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文档简介
第十四章线性动态电路的复频域分析1变换的定义14-6网络函数的定义2变换的基本性质14-7网络函数的极点和零点3反变换的部分分式展开14-8极点、零点与冲激响应4运算电路14-9极点、零点与频率响应5用
变换法分析线性电路★重点1.2.掌握用变换的基本原理和性质变换分析线性电路的方法和步骤一些常用的变换①对数变换乘法运算变换A
B
AB
为加法运算时域的正弦运算变换为复数运算lg
A
lg
B
lg
AB②相量法
正弦量
i1
i2
i
I
1
I
2
I相量14-1变换的定义1.
拉氏变换法拉氏变换法是一种数学积分变换，其是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域
问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶
微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用
拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。拉氏变换f(t)(时域原函数)F(s)(频域象函数)对应变换式01F
(s)est
ds2πjc
j∞
f
(t)
F
(s)
2.
拉氏变换的定义定义[0
,∞)区间函数f(t)的∞f
(t)e
st
dtc
j∞正变换反变换s复频率简写s
jF
(s)
L[
f
(t)],
f
(t)
L-1[F
(s)]①积分域注意今后[0
,0＋]区间f(t)=(t)时此项
0
0积分下限从0
开始，称为0
拉氏变换。
积分下限从0
+开始，称为0
+拉氏变换。00
0的均为0
拉氏变换。0F
(s)
00
f
(t)e dt
f
(t)ef
(t)e dt
stststdt②象函数F(s)
存在的条件：如果存在正的有限常数M和c
使函数f(t)满足：|
f
(t)
|
Mect
t
[0,
)则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以找到一个合适的s
值使上式积分为有限值。③象函数F(s)
用大写字母表示,如I(s)、U(s)。原函数f(t)
用小写字母表示，如
i(t)、
u(t)。
M
s
cMe dt
(
sc)t
st00f
(t)e dt
几点约定：本章研究0
拉氏变换，所以原函数f(t)
的定义域为[0,∞)，用f(t)ε(t)表示,若f(t)的初始时刻为0，ε(t)可省略故而本章的拉氏反变换结果均在原函数f(t)
基础上乘以ε(t)或其延时（冲激函数除外）常数、电路中的直流电源也均用阶跃函数表示，如Usε(t)或Isε(t)3.典型函数的拉氏变换(1)单位阶跃函数的象函数f
(t)
(t)0F
(s)
f
(t)e
dt
st∞F
(s)
L[
(t)]
-st00-e
dtstest
01s
(t)e
dt1s(3)指数函数的象函数(2)单位冲激函数的象函数f
(t)
(t)st0F
(s)
L[
(t)]
e
s
0
1
(t)e
dt
00st
(t)e
dtf
(t)
ett
st0F
(s)
L[e
]
e
e
dt
t0dte(
s
)te(
s
)t1s
01s
14-2
变换的基本性质1.线性性质若
L[
f1
(t)]
F1(s),
L[
f2
(t)]
F2
(s)则
L[
A1
f1
(t)
A2
f2
(t)]
A1L[
f1
(t)]
A2L[
f2
(t)]
A1F1(s)
A2F2
(s)证L[A1
f1
(t)
A2
f2(t)]01
1
2
2[
A
f
(t)
A
f
(t)]e
st
dt
0
02
21
1
A
f
(t)e
st
dt
A
f
(t)e
st
dt
A1L[
f1
(t)]
A2L[
f2
(t)]
A1F1(s)
A2F2
(s)例2-1解例2-2
求f
(t)
sin
t的象函数解相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。结论
根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数求f
(t)
K
(1
et
)的象函数F
(s)
L[K
]
L[Ket
]
K
K
K
s s
s(s
)F
(s)
L[sin
t]
L[
1
(e
jt
e
jt
)]2
j1
12
j s
j
s
j
1
()
2s22.微分性质若：L[
f
(t)]
F
(s)证利用
udv
uv
vdu若足够大则dtL[
df
(t)]
sF
(s)
f
(0
)0]
df
(t)
dtdf
(t)
dtL[est
dt
0e df
(t)st00f
(t)(se
)dtst
est
f
(t)
f
(0
)
sF
(s)例2-3例2-4与直接拉氏变换结果一致
0
s2L[cost]
L[
1
d
(sin
t)]
s
dt
2
2s2s
2s2L[sin
t]
dtsL[
(t)]
L[
d
(t)]
s
1
0
13.积分性质若：L[
f
(t)]
F
(s)证s应用微分性质0则f
(
)d
]
1
F
(s)L[t0f
(
)d
]
(s)0t令L[f
(
)d
]0t
ddt
L[
f
(t)]
