广东省梅州市田家炳实验中学2023年高三数学理联考试题含解析

广东省梅州市田家炳实验中学2023年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】CF：几何概型．【分析】利用三角函数的辅助角公式求出的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：由得2sin（x+）≥1，即cosx≥，∵0≤x≤2π，∴x的取值范围是0≤x≤或≤x≤2π，则“”发生的概率P==，故选：B．2.如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为

（

）

A．

B．20C．

D．28参考答案：D略3.在正项等比数列{an}中，已知a3a5=64，则a1+a7的最小值为（）A．64 B．32 C．16 D．8参考答案：C【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的性质结合已知条件得到a1a7的值，然后直接由基本不等式求最小值．【解答】解：∵数列{an}是等比数列，且a3?a5=64，由等比数列的性质得：a1a7=a3a5=64，∴a1+a7．．∴a1+a7的最小值是16．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的性质，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．4.等比数列的各项均为正数，且，则（

）A．12 B．10 C．8 D．参考答案：B略5.如图，大正方形面积为34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一颗幸运星，则幸运星落在小正方形内的概率为A．

B．

C．

D．参考答案：B6.已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的侧面积为(

)A．20+8 B．44 C．20 D．46参考答案：B【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：由题意可知四棱锥O﹣ABCD的侧棱长为：5．所以侧面中底面边长为6和2，它们的斜高为：4和2，所以棱锥O﹣ABCD的侧面积为：S=4×6+2=44．故选B．【点评】本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．7.当时，则下列大小关系正确的是

A．

B．C．

D．参考答案：8.如图，它们都表示的是输入所有立方小于1000的正整数的和的程序框图，那么判断框内应分别补充的条件是

（

）

A． B．

C．

D．

参考答案：答案：C9.若，，，的方差为，则，，，的方差为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D若，则,因为,所以，选D.10.如下图，矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为所以选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在上的函数,如果存在函数为常数,使得对一切实数都成立,则称为函数的一个“承托函数”.现有如下命题：①对给定的函数,其承托函数可能不存在,也可能有无数个；②为函数的一个承托函数；③定义域和值域都是的函数不存在承托函数.其中正确的命题是

参考答案：对于①,若,则,就是它的一个承托函数,且有无数个.又就没有承托函数,∴①正确；对于②,∵时,,,∴,∴不是的一个承托函数；对于③,若定义域和值域都是的函数,则是的一个承托函数.略12.已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为

．参考答案：+=1【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．【解答】解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，设点F（1，0）关于直线y=x的对称点为（m，n），可得=﹣2，且n=?，解得m=，n=，即对称点为（，）．代入椭圆方程可得+=1，解得a2=，b2=，可得椭圆的方程为+=1．故答案为：+=1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的焦点，以及点关于直线对称，由点满足椭圆方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13.在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。参考答案：(0,-1，0)解析：设由可得故14.设，则数列的各项和为

参考答案：15.已知满足约束条件则的最大值为．参考答案：作出不等式组对应的可行域，由得，平移直线，由图象可知当直线经过点B时，直线的截距最大，此时最大。由解得，即，代入得。16.已知集合A={0，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B=

．参考答案：{0，3}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：集合A={0，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B={0，3}；故答案为：{0，3}17.已知幂函数的图象过点，则＝

参考答案：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分8分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，底面，是的中点，已知，求（1）的面积；（2）异面直线与所成角的大小.参考答案：（1）【】（2）【】19.已知为坐标原点，，.（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ）若的定义域为，值域为[2，5]，求的值.参考答案：略20.如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，AB=1，AC=，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB．（1）证明：平面PCE⊥平面PAB；（2）证明：MN∥平面PAC；（3）若∠PAC=60°，求二面角P﹣CE﹣A的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明平面PCE⊥平面PAB．（2）根据面面平行的性质定理证明平面MNF∥平面PAC，即可证明MN∥平面PAC；（3）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】证明：（1）∵∠APC=90°，∴PC⊥AP，∵AB⊥平面PAC，PC?平面PAC，∴AB⊥PC，∵AP∩AB=A，∴PC⊥平面PAB，∵PC?平面PCE，∴平面PCE⊥平面PAB；（2）取AE的中点F，连接FN，FM，∵M是CE的中点，∴MF是△AEC的中位线，则MF∥AC，AB=2AE=4AF∵4PN=PB，∴PB：PN=AB：AF，则FN∥AP，∵AP∩PC=C，∴平面MNF∥平面PAC；∵MN?面MNF；∴MN∥平面PAC，（3）过P作PO⊥AC于O，则PO⊥平面ABC，过O作AB的平行线交BC于H，以O坐标原点建立空间坐标系如图：若∠PAC=60°，∵∠APC=90°，AB=1，AC=，E是AB的中点，M是CE的中点，∴AP==，OA=AP=，OC=AC﹣OA==．OP=APsin60°==，AE=，则A（，0，0），E（，，0），C（﹣，0，0），P（0，0，），则平面AEC的一个法向量为=（0，0，1），设平面PEC的一个法向量为=（x，y，z），则=（，，0），=（﹣，0，﹣），则，即，即，令x=1，则z=﹣，y=2，即=（1，2，﹣），则||==2，则cos＜，＞====﹣，即＜，＞=120°，∵二面角P﹣CE﹣A是锐二面角，∴二面角P﹣CE﹣A的大小为60°．21.第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；(2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人.①记表示选取4人的成绩的平均数,求；②记表示测试成绩在80分以上的人数,求的分布列和数学期望.参考答案：(1)众数为76，中位数为76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故从该校学生中人选1人，这个人测试成绩在70分以上的概率为，故该校这次测试成绩在70分以上的约有（人）(2)①由题意知70分以上的有72，76，76，76，82，88，93，94.当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时，有两类.一类是82，88，93，94，共1种；另一类是76，88，93，94，共3种.所以.②由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，4,,,,.的分别列为0123422.（本小题满分12分)