辅助角公式的推导

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辅助角公a

cos

22导在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化

sin

为一个角的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式a

2

2

sin(a

cos

·cos(

,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用但事与愿违,半个学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式一.教学中常见的的推导方法教学中常见的推导过程与方法如下1.引例例1

求证：

）=2cos（3

）.其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:可见,

以化为一个角的三角函数形式.一般地,asin否可以化为一个角的三角函数形式呢?2.辅助角公式的推导例2化

sin

为一个角的一个三角函数的形式.解:asin

2

(

a

a

sin

a

b

cos①令

aa

ba

=sin则asin

(sin=

sin(其中)

②令

aa

ba

=cosasin

(sin

cos(-中tan

)其小可以由的符号确限,再由求出.或由

和(a,b)所在的象限来确定.推导之后,是配套的例题和大量的练习但是这种推导方法有两个问题一是为什么要令aa

ba

=sin生费解.二是这种“规定”式的推导,学生难记易忘、易错!二.让辅助角公式

a

a

2

2

sin(

来得更自然能否让让辅助角公式来得更自然些这是我多少年来一直思考的问题2009年春.我又一次代2008级学生时,终于想出一种与三角函数的定义衔接又通俗易懂的教学推导方法.首先要说明，若或b=0时，

sin

已经是一个角的一个三角函数的形式，无需化简.故有ab≠0.1.在平面直角坐标系中,以a为横坐

的终标,b为纵坐标描一点P(a,b)如图1所示,

则总有一个的终边经过点P.设

•

P(a,OP=r,r=

,由三角函数的定义知

r

b)

b=r

,

O

图1

xar

aa2

.所以asin

sin

sin=

a

.(其中)

2.若在平面直角坐标系中,以b为横坐标,以a为纵坐标可以描点P(b,a),

的终边如图2所示,则总有一个边经过

y点P(b,a),设OP=r,则r=三角函数的定义知a=,rb=.r2

.由

O

r

图2

•

P(b,a)

xasin

2

2

sin

2

2

=

a

co

.(其中tan)例3

化

3sin

为一个角的一个三角函数的形式.解:在坐标系中描点

,1),设边过点P,则OP=r=

=

.∴3sin

33

.

3sin

).经过多次的运用,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助角公式asin

a(sina

a

b

cosa

sin(

,(其中

).或者asin

(

a

a

sin

a

b

cosa

cos(

,(其中tan)

我想这样的推导,学生理解起来会容易得多,而且也更容易理解asin

(

aa

sin

ba

cos道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化

sin

3cos

为一个角的一个三角函数的形式.解法一:点(1,-

)在第四象限.OP=2.设角点.则

31,2

.满足条件的最小正角为,kZ.sin

3cos

sincos

sin

2sin(

2sin(

k解法二:点P(-

,1)在第二象限,OP=2,设点.则,

32

.满足条件的最小正角为,kkZ.

3

12(sincos2

2(sin

cos

cos

5cos(cos(cos(6三.关于辅助角的范围问题由

cosa22sin(

中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的角可能有四种情况(第一象限、第二象限、第三象限、第四象限).设满足条件的最小正角,则

k

.由诱导公式(一)知

a

2

2

sin(

2

2

1

．其中

具体位置cos决定，11大小由

tan

决定．类似地，

sin

cos

2

2

cos(

，的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满足条件的最小正角，则

k

由诱导公式有sin

2

2

cos(

2

2

cos(2

，其中

(0,2

tan

，的位置cos确定，的大222小由

tan

确定．注意：①一般地，

；②以后没有特别说明时，或）是所2求的辅助角．四．关于辅助角公式的灵活应用引入辅助角公式的主要目的是化简三角函数式．在实际中结果是化为正弦还是化为余弦要具体问题具体分析，还有一个重要问题是，并不是每次都要化为

cos

a

2

2

1

的形式或

22

的形式．可以利用两角和与差的正、余弦公式灵活处理．例５化下列三角函数式为一个角的一个三角函数的形式．（１）

cos

；（２）

26cos(663

．解：（１）

12(sincossin)6

33（２）

2cos(6621[cos(332[sin(]33322sin(33在本例第（１）小题中，

b

，我们并没有取点Ｐ（－１），而取的是点Ｐ（

，１）．也就是说，b至少有一个是负值时．我们可以取Ｐ（

，b）或者Ｐ（b）．这样确定的角

（或

）是锐角，就更加方便．(cos(例6已知向量

1),1)b(cos(x),)32

,c(sin(

),0)

,求函数

h()a

的最大值及相应的

x的值.解:

(x)

cos()xx)21cos(2x123sin(2x=22sin(2x=3222[cos(2=2323=

2112

)

1mi1mihx

222这时

x

11kx

.此处,若转化为两角和与差的正弦公式不仅麻繁而且易错,请读者一试.五.与辅助角有关的应用题与辅助角有关的应用题在实际中也比较常见而且涉及辅角的范围,在相应范围内求三角函数的最值往往是个难点.例7如图3,记扇的中心角为,半径为1,矩形内接于这个扇形,求矩形的对角l的最小值.

N

B

M解:连结OM,设sinPQ=OQ-OP=

cos