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文档简介
学习目标1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象.2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用.(重点)3.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2
(a≠0)之间的联系.(难点)导入新课复习引入1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:(1)y=ax2(2)y=ax2+k(3)y=a(x-h)2yyyyxxxxOOOOyyyyxxxxOOOOyyxxOO2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、对称轴及最值?3.把y=-2x2的图像向上平移3个单位y=-2x2+3向左平移2个单位y=-2(x+2)24.请猜测一下,二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2平移得到?你认为该如何平移呢?
OXy3-2Oy3-2X讲授新课二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质一例1
画出函数的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.探究归纳下移1个单位左1个单位左1个单位下移1个单位…………210-1-2-3-4x解:先列表再描点、连线-5.5-3-1.5-1-1.5-3-5.512345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10直线x=-1开口方向向下;对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-1)12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10怎样移动抛物线就可以得到抛物线?平移方法2向左平移1个单位向下平移1个单位试一试
画出函数y=2(x+1)2-2图象,并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.开口方向向下;对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-2)-22xyO-2468-424二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质
y=a(x-h)2+ka>0a<0开口方向向上向下对称轴直线x=h直线x=h顶点坐标(h,k)(h,k)最值当x=h时,y最小值=k当x=h时,y最大值=k增减性当x<h时,y随x的增大而减小;x>h时,y随x的增大而增大.当x>h时,y随x的增大而减小;x<h时,y随x的增大而增大.知识要点顶点式例1.已知二次函数y=a(x-1)2-c的图象如图所示,则一次函数y=ax+c的大致图象可能是(
)解析:根据二次函数开口向上则a>0,根据-c是二次函数顶点坐标的纵坐标,得出c>0,故一次函数y=ax+c的大致图象经过第一、二、三象限.故选A.典例精析A例2.已知二次函数y=a(x-1)2-4的图象经过点(3,0).(1)求a的值;(2)若A(m,y1)、B(m+n,y2)(n>0)是该函数图象上的两点,当y1=y2时,求m、n之间的数量关系.解:(1)将(3,0)代入y=a(x-1)2-4,得0=4a-4,解得a=1;(2)方法一:根据题意,得y1=(m-1)2-4,y2=(m+n-1)2-4,
∵y1=y2,∴(m-1)2-4=(m+n-1)2-4,即(m-1)2=(m+n-1)2.∵n>0,∴m-1=-(m+n-1),化简,得2m+n=2;方法二:∵函数y=(x-1)2-4的图象的对称轴是经过点(1,-4),且平行于y轴的直线,∴m+n-1=1-m,化简,得2m+n=2.方法总结:已知函数图象上的点,则这点的坐标必满足函数的表达式,代入即可求得函数解析式.例3
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?C(3,0)B(1,3)
AxOy123123解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是∵这段抛物线经过点(3,0),∴0=a(3-1)2+3.解得:因此抛物线的解析式为:y=a(x-1)2+3(0≤x≤3).当x=0时,y=2.25.答:水管长应为2.25m.34a=-y=(x-1)2+3(0≤x≤3)34-向左平移1个单位二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系二12345x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yO-1-2-3-4-5-10探究归纳怎样移动抛物线就可以得到抛物线?平移方法1向下平移1个单位二次函数y=ax2
与y=a(x-h)2+k的关系可以看作互相平移得到的.y=ax2y=ax2+k
y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移平移规律简记为:上下平移,括号外上加下减;左右平移,括号内左加右减.二次项系数a不变.要点归纳1.请回答抛物线y=4(x-3)2+7由抛物线y=4x2怎样平移得到?由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.2.如果一条抛物线的形状与形状相同,且顶点坐标是(4,-2),试求这个函数关系式.练一练当堂练习二次函数开口方向对称轴顶点坐标y=2(x+3)2+5向上(1,-2)向下向下(3,7)(2,-6)向上直线x=-3直线x=1直线x=3直线x=2(-3,5)y=-3(x-1)2-2y=4(x-3)2+7y=-5(2-x)2-61.完成下列表格:2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位,再向右平移1个单位,那么所得抛物线是___________________.
4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到y=-3x2.3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到抛物线的解析式为______________5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到,请直接写出该二次函数的解析式.y=a(x-h)2+k
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