安徽省合肥市第一六八中学2014-2015学年高二下学期期末(暨新高三升学)考试数学(理)试题

数学试卷（理科）本试卷分第I卷（客观题）和第II卷（主观题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题，共50分）选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号写在答题卡的相应位置.）1．设复数z满足匕色=i，则z=zA.—2+iB.—2—iC.2+iD.2—irr2.rr设a,b1．设复数z满足匕色=i，则z=zA.—2+iB.—2—iC.2+iD.2—irr2.rr设a,b是两个非零向量，则“a-b<0”是“a,b夹角为钝角”A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.执行如右图所示的程序框图,若输出s的值为22,那么输入的n值等于（A.6B.7C.8D.94.某几何体的三视图（单位:cm）如右图所示，其中侧视图是个边长为2的正三角形上则这个几何体的体积是（A.2cm3B.cm3C.3朽cm3cm3)D.3cm35.已知（x—1）“的二项展开式的奇数项二项式系数和为64,若(x—1)n=(x+1)+a(x+1)z+…+a(x+1)n，2n则a等于（1A、一14B、448C、一1024D、一16测视囹衣6•右函数f（x）=2sinwx>0）的图象在（0,3兀）上恰有一一个极大值和一个极小值，则W的取值范围是（）A、:2,11B、r15-C、r24-D、'35-(3J:26_<33_；4?4_7.已知抛物线C:y2二8x的焦点为F，准线为l,P是l上一点，Q是直线PF与

uuuruuurTOC\o"1-5"\h\zC的一个交点，若FP二3FQ，则IQFI=()85A.B.C.3D.232某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A．72B．168C．144D．1203已知定义在R上的函数f(x)是奇函数且满足f(--x)二f(x),f(-2)=-3，数列｛a｝满足a=n1an+1列｛a｝满足a=n1nnnf(a5"f(a6)二(A．-310.已知函数f(x)A．-310.已知函数f(x)B．-2|x|(x+4)x+2C．3D．2(xH-2),下列关于函数g(x)=f(x)b-f(x)+a(其中a为常数)的叙述中：①va>0，函数g(x)一定有零点；②当a=0时，函数g(x)有5个不同零点；③3aeR，使得函数g(x)有4个不同零点；④函数g(x)有6个不同零点的充要条件是0<a<丄.其中真命题的序号是()4A.①②③B.②③④C.②③D.①③④第II卷(非选择题，共100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置)2211•若椭圆的方程为+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=_.10_aa.~212•某县共有300个村，按人均年可支配金额的多少分为三类，其中一类村有60个，二类村有100个．为了调查农民的生活状况，要抽出部分村作为样本．现用分层抽样的方法在一类村中抽出3个，则二类村、三类村共抽取的村数为.实数x、y满足X2+2xy+y2+4x2y2=4，贝廿x-y的最大值为对于函数f(x)定义域D内的值x，若对于任意的xeD，恒有f(x)三f(x)00(或f(x)Wf(x)成立，则称x是函数f(x)的极值点.若函数f(x)=2sin00m(m>0)在区间(2,1)内恰有一个极值点，则m的取值范围为.2—如图，四边形ABCD是正方形，以AD为直径作半圆DEA(其中E是AD的中点),若动点P从点A出发，按如下路线运动：

