重特征根时;yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+…+P1k+P0)ak（3）激励f(k)=cos(βk)或sin(βk)且全部特征根均不等于e±jβ；yp(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk)

第6页CompanyName例3-1-1：若描述某系统差分方程为:y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k);已知初始条件y(0)=0，y(1)=–1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程全解。

解：特征方程为λ2+4λ+4=0可解得特征根λ1=λ2=–2，其齐次解yh(k)=(C1k+C2)(–2)k特解为yp(k)=P(2)k,k≥0代入差分方程得P(2)k+4P(2)k–1+4P(2)k–2=f(k)=2k，解得P=1/4所以得特解：yp(k)=2k–2,k≥0故全解为y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(–2)k+2k–2,k≥0代入初始条件解得C1=1,C2=–1/43.1LTI离散系统响应第7页CompanyName3.1LTI离散系统响应三、零输入响应和零状态响应

y(k)=yx(k)+yf(k),也能够分别用经典法求解。y(j)=yx(j)+yf(j),j=0,1,2,…,n–1设激励f(k)在k=0时接入系统，通常以y(–1),y(–2),…，y(–n)描述系统初始状态。yf(–1)=yf(–2)=…=yf(–n)=0所以y(–1)=yx(–1),y(–2)=yx(–2),…，y(–n)=yx(–n)然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应初始值yx(j)和yf(j)(j=0,1,2,…，n–1)第8页CompanyName3.1LTI离散系统响应例3-1-2：若描述某离散系统差分方程为:y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k),已知激励f(k)=2k,k≥0，初始状态y(–1)=0,y(–2)=1/2,求系统零输入响应、零状态响应和全响应。解：（1）yx(k)满足方程yx(k)+3yx(k–1)+2yx(k–2)=0其初始状态yx(–1)=y(–1)=0,yx(–2)=y(–2)=1/2首先递推求出初始值yx(0),yx(1),yx(k)=–3yx(k–1)–2yx(k–2)yx(0)=–3yx(–1)–2yx(–2)=–1,yx(1)=–3yx(0)–2yx(–1)=3方程特征根为λ1=–1，λ2=–2，其解为yx(k)=Cx1(–1)k+Cx2(–2)k

将初始值代入并解得Cx1=1,Cx2=–2所以yx(k)=(–1)k–2(–2)k,k≥0第9页CompanyName3.1LTI离散系统响应yf(k)+3yf(k–1)+2yf(k–2)=f(k)初始状态yf(–1)=yf(–2)=0递推求初始值yf(0),yf(1)，yf(k)=–3yf(k–1)–2yf(k–2)+2k,k≥0yf(0)=–3yf(–1)–2yf(–2)+1=1yf(1)=–3yf(0)–2yf(–1)+2=–1分别求出齐次解和特解，得yf(k)=Cf1(–1)k+Cf2(–2)k+yp(k)=Cf1(–1)k+Cf2(–2)k+(1/3)2k代入初始值求得Cf1=–1/3,Cf2=1所以yf(k)=–(–1)k/3+(–2)k+(1/3)2k,k≥0（2）零状态响应yf(k)

满足第10页CompanyName3.2单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应由单位序列δ(k)所引发零状态响应称为单位序列响应或单位样值响应或单位取样响应，或简称单位响应，记为h(k)。h(k)=T[{0},δ(k)]

例3-2-1已知某系统差分方程为y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)求单位序列响应h(k)。

解:依据h(k)定义有h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=δ(k)（1）h(–1)=h(–2)=0（1）递推求初始值h(0)和h(1)。

第11页CompanyName3.2单位序列响应和阶跃响应h(k)=h(k–1)+2h(k–2)+δ(k)h(0)=h(–1)+2h(–2)+δ(0)=1h(1)=h(0)+2h(–1)+δ(1)=1(2)求h(k)。对于k>0，h(k)满足齐次方程h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=0其特征方程为(λ+1)(λ–2)=0所以h(k)=C1(–1)k+C2(2)k，k>0h(0)=C1+C2=1,h(1)=–C1+2C2=1解得C1=1/3,C2=2/3h(k)=(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k,k≥0或写为h(k)=[(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k]ε(k)方程（1）移项写为第12页CompanyName3.2单位序列响应和阶跃响应