L[F
(s)
s(s)
0t
0tf
(
)ds(s)
F
(s)例2-5推广t0L[t
(t)]
L[s
ss2
(
)d
]
1
1
1
t0例2-6L[t
2
(t)]
L[22
3s
s
s
(
)d
]
2
1
2n!sn1t
n
(t)
4.延迟性质若：L[
f
(t)]
F
(s)0令
t
t
证L[f(t
t0
)
(t
t0
)]则L[
f
(t
t0
)
(t
t0
)]
e
st0
F
(s)00
0f
(t
t
)st
(t
t
)e
dt0t0f
(t
t
)est
dt00f
(
)es
(
t
)0f
(
)e
dd
esst0
e
st0
F
(s)延迟因子1Ttf(t)例2-7TTf(t)t例2-8F
(s)
?1
1s2
s2esTf
(t)
(t)
(t
T
)F
(s)
esT1
1s
sf
(t)
t[
(t)
(t
T
)]s2L[t
(t)]
1f
(t)
t
(t)
(t
T
)
(t
T
)
T
(t
T
)F
(s)
1
1
esTs2
s2
T
esTs频域平移性质证例2-9L[tet
]
例2-10则若：L[
f
(t)]
F
(s)L[et
f
(t)]
F
(s
)00e f
(t)e dt
sttf
(t)e
dt(
s
)t
F
(s
)1(s
)2(s
)2
2L[et
cost]
s
2s2L[cost]
s卷积定理不做要求——后续课程会深入学习，时域卷积则频域乘积；时域乘积则频域卷积掌握P350表14-1中的常见函数拉氏变换14-3
反变换的部分分式展开用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法：(1)利用反变换公式c
jf
(t)
stF
(s)e
ds
1
c
j2j(2)查拉氏变换表F
(s)
F1(s)
F2
(s)
Fn
(s)f
(t)
f1
(t)
f2
(t)
fn
(t)象函数的一般形式(3)把F(s)分解为若干简单项的组合0
1
nF
(s)
(n
m)N
(s)
a0
sm
a1sm1
amD(s)
b
sn
b
sn1
b可分解为多个分式之和电路分析中，m≤n若m<n，则F(s)为真分式若m=n，则真分式D(s)F
(s)
A
N0
(s)利用部分分式可将F(s)分解为待定常数(1)若D(s)=0有n个单根分别为p1、
、pnN
(s)F
(s)
D(s)
01n0
1m
(n
m)b
s
b
sn
n1
ba sm
a
sm1
aN
(s)(s
p1)(s
p2
)(s
pn
)F
(s)
Kns
pnF
(s)
K1
K2s
p1
s
p2)
(t)1f
(t)
(K
e
p1tp
t
K
e
p2t
K
e2
nnKi
F
(s)(s
pi
)i
1、2、3、、nis
p待定常数的确定：方法1方法2求极限的方法令s
=p1依次可求出K2、K3、…、KniK
N
(
pi
)iD'(
p
)1(s
p
)F
(s)
n
s
pKns
p2K21K1
(s
p
)i
N
(
p
)K
iiD'(
p
)例3-1解法1D(s)K
lim
N
(s)(s
pi
)is
pi
lims
pi'D'
(s)iN
(s)(s
p
)
N
(s)(s
2)(s
3)4s
5
5s
6F
(s)
s24s
5K1
K2s
2
s
3
3s
3K
4s
5s21
7
4s
5s
2s32K的原函数求F
(s)
5s
6s24s
5解法2
3s21114s
5D'
(
p
) 2s
5N
(
p
)K
7s32D'
(
p
) 2s
5
N
(
p2
)
4s
52KF
(s)
3
7s
2
s
3f
(t)
(3e2t
7e3t
)
(t)K1、K2也是一对共轭复数。注意K
F(s)(s
j)|s
js
j1，2
N
(s)D(s)
p
j
2
p1
jN
(s)[s
(
j)][s
(
j)]F
(s)
N
(s)
D(s)
K2s
jK1s
j(2)若D(s)=0有共轭复根例3-2j
j设:
K1
|
K
|
e
,
K2
|
K
|
ef
(t)
[K1e(
j
)t
K
2e
]
(t)(
j
)t
[|
K
|
e
j
e(
j
)t
|
K
|
e
j
e(
j
)t
]
(t)|
K
|
et
[e
j
(t
)
e
j
(t
)
]
(t)
2
|
K
|
et
cos(t
)
(t)
2s
5F
(s)
s2ss1,2
1
j2
0.55926.6ss
(1
j2)s1
j
21
1,
2
K
|
K
|
0.559,
26.6
f
(t)
1.118et
cos(2t
26.6
)
(t)法二：配方法注意到有拉氏变换对F
(s)
s2s
2s
5s
1(s
1)2
22s2
1
2 (s
1)2
22(s
1)2
22(s
)2
2et
cost
(t)
s
(s
)2
2et
sin
t
(t)
(s
1)2
222
1
2 (s
1)2
22s
1F
(s)
f
(t)
et
cos
2t
(t)
1
et
sin
2t
(t)2
1.118et
cos(2t
26.6
)
(t)F
(s)
0
1
ma
sm
a
sm1
a(s
p1
)nK1n(s
p1
)n(s
p1
)n1K1n1K12(s
p1
)2K11s
p1111ns
pK
[(s
p
)n
F
(s)]s
p1ndsd1n1K
[(s
p1
)
F
(s)]s
p112!