ATBTCTDTETATD，其中A八A+2卩AE（k、听R），则下列判断中:①不存在点P使入+卩=1;②满足入+卩=2的点P有两个；③k+卩的最大值为3；④若满足k+p=k的点P不少于两个，则ke（0,3）.正确判断的序号是.（请写出所有正确判断的序号）三、解答题：（本大题共6题，共75分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（本小题满分12分）已知函数f（x）二2cos匸x+-）（0<x<5），点A，B分别是函数63y二f（x）图象上的最高点和最低点.（1）求点A,B的坐标以及OA•OB的值；（2）设点A,B分别在角a,卩（a,卩e[0,2兀]）的终边上，求sin（-2卩）的值.（本题满分12分）合肥滨湖湿地公园五一期间举办投掷飞镖比赛.每3人组成一队，每人投掷一次.假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同•某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形ABCD如图所示，其中阴影区域的边界曲线近似为函数y=Asinx的图像）.每队有3人“成功”获一等奖，2人“成功”获二等奖，1人“成功”获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．（I）求某队员投掷一次“成功”的概率；（II）设乂为某队获奖等次，求随机变量X的分布列及其期望.18.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是平行四边形.（1）若CF丄AE，AB丄AE，求证：平面ABFE丄平面CDEF；（2）求证：EF//（2）求证：EF//平面ABCD.19.(本小题满分13分)如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C:—+—=1(a>b>0)的离心率为心,a2b23直线l与x轴交于点E，与椭圆C交于A、B两点.当直线l垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦AB的长为.3求椭圆C的方程；若点E的坐标为(空,0)，点A在第一象限且横坐标为丁3，连结点A与原点O的直线交椭圆C于另一点P，求APAB的面积；是否存在点E，使得丄+丄为定值？若存在，请指出点E的坐标FPB第19题FO/E求n的值；EA2FPB第19题FO/E求n的值；20.(本小题满分13分)设函数f(x)=Inx，g(x)=m"x+")(m>0).x+1(1)当m二1时，函数y=f(x)与y=g(x)在x二1处的切线互相垂直,若函数y=f(x)-g(x)在定义域内不单调，求m-n的取值范围；是否存在实数a，使得f(^)-f(eax)+f(—)<0对任意正实数x恒成立？若存x2a在，求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由.21.(本小题满分13分)设函数f(x)=xn』+c(xG(0，+x)，nGN*，b，cGR).nx当b=-1时，对于一切nGN*，函数f(x)在区间(2,1)内总存在唯一零n2点，求c的取值范围；若f2(x)区间［1,2］上是单调函数，求b的取值范围；当b=-1，c=1时，函数fn(x)在区间(—，1)内的零点为xn，判断数列n戈nx1，x2，…，xn，…的增减性，并说明理由.964964理科答案．选择题答案12345678910CBCBBBADCB二．填空题11.4或812.121314吟,和岸，舟）u（i,2）15②③三解答题1(S.餉；::?'.-0<j<5..7<【：一7<—.-l^coS(.7.;-71匸1.—-3n-』^636632丄i—-、.一一一.祁.、-=□吋，/"[xj皿铝虽丸谊1,当二平君衆卜咽心卞IJ,jt',J吟求RT'I'転“4(0,1),5(4,-2).---—w厶1IJOA=(XJ.1}.QB=(^.-2)..'.OA-OB-——----..■.：」…点且〔0①屮住一习一廿划在埠处凤足丹亡[口2刃〕购集迫上，"LC：】LC：】CO&2/?-2co52/5-I-2>'I-CO&2/?-2co52/5-I-2>'I-'--.55■-血啓-耶〕厂迪亍-2/J)-”车if-4]-242^3LO则P(A)=S阴影S矩形2011005，————一L4分屮17、解:（I）由题意知：S矩形10X10二100,S=2ln5sinxdx=20阴影0记某队员投掷一次“成功”事件为A,（II）因为X为某队获奖等次，则X取值为1、2、3、4.P(X=1)=C3-3P(X=1)=C3-3531-(1-5)0=1125P(X=2)=C2-2-(1-丄)=旦,_”5125r1、1P(X=3)=C1-315丿•(1-1)248P(X=4)=Co5°•(1-1)3所以，X的期望EX=125旦+3所以，X的期望EX=125旦+3x!812512564V2517X1234P(X)112486412512512512518.18.（1）V四边形ABCD是平行四边形...AB//CD，又TAB丄AE,.•.AE丄CD又TAE丄CF,CDnCF=C,CD、CFu平面CDEF,.'.AE丄平面CDEF,又TAEu平面ABFE,TOC\o"1-5"\h\z・•・平面ABFE丄平面CDEF6分(2)T四边形ABCD是平行四边形...AB//CD又TABg平面CDEF,CDu平面CDEF,.AB//平面CDEF又TABu平面ABFE，平面ABFEn平面CDEF=EF,.AB//EF又TEFg平面ABCD,ABu平面ABCD,・EF//平面ABCD12b2=3k2,19.解：(1)由匕=，设a=3k(k>b2=3k2,x2y2所以椭圆C的方程为莎+录=1，因直线1垂直于x轴且点已为椭圆C的右焦点，即xaxa=X=血，代入椭圆方程，解得y=±k于是2k=竿，即k=£所以椭圆C的方程为三+匚=162（2）将x=代入2+W~=1，解得y=±1，因点A在第一象限，从而AS3」），62TOC\o"1-5"\h\z1322由点E的坐标为（三-,0），所以k=，直线pA的方程为y=（x—）,2AB<3V3237联立直线pa与椭圆c的方程，解得B（—十厂5），又PA过原点O，于是P（-朽,-1）,PA=4，所以直线PA的方程为x-朽y=0,_旦+堕553巧13罷6柘所以点B到直线PA的距离h=——-——=-，S=-•4•4-=斗25apab25511⑶假设存在点E，使得ea2+丽为定值，设E(x0,0)，当直线AB与x轴重合时，有EA;+1EB212+2x2—，当直线AB与x轴重合时，有EA;+1EB212+2x2—，(6一x2)20当直线AB与x轴垂直时，+EA2EB22(1—12+2x26由]二，解得匕=±\；3,(6—x2)26—x20001所以若存在点E，此时E(±心3,0),6二2，6—x2'01为定值2.+——EA2EB2根据对称性，只需考虑直线AB过点EG-'3,0)，设A(x1，人)，B(x,y),22又设直线AB的方程为x=my+p'3,与椭圆C联立方程组,化简得(m2+3)y2+2\-3my一3=0,y1y—32m2+3'1J又1J又—EA2(x—七''3)2+y211m2y2+y1(m2+1)y2，1(y+y)(y+y)2—2yy1212，(m2+1)y2y212L+_!+—EA2EB2(m2+1)y2(m2+1)y21211将上述关系代入，化简可得+-2.EA2EB2__11存在点E(±.'3,0)，使得k+k为定值2EA2EB2所以综上所述,.20．解：(1)由f'(x).20．解：(1)由f'(x)二当m=1时，g3=时，y二g⑴在x=1处的切线斜率k二〒,11一nx,y二f(%)在x=1处的切线斜率k=1，二〒-1一1，二n-5-(2)易知函数y二f(x)-g(x)的定义域为(0,+8),又y-f(x)-g(x)-i-強-x2+[2—m+7]x+1-