例3-2-2：若方程为：y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)–f(k–2)求单位序列响应h(k)解:h(k)满足h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=δ(k)–δ(k–2)令只有δ(k)作用时，系统单位序列响应h1(k),它满足h1(k)–h1(k–1)–2h1(k–2)=δ(k)依据线性时不变性，h(k)=h1(k)–h1(k–2)=[(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k]ε(k)–[(1/3)(–1)k–2+(2/3)(2)k–2]ε(k–2)第13页CompanyName3.2单位序列响应和阶跃响应二、阶跃响应g(k)=T[ε(k),{0}]因为，δ(k)=ε(k)–ε(k–1)=ε(k)所以，h(k)=g(k)(k2≥k1)两个惯用求和公式：第14页CompanyName3.3卷积和一、卷积和1.序列时域分解任意离散序列f(k)可表示为f(k)=…+f(-1)δ(k+1)+f(0)δ(k)+f(1)δ(k-1)+f(2)δ(k-2)+…+f(i)δ(k–i)+…第15页CompanyName3.3卷积和2.任意序列作用下零状态响应yf(k)f(k)依据h(k)定义：δ(k)

h(k)由时不变性：δ(k

-i)h(k-i)f(i)δ(k-i)由齐次性：f(i)h(k-i)由叠加性：‖f(k)‖yf(k)卷积和第16页CompanyName3.3卷积和3.卷积和定义已知定义在区间（–∞，∞）上两个函数f1(k)和f2(k)，则定义和

为f1(k)与f2(k)卷积和，简称卷积；记为f(k)=f1(k)*f2(k)注意：求和是在虚设变量i下进行，i为求和变量，k为参变量。结果仍为k函数。

第17页CompanyName3.3卷积和例3-3-1：f(k)=akε(k),h(k)=bkε(k)，求yf(k)。解：yf(k)=f(k)*h(k)当i<0,ε(i)=0；当i>k时，ε(k-i)=0ε(k)*ε(k)=(k+1)ε(k)第18页CompanyName3.3卷积和二、卷积图解法卷积过程可分解为四步：（1）换元：k换为i→得f1(i)，f2(i)（2）反转平移：由f2(i)反转→f2(–i)右移k→f2(k–i)（3）乘积：f1(i)f2(k–i)（4）求和：i从–∞到∞对乘积项求和。注意：k为参变量。下面举例说明。第19页CompanyName3.3卷积和例3-3-2：f1(k)、f2(k)如图所表示，已知f(k)=f1(k)*f2(k)，求f(2)=？解：（1）换元（2）f2(i)反转得f2(–i)（3）f2(–i)右移2得f2(2–i)（4）f1(i)乘f2(2–i)（5）求和，得f(2)=4.5f2(–i)f2(2–i)第20页CompanyName3.3卷积和三、不进位乘法求卷积f(k)=全部两序列序号之和为k那些样本乘积之和。如k=2时f(2)=…+f1(-1)f2(3)+f1(0)f2(2)+f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)+…例f1(k)={0，f1(1)，f1(2)，f1(3)，0}f2(k)={0，f2(0)，f2(1)，0}=…+f1(-1)f2(k+1)+f1(0)f2(k)+f1(1)f2(k-1)+f1(2)f2(k-2)+…+f1(i)f2(k–i)+…第21页CompanyName3.3卷积和f1(1)，f1(2)，f1(3)f2(0)，f2(1)×——————————————————f1(1)f2(0)，f1(2)f2(0)，f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)，f1(2)f2(1)，f1(3)f2(1)+—————————————————————f1(3)f2(1)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(1)f2(0)f(k)={0，f1(1)f2(0)，f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)f1(2)f2(1)+f1(3)f2(0)，f1(3)f2(1)，0}排成乘法第22页CompanyName3.3卷积和例f1(k)={0，2，1，5，0}↑k=1f2(k)={0，3，4，0，6，0}↑k=03，4，0，62，1，5解×————————15，20，0，303，4，0，66，8，0，12+————————————6，11，19，32，6，30求f(k)=f1(k)*f2(k)f(k)={0，6，11，19，32，6，30}↑k=1教材上还提出一个列表法，本质是一样。第23页CompanyName3.3卷积和四、卷积和性质1.满足乘法三律：(1)交换律,(2)分配律,(3)结合律.2.f(k)*δ(k)=f(k)，f