ds
2
1d
21n2[(s
p
)n
F
(s)]s
p111(n
1)!
ds
n1[(s
p
)n
F
(s)]d
n1K11K
1(s
)n11
t
net
(t)
n!(3)若D(s)=0有n重根11n1nsn!t
(t)
例3-3s
4
K1F
(s)
(s
1)2
K21
K22s(s
1)2
s s
1
4(s
1)2s
4s01K
3s122s
s
4Ks1s2s1s121
s
(s
4)
d
[
s
4
]ds
sK
d
[(s
1)2
F
(s)]ds
4n!1(s
)n11
t
net
(t)
f
(t)
(4
4et
3tet
)
(t)1)
将F(s)化成最简真分式部分分式法由F(s)求f(t)的一般步骤：
9s
11F
(s)
s2s2
5s
6
5s
64s
5
1
1
s2
3
7s
2
s
3f
(t)
(t)
(7e3t
3e2t
)
(t)求真分式的分母多项式等于零的根，将F(s)分解成部分分式之和求各部分分式的系数对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换。14-4
运算电路1.定律的运算形式定律的时域表示：i(t)
0
u(t)
0根据拉氏变换的线性性质得KCL、KVL的运算形式对任一结点对任一回路
I
(s)
0U
(s)
0时域形式：u=RiZ
(s)
RY
(s)
G2.电路元件的运算形式①电阻R的运算形式取拉氏变换电阻的运算电路+uR(t)i(t)R-
R-I
(s)+U
(s)U
(s)
RI
(s)I
(s)
GU
(s)Z
(
s
)
sL
Y
(
s
)
1
sL②电感L的运算形式L的运算电路i(t)+u(t)-L+-sLI(s)+-U(s)sLI(s
)思考：非关联参考方向的情况时域形式：u
L
didt取拉氏变换,由微分性质得U
(s)
L[sI
(s)
i(0
)]
sLI
(s)
Li(0
)I
(s)
U
(s)
i(0
)sL
sLi(0
)i(0 )
/
s+
U(s)
-③电容C的运算形式C的运算电路时域形式：取拉氏变换,由积分性质得i(t)+u(t)-C+-1/sCI(s)U(s)1/sCCu(0-)+
U(s)
-I(s
)思考：非关联参考方向的情况u(0
)
/
s+
-I
(s)
SCU
(s)
Cu(0
)Z
(
s)
1
sCY
(
s)
sCti(
)dCu
u(0
)
10
1
u(0
)sC
sU
(s)
I
(s)
④耦合电感的运算形式时域形式：MY
(s)
1
sM**L1L2+u_1+u_2i1
i2Mdt
dt
L
di2
M
di1udt
dt
2
M
di22u
L
di11
1U2
(s)
sL2
I2
(s)
L2i2
(0
)
sMI1
(s)
Mi1(0
)ZM
(s)
sM互感运算阻抗取拉氏变换,由微分性质得U1
(s)
sL1I1
(s)
L1i1(0
)
sMI2
(s)
Mi2
(0
)耦合电感的运算电路+-+sL2sMsL1---注意：附加电源Mi1(0-),Mi2(0-)方向与i1,i2参考方向有关。U2
(s)
sL2
I2
(s)
L2i2
(0
)
sMI1
(s)
Mi1(0
)U1
(s)
sL1I1
(s)
L1i1(0
)
sMI2
(s)
Mi2
(0
)I1
(s)
I2
(s)U1
(s)L1i1(0
)+U
2
(s)L2i2
(0
)++
-
-
+Mi2
(0
)
Mi1(0
)⑤受控源的运算形式受控源的运算电路时域形式：i1
u1
/
Ri2
i1取拉氏变换I1
(s)
U1
(s)
/
RI2
(s)
I1
(s)
i1+u2_i2i1+u1_R_+RI1
(s)U1
(s)I2
(s)I1
(s)+U
2
(s)_3.
RLC串联电路的运算形式时域电路
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