由题意，得x+2-m(1-n)+1的最小值为负，.m(1-n)>4(注：结合函数(m+(m+(1—n))2>m(l_n)>4,y=x2+[2—m(1-n)]x+1图象同样可以得到)，.m+(1-n)>4,m一n>3(注：结合消元利用基本不等式也可).TOC\o"1-5"\h\z2ax(3)令9(x)=f()-f(eax)+f()=ax-ln2a—ax-lnx+lnx—ln2a，其中x>0,a>0x2a11贝y9'(x)=a-ln2a一alnx一a+，设5(x)=a-ln2a一alnx一a+—xxa1ax+15，(x)=—_—=—<0xx2x2(x)在(0,+心单调递减，5(x)=0在区间(0,切必存在实根，不妨设5(%)=0即5(x)=a-ln2a一alnx一a+丄=0，可得lnx=—!—+ln2a一1(*)00x0ax009(x)在区间(0,x)上单调递增，在(x,+8)上单调递减，所以9(x)=9(x)，丄1丄12ax+—200ax09(x)=(ax—1)-ln2a—(ax—1)-lnx，代入(*)式得9(x)=0000根据题意9(x)=ax+丄—2<0恒成立.TOC\o"1-5"\h\z00ax0—时，等式成立ax0又根据基本不等式，ax+丄>2—时，等式成立ax00ax001111J2所以ax+=2,ax=1•x=.代入(*)式得，In=ln2a，即=2a,a=一0ax00aaa20(以下解法供参考，请酌情给分)解法2：9(x)=ax-ln2a一ax-lnx+Inx一In2a=(ax一l)(ln2a—Inx)，其中x>0,a>02ax根据条件f(丁)-f(绚)+f(石)<0对任意正数x恒成立即(ax-1)(ln2a-lnx)<0对任意正数x恒成立ax一ax一1>0ax一1<0aa>011.•.<ln2a—lnx<0且]ln2a—lnx>0,解得一<x<2a且2a<x<—，aaa>0

1即_a=x=2a时上述条件成立此时a1即_a厶解法3：9(x)=ax-ln2a一ax-lnx+Inx一In2a=(ax一l)(ln2a—Inx)，其中x>0,a>0要使得(ax-1)(ln2a-lnx)<0对任意正数x恒成立,l等价于(ax-1)(2a-x)<0对任意正数x恒成立，即(x-一)(x-2a)>0对任意正数x恒成