向量三角函数综合习题

向量与三角函数综合试题1．已知向量a、b满足b·(a-b)=0，且|a|=2|b|，则向量a+2b与a的夹角为（D）π2πππA.3B.3C.2D.6．a(m,n)，b(cos,sin)，其中m,n,R.若|a|4|b|，则当ab22已知向量恒建马上实数的取值范围是（B）A．2或2B．2或2C．22D．223．已知O为原点，点P+=1上，点Q22），且PQ=(4，（x，y）在单位圆x2y2（cos，sin3－2)，则OP·OQ的值是（A）3A．25B．25C．2D．1618994．a(cos250,sin250),b(sin200,cos200),uatb,tR，则|u|的最小值是BA.2B.2C.1D.122uuuruuur5．如图，△ABC中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB到D，使|BA||BD|，当E点在线段AD上搬动时，若uuuruuuruuurCAEABAC,则的最大值是（）A．1B．3C．3D．23uuuvuuuvuuuv(2cos,2sinuuuv6．已知向量OB(2,0),向量OC(2,2),向量CA),则向量OA与uuuvD向量OB的夹角的取值范围是（）A．[0,4]B．[,5]C．[5,]D．[,5]41212212127．已知向量rr(1,r(2cos,2sinrrra(1,1),b1),c),实数m,n满足manbc,则(m1)2(n1)2的最小值为（D）A．21B．1C．2D．3228．如图，BC是单位圆A的一条直径,Fuuuruuur是线段AB上的点，且BF2FA，

DBCFAEuuuruuur若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则FDgFE的值是（B）B．）（）A．3B．8C．149D．不确定439．已知A,B,C三点的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos,sin)，(,)，若uuuruuur221tanACBC1，则的值为（B）2sin2sin2A．5B．9C．2D．29510.在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若?=1，则AB的长为（C）A．B．C．D．1解：如图：∵四边形

ABCD为平行四边形，∴

，

，∴

=

==

=

，∴

．∵

，∴

．∴AB的长为

．r(cos,sinr(3,1)，则ab的最大值是2．11．已知向量a)，向量b12．已知|OA|4,|OB|6,OCxOAyOB,且x2y1，AOB是钝角，若f(t)|OAtOB|的最小值为23，则|OC|的最小值是。uuuruuur13．给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o.C在以O为圆心的圆弧uuuv以下列图，点AB上变动.uuuruuuruuurR,则xy若OCxOAyOB,其中x,y的最大值是14．已知向量a(1,1),b(1,1),c(2cos,2sin)(R)，实数m,n满足rrr3)2n2的最大值为manbc,则(m1615．在平行四边形已知AB2,AD1,DAB60，点M为AB的中点，点ABCD中，P在BC与CD上运动（包括端点），则AP?DM的取值范围是．[1，1]2π16．在△ABC中，AD与6，D是BC边上任意一点（225BDDC，则B等于．12且|AB||AD|17.已知O为锐角△ABC的外心，AB=6，AC=10，=x+y

B、C不重合），，且2x+10y=5，则边BC的长为4．解：分别取AB，AC的中点为D，E，并连接OD，OE，依照条件有：OD⊥AB，OE⊥AC；在Rt△OAD中，cos∠OAD===；∴=；同理可得，；∴=36x+60ycos∠BAC①=60xcos∠BAC+100y②又2x+10y=5③∴由①②③解得cos∠BAC=；由余弦定理得：，∴BC=．故答案为：．18.已知向量=（cosA，sinA），=（cosB，sinB），?=cos2C，其中A、B、C△ABC的内角．（Ⅰ）求角C的大小（Ⅱ）若AB=6，且，求AC、BC的．解：（Ⅰ）∵=（cosA，sinA），=（cosB，sinB），∴?=cos2C，即cosAcosBsinAsinB=cos（A+B）=cosC=cos2C，⋯（2分）2化得：2cosC+cosC1=0，⋯（4分）故cosC=（cosC=1舍去）∵C∈（0，π），∴C=．⋯（7分）（Ⅱ）∵，∴?cos=36，即?=36．①⋯（9分）由余弦定理得222AB=AC+BC2AC?BCcos60°=36，化得：AC+BC=12②⋯（12分）解①②，可得AC=BC=6．19．已知向量，向量与向量的角，且．（1）求向量；（2）若向量与共，向量，其中A、C△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，求的取范．解：（1）．由，得x+y=1①又向量与向量的角得=，即x2+y2=1②由①、②解得或，∴或．⋯（5分）（2）合（1）由向量与共知；由A、B、C依次成等差数列知．⋯（7分）∴，∴==．⋯（10分）∵，∴，∴，∴，∴．⋯（12分）20.已知向量=（sin2x+2，cosx），=（1，2cosx），函数f（x）=?3．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分是角A、B、C的，若f（A）=1，a=

且b+c=3，求△ABC的面．解：（Ⅰ）∵向量

=（

sin2x+2

，cosx），

=（1，2cosx），∴函数

f（x）=?

3=

3=

=

．故函数

f（x）的最小正周期

．（Ⅱ）由

f（A）=1得，

，即

=．∵0＜A＜π，∴，=，解得A=．由余弦定理得：a2=b2+c22abcosA=（b+c）23bc，a=且b+c=3，∴3=323bc，解得bc=2．∴==．21.已知△ABC的面S，且．1）求tan2A的；（2）若，，求△ABC的面S．解：（1）△ABC的角A，B，C所的分a，b，c．∵，∴，⋯（2分）∴，∴tanA=2．⋯（4分）∴．⋯（5分）（2），即，⋯（6分）∵tanA=2，∴⋯（7分），∴，解得．⋯（9分）∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．⋯（11分）由正弦定理知：，可推得⋯（13分）∴．⋯（14分）22．平面向量a(3,1),b(1,3),若存在数m(m0)和角,其中22(,)，使向量ca(tan23)b,dmabtan,且cd.22(1).求mf()的关系式;(2).若[,],求f()的最小,并求出此的.63解:(1)∵cd,且ab0,a2,b1，∴cdma220(tan33tan)b∴mf()1(tan33tan),(,)422(2)设ttan,又∵[,]，∴t[3,3]，则mg(t)1(t33t)6334m'g'(t)3(t21)令g'(t)0得t1(舍去)t14∴t(3